Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 39
Текст из файла (страница 39)
вас Семейство полунорм (рс~С есть о(У, Х)-компактное выпуклое подмножество в У) на Х порождает топологию т(Х, У). Если С компактно, то С=(ЛуЦЛ~~1, уЕС) тоже компактно (поскольку «Л(~Л~(1) компактно) и Рс Рб Таким образом, достаточно рассматривать только уравновешенные выпуклые а(У, Х)-компактные множества С, 7. Тонолооаа на локально оыаонлнх аооооноананоах 185 Поскольку отдельные точки в У образуют компактные в слат~х. 7> о<х. Ю бой топологии множества, то из х — ' х вытекает, что х„— ' х, т.
е. слабая топология слабее топологии Макки. Лфалоер 1. Пусть Х вЂ” банахово пространство, а Х' — его сопряженное. Мы утверждаем, что топология т(Х, Х') есть в точности топология нормы на Х. Действительно, по теореме Банаха— Алаоглу (теорема 1У.21) единичный шар Х; в Х' о(Х', Х)-компактен, так что рх. (х) зцр ~ у (х) ~ оох, — полунорма Макки, а по теореме Хана — Ванаха, р „.
(х) = ((х ((х. С другой стороны, если множество С ~ Х* о (Х', Х)-компактно, то для любого х~Х отображение у~ у(х) ограничено на С, так что С с (у ( )(у)! (т) для некоторого и в силу принципа Бвнаха— Штейнгауза. В итоге рс(х) (т~(хнах. Это показывает, что топология Макки порождается нормой ~~ ((х. Пример 2. Из задачи 52 мы увидим, что любое пространство Фреше Х допускает топологию Макки т(Х, Х'). Любой строгий индуктивный предел пространств Фреше'также допускает топо'логию Макки (задачи 52а, д). В частности, топологию Макки допускают пространства х (К") и Ж)(йо).
Вернемся к вопросу об отыскании всех топологий, согласованных с двойственностью между Х и У. Так мы называем локально выпуклую топологию У на Х, если топологическое сопряженное к <Х, 47 > совпадает с У. Основная теорема двойственности, описывающая все дуальные топологии, гласит: Тноремоз У.Ж (теорема Макки — Аренса).
Пусть <Х, У> — дуальная пара. Локально выпуклая топология,К' на Х согласована с двойственностью между Х и У тогда и только тогда, когда о (Х, У) ы У с= т (Х, У). Доказшпальотво. Геометрическое доказательство см. в дополнении к атому разделу. ° Итак, дуальные топологии — зто в точности те топологии, которые заключены между слабой топологией и топологией Макки (включая последние).
Мы уже видели, как выразить топологию нормы на банаховом пространстве Х в терминах дуальной пары <Х,Х'>. А как обстоит дело с топологией нормы на Х'? Она не совпадает с топологией т(Х', Х), если Х не рефлексивно, ибо т (Х', Х)-сопряженное к Х' есть Х. Ясно, что топология нормы на Х' — зто топо- у. Лака«оно оааунльа ароотранотоа логия равномерной сходимости на единичном шаре в Х, и потому нам нужно описание в терминах локальной выпуклости множеств, содержащихся в шарах. Эта потребность удовлетворяется понятием ограниченного. множества. Перед тем как определить это понятие, отметим следующую теорему: Теорема У.ЗЗ. Пусть Š— локально выпуклое пространство с сопряженным Р.
Для множества А ~ Е следующие условия равносильны: (а) для любой окрестности У нуля 0 Е Е имеем А~= лУ : (лх ~ х ~ У) при некотором л; (Ь) поляра А' множества А (определение см. в дополнении к этому разделу) — поглощающее множество; (с) зирр(х) < ао для любой непрерывной нолунормы р на Е; к«А (б) вар~! (х) ~ < оа для любого (ЕР. ««А Дои«эятлеаэстао. Эквивалентность (а) и (с) и (Ь) и («(), по сути дела,— вопрос определений.
Теорема ЧА говорит о том, что из (с) следует (6). Поэтому предположим, что (б) выполнено и непрерывная полунорма р задана. Пусть К =(хЕЕ!р(х)=0) и Ео— векторное пространство Е(Кр. Тогда р «поднимается» в норму на Ео. Пусть и — каноническое отображение Š— Ео и Ао =о« ~А~, Легко видеть, что зирр(х) <оо,тогда и только тогда, когда к«А знр р (х) < ао. Пусть Ео — пополнение Ер. Пространство Ер бана««АО хово. Пусть (б (Ео)'. Тогда С о и ЕЕ« и знр ~ «(х)1 = — ' знр / (Х о и) (х) 1 < ао.
к«А к«А Таким образом, зир р(х) < ао в силу принципа Банаха — Штейн««Ао гауза. ° Определение. Множество А ~= Е локально выпуклого пространства Е называется ограниченным, если выполнено какое-нибудь одно, а следовательно, и все условия (а) — (б) теоремы т".23.
Из условия (б). видно, что понятие ограниченности одинаково для всех топологий, согласованных с двойственностью между Е и Р, и, следовательно, 'это понятие наиболее естественно связано именно с этой двойственностью, а не с какой-то одной топологией на Е. Пример 3. Если Х вЂ” банахово пространство, то А ~ Х ограничено тогда и только тогда„ когда зир(~х~~ < ао, а последнее к«А выполняется тогда и только тогда, когда А содержится в неко- 1. Топологии на канальна вингнлик нространсниак !87 тором кратном единичного шара. Таким образом, для любою ограниченного линейного отображения на Х справедливо неравенство зирй Тхц а-Сл ((ТЙ.
ккл Прилгер 4. Пусть Х вЂ” строгий индуктивный предел пространств Х„, причем каждое Х„=собственное замкнутое надпространство в Х„+,. Если х„— последовательность, для которой х„(Х„, то с помощью конструкции, использованной при доказательстве теоремы 3!.17, можно найти линейный функционал ! ~ Х', такой, что знр ! (х„) = аа. В итоге любое ограниченное множество и А ~ Х должно быть на самом деле ограниченным подмножеством некоторого Х„. Таким образом, например, А с= Юи ограничено тогда н только тогда, когда (1) счществует компакт К <" 33, такой, что зирр(сК, если !~А; (Н) зпр)~0 ~~~ (аа для люка л бого аи !+.
Первый пример подсказывает нам, как обобщить топологию нормы на Х'. Оиредглгние. Пусть Š— локально выпуклое пространство н Р— его сопряженное. Сильная топология (3(Р, Е) на Р— зто топология равномерной сходнмостн на ограниченных подмножествах Е, т. е. топология, порождаемая полунормамн (рл~ А с= Е ограничены), где рл(!) =зир (! (х)1. ккл Любое о(Е, Р)-компактное множество С в Е ограничено, потому что ! б Р— непрерывные функпноналы на С. Следовательно, сильная топология (3 (Р, Е) сильнее топологии Макки.
Мы уже обнаружили, что топология (3 (Р, Е) зависит только от дуальной пары (Р, Е>, так что топология нормы на Х' является топологией (3 (Х', Х), если Х вЂ” банахово пространство. Имея локально выпуклое пространство Е, можно образовать его сопряженное Е' н задать на последнем топологию (3(Е', Е). Сопряженное к Е* в втой топологии называется вторым сопряженным пространства Е н обозначается Е при наделении его топологией р(Е", Е'). Пространство Е можно отобразить в Е' с помощью канонического отображения р: Е- 'Е, задаваемого равенством р(х) (!) =! (х). Это отображенне не всегда непрерывпо (задача 54).
Если оно является монологическим нзоморфнзмом, то говорят, что Е рефлексивно, т. е. Е рефлексивно, если (1) р(Е', Е)-сопряженное к Е есть Е; (Ы) топология р(Е, Е ) на Е совпадает с исходной. Часто полезен следующий критерий рефлекснвностн: У. летально юьивээлью пространства двмма. Пусть Š— локально выпуклое пространство. Оно рефлексивно тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия: (а) каждое о(Е, Е')-замкнутое отраннченное множество в Е а (Е, Е')-компактно; .(Ь) каждое о(Е', Е)-замкнутое ограниченное множество в Е~ о (Е', Е)-компактно; (с) Е обладает топологией Макки т(Е, Е'). Доказательство. Нетрудно видеть' (задача 55), что (а) выполняется тогда и только тогда, когда топологии () (Е*, Е) и т (Е, Е) совпадают, а (Ь) говорит о том, что (э(Е, Е') и т(Е, Е') одинаковы. Пусть теперь Е рефлексивно.
Поскольку Е=Е", топология р(Е~, Е) согласована с двойственностью, так что (э(Е', Е) « г(Е', Е) в силу теоремы Макки †Арен; но т « (), поэтому р'(Е', Е) т(Е', Е). Аналогично ванду того, что сопря-. женное к Е есть Е' и Е обладает топологией () (Е, Е'), () (Е, Е') = т(Е, Е ) и Е обладает топологией Макки. Обратно, пусть (а) — (с) выполнены. В силу (а), Е=Е" как векторные пространства, поскольку в этом случае ()(Е, Е)=т(Е', Е), а по теоеме Ч.22 топология Макки согласована с двойственностью. силу (Ь) и (с), Е обладает топологией (з(Е, Е'). Следовательно, Е рефлексивно. ° С' помощью этой леммы можно доказать (задачи 56, 57), что справедлива Теорема У.24. Пространства Р(Р'), Мп и 6п рефлексивны. В общем случае топология Макки намного сильнее слабой топологии, поэтому множеств,' компактных в.
топологии Макки, значительно меньше, чем слабо компактных. Например, единичный шар в бесконечномерном банаховом пространстве никогда не 'компактен по норме (задача 4), но слабо компактен, если Х рефлексивно. Следовательно, общие теоремы о компактности в топологии Макки являются особенно сильными результатами. Вот наиболее полезный из них: Теорема У.2Я. В пространствах Ю(Р'), Юо и бп любое замкну. тое ограниченное множество компактно (в обычной топологии Фреше). Доказипэльсяыо. Пусть С«Р(К) замкнуто и ограничено. Так как зир)(~'~!., Е < со, то )~(х) — ~(у)~(Е~х — у~ всякий раз, Гес когда ~ЕС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
