Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Докажите непосредственно, что б' (пример б й Ч.З) лежит в,'Т'. Докажите, что б' не порождается внкакой мерой. у22. (а) Локажнте, что » — »е Нт з40(» — »е)з+зз ~» — »е/ в слабой топологии на чТ'. (Ь)-Пусть ф„— посаедовзгельиость ограниченных функннй на Н, таких, что ф„- 0 равномерно на компактах множества Н ~,(«ч), н„(»)~б и ) ~р„(»)б»=с ие ззвисвт от л.

Локажите, что ~ре — ч сб(» — » ) в топохогии,К". (с) Докажите. что Нт з з пб (» — «е). з -~ е (» — »ч)а+з'- (б) Д фор улу ж.з). у23. (а) Пусть Р ~ О,и. Локажяте, что Г Ьч Р1' — ограниченное отображение Т в Ю. (Ь) Пусть Р— измеримая фувкпия, такая, что Р) Е,К для всех 1 ~ чТ.

Локажите, что Р б С (с) Докажите, что Р ~ ОМ, если отображение 1Ь Р7 непрерывно. 24. Пусть Т Е,:Т'(К) и '1Т()) ( м,С ~~~~ ~~»~( — ) )~~ . Отобразим,К в о,д е С„(Н)Щ...ЯСа(Н)((я+1) раз) с помощью фующив 1у (7, 7', ..., Т'и>; здесь Се(Е)-банахово пРсстРанство непРеРывных фУнкцнй ), Задачи (99 для ноторых зпр!!ла(!! <аэ для а=!, ..., я, с нормой !!г!!!з1= ~!!заГ!! .

а о С помощью теорем Хана — Бенаха н Рвсса — Маркова докажете, что Т представимо в виде Т1= К 1 Гбр ° где ре, ..., р„— комплексные меры полвномнзльного роста. уд. (а) Пусть р — полвномнально ограяиченная мера в Р(х) *) бр! 6 (л) з е =) Р(р)бр. Докюкнте. что в смысле обобщенных функций р=б'. е (Ь) С помощью задач 24 н 25а докажяте теорему регулярности для зТ" (м).

26. Подражая задачам 24 н 25. докажяте теорему локальной регуларностн для <х)'. для заданных Т Е Ж)'(Ез) н компактного множества С~ ми существуке непрерывная функция Р на С в а, такие, чго Т) = =( — !)а ) Р(л) (Оа!) (з) лл для всех ( !"- я)(ц ) с ноавтелем в С. 27. Пусть У вЂ” действующнй в <К' (м) оператор сдввга на а. Пусть фай†операцня днфференцвроваквя на д'". Докажите, что (У вЂ” !)а-1 поточечно сходнтся в топология о(,К', зг".) и бгбл.

(Ж (а) Докажвте, что У,(А), определенное операцней 4 в 4 Ч.З, совпадает с (У(4)~р)(л)=0>(А «), есле <р~зТ рассматрнвается как злемент Т'. (Ь) Покажете, что носвтель функцнв ~р Е Ю, рассматриваемой как распрелелекне. совпадает с (л ! ~р (л) ге О). Тур. (а) Пустыр~цТ(цз) н 9(0) О. Докажяте, что существуют (Оз)~~', для которых 0 $зпрр ~ра прп всех й, такве, что (! ха(фз — 9) !! — ~ 0 прн всех а ц )+. (Ь) Пустыр ~ зТ (м") н (099) (О) =0 для всех (! ~ Уи+ с ! р ) ~я!, Докажите, что существуют (~рз) с: цК, для которых 0 ( зпрр фз прн всех й, такие, что ((хабр(фз — ~р) (! — 0 прн всех м~)~+ н () с !() !Сзь (с) Пусть Т Е,У" (К") н , ) Т ()) ! ~ С чД ! !.Р~ ) !(„.

(а Си Предположнм, что зпррТ=(0), н пустыр ц У' н (Фр)(0) 0 для !() !~ю. Докажите, чго Т(Щ=О. (б) Пусть Т ~ У" (Еи) удовлетворяет требованню !Т()!~С ~ !! "))Р !! . (РГС ю )а!Си Пусть зорр Т= (О). Найдню постоянные (Ср)! р ! С,„, такие, чтобы' Т «Р) = ~ч~~ ~( — !)Рср (С!Р Р) (О) !р!Са У. Люиьяо змяукззм гцюстрансвмо для всех ф Е»Т. [Уяозаяиз: возьмите») Е»Т, равную тождественно 1 вблизи О, н положите ф= ф — ! ,"Š— (1) ф) (О).) в !б!См аг! (е) Докажите теорему т.11. ЗО. Пусть Р Е 0м(р), Т Е»Т'(й). Пусть ' обозначает дифференцирование в,Т'. Используя определения умножения и ', докажите, что (РТ)'= = Р'Т+.РТ'. б/.

Огображение 5: »Т — »»К называют зональным. если зпрр З~р ~ Я, когда зпрр ф ~ Я. Отображение Ес»[Р" — »Т' называют локальным, если вирр ЗТг Я, когда виррТ~Я. (а) Пусть Л: »Т — »~9' локально. Докажите, что Б'. »К' — »,й»' локально. (Ь) )(анне из операцвй 1 — 4 локальныР »82. Говорят, что порядок распределения Т ~ »Т' не превосходят а, если [Т«р) [~С ~ )[ "ЯРР[~ [е[< ° при некоторых С н й. Говорят, что порядок распределения не превосходит п-, если для некоторого фиксированного / н любого Е! > О существуют такие й и С, что ! Т«р) [~р,'ц [~ хе)убф)~+С ~Чь', [~ "рВ ~~. !а!<1 !е!<ь !р! л 1б !<л ! Мы говорим, что Т имеет порядок л, если Т есть распределение порядка, не превосходящего и, но не является распределением порядка„не превосходящего л-. Аналогично, 'мы говорим, что Т имеет порядок я-, если Т есть распределение порядка, не превосходюцего а-, но не является распределеяием порядка, не превосходящего а — !.

(а) Докажите, что перенормировки (1/л)+ ы из примера 9 имеют.порядок 1-. (Ь) Докажите, что любая другая перенормировка (1/л)+ имеет порядок, не меньший 1. бу. докажите, что ва ьг(й)(1 < р < с») не всякая билинейная форма имеет внд Р(/, я)=~ Р(х, у)/(л)й(у)блоу при некотором Р(л, у) ~ Ее(йз). ') Указанию если р~2, пусть Р(/. Е)»»$ 6(х)/(х)я(л)бл для некоторого Я~Е», 1(/г+2/р=!! если 1<я»л, пусть Р(/, Е)=~ 0(л — у)/(л)я(у)НлФу с б ~ Ег, 1/г=2(1 — 1/Р).~ Замечания. Ц Пример, данный в указании при 1 < р»~2, требует применения неравенства Юнга, которое мы докажем,в 4 1Х.4. 2) Для ьз(Гт) справедлива теорема о ядре, т. е; каждая билинейная форма на Е' (Гс) имеет ввд Р(/, й)»» 1 Р(х, у)/(х) я(у)»)лбу с некоторой функцией Р ~ Е (Кз). Интересное упражнение — доказать зто исходя нз теоремы Данфорда — Пстгиса, которая гласят: пусть Š— сепарабельное банахово пространство и Т: Š— Е (ц); тогда существует измеримая функция я на й со значениями в Е», такая, что зир ![Е(л) [[=)[Т!) и ,»ч н Т(е) ) !д(»))(е)бл.

Доказательство втой теоремы см. у Трева (ссылка в замечаниях к й Ч.З), стр. 469 — 473. фИ. Докажите, что раздельно непрерывная мультилниейиая форма на Р~Х... ...Хг» непрерывна, если все г1 сугь пространства Фреше. фМ, Распространите доказательство теоремы о ядре, данное в дополненнв к Ч.З, на мультнлннейные функционалы; точйее, докажите, что если . (/«, ....

/«) — раздельно непрерывный й-линейный функционал на Ф(м ) Х ° "Х «У'(зс "), то существует такое Т ~,Т'(Е ' '' «), что В(/ы "' /«)=Т(/«Э" З/«). удб. Разберитесь в деталях доказательства леммы 2 в дополнении к $ Ч.З. )87. Закончите доказательство следствия 3 в дополненви к $ Ч.З. ЗВ. Определим множество Я) (К»)=(/! / — бесконечно дифференцируемая функция на К», лежюцая со своими производными в й (Е»)).

Наделим )я) (й») полунормами (Ц Ца. ), где ц/ Ца, =ЦОо/Ц (а) Докажите, что Я) полно. (Ь) Докажите, что Се (В») не замкнуто в йй«, и найдите его аамыкание. 39. пусть 1Д(В»)=(/ ! / — бесконечно дифференцируемак функция пл к»). Пусть для любого целого ш и а 1с У+ ((/Цою = зпр ! (1)~/)(л) !. ~к!~ и Снабдим Эу(Е») полунормамв (Ц.Цою „/и Е /», щ Е /+~, (а) Докажите, что ф' полно.

(Ь) Докажите. что естественное вложение ыЖ) с= ф' непрерывно, так что естественным образом Ч:~' с: й()'. (с) Докажите, что Т ~ 1л)' прннадлеищт,ф' тогда н только тогда, когда Т имеет компактный носитель. еО. Докажите. что естественнее вложение .'ЦЗ ~ зТ непрерывно, н выведите отсюда, что,р»' с 19' естественным образом. Докажите, что уз/. Докажите часть (Ь) теоремы Ч.15.

42. Обобщив лемму 1 дополнения к й Ч.З, докажите, что семейства полунорм (!! ф,, 3. ) н (Ц-Ц», й. з) эквивалентны при любом фиксированном 1 ~р (со, если Ц /Ци 3 — — !!л В /~!С»(П»). И. »(а) Докгжию. по а в з» нзоморфны, т.

е. существует непрерывная линейная бнекцня Т: з — з„с непрерывной обратной. (Ь) Докажите, что «Т (Тс») п «Т (Е~) топологически изоморфны. 44. Докажите, чю семейства (Ц.ЦЗ) н (Ц ЦЗ, ) норм на з эквивалентны. если ЦаЦЗ».а ~~1'(и+1)З!и !и. а 4Ю. Пусть Х вЂ” строгий индуктивный предел последовательности Х„, в которой каждое Մ— собственное замкнутое подпространстзо в Х. Предположим, что ((1») — счетное убывающее семейство окрестностей нули. Возьмем я» б У»'~Х». (а) Докажите, что (х„~ не ограннчеца, г.

Лаюиьво зыпркаам лрасагрансамп (1») Покажите, что (а„) была бы ограничеяа, если бы и составлвлк базу окрестностей. (с) Выведите отсюда, что Х неметризуемо. (»зб, (а) Предположим, что Х вЂ” строгий индуктивный предел пространств Х . Предположим, что (У„) — возрастзкицее семейство подпространств вз Х, такое, что дли любого и существует У, прн котором Х„~ТУ. Докажяте, что )( — строгай индуктивный предел Г„. (и) Пусть К~(зс-»с", причем К компактно, а Я открыто.

Докажите, что если и)) наделено топологией, задаваемой некоторым семейством (К„)» то суженяе втой топологии иа С (К) задазтси нормамв ~~! ()~7 1»1»» (с) Докажите, что топология иа »2)п ие зависит от выбора возрастающего семейства К„компактных множеств. у47. Пусть р„..., у„— координаты в »". Мы говорим, что распределение Т ~ 19' (ма) йе зависит ет ра+х» ..., Ре или что Т вЂ” функции уы ..., Ра если длн любого сдвига и,:(ры".,р)ь (р ".

Характеристики

Список файлов книги