Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть й — открытое множество в к'*. Говорят, что ТЕ-У'(К")'равно нулю в й, если Т(~р)=0 для всех у, имеющих носитель в Я (т. е. для <р, равных нулю вне й). Носитель Т (обозначается зпрр Т) есть дополнение наибольшего открытого множества, на котором Т равно нулю. Если Т вЂ” 3 равно нулю на Й, говорят, что Т 3 на Й. .Введенные понятия обобщают понятия, относящиеся к обычным функциям у б4У' (задача 28Ь).
Сверх того, справедлив следующий простой и интуитивно ясный результат (задача 29) Теорема М'.11. Пусть Т ~ У"(К") и зпрр Т= (0». Тогда Т= Х .(О б) ~а~~я с пОДхОДЯЩими сч н Ю$ 1урамер У (перенормировка функционала (1/х)+). Рассмотрим 1 функцию (1/х)+ — — Н(х)х '. Поскольку ) (1/х)ах=со, функция о (1!х)+ не олрэделяеш распределения. Пусть д". (Г~,О) = = (~ Е ~Т ~ зпрр ~ с Р~О) . Если 7 б Р (К' 0), то ) (1!х) + ~ (х) й имеет смысл.
Следовательно,. (1/х)+ определяет линейный функционал на К(К",0), который, как мы увидим ниже, непрерывен. В силу теоремы Хана — Банаха этот функционал, заданный на У'(К' 0), имеет продолжения на все пространство д'(К), которые мы на.- зываем чперенормировками (1!х)+». В качестве явных примеров 160 У. Лаииьно евжузлые иространстаа Ситуация в,3г(К) и У*(Кхй)*= У'(К') совершенно иная: Теорема У,13 (теорема о ядре). Пусть В(7, и) — раздельно не-' прерывный билинейный функционал на Т(й") Э У(й"). Тогда существует единственное распределение Т(~,У'(Р'+"), такое, что В (7, и) = Т (7 ф и), где (~®й)(х„., х„+„)=~(хг, ..., х„)я(х„+г..... х„+ ). То, что раздельная непрерывность влечет за собой непрерывность, вытекает из того, что Ф вЂ” пространство Фреше (теорема У.9), и из следствия теоремы У.7.
А то, что непрерывный функционал имеет требуемую форму, доказано в дополнении к этому разделу (следствие 4 теоремы У.14), Теорему У.12 можно расширить на полилинейные функционалы (задачи 34 и 35). Дополнение к $ У.З. У-представление лля У и У" В этом дополнении доказано несколько теорем о пространствах Ф и У*. Доказательства основаны на реализации Ю, а значит, и 4" как пространств последовательностей (а именно в виде пространства з из $1?1.1). Такое построение в свою очередь разбивается на два шага. Первый шаг †э задание топологии в еУ' с помощью эквивалентного исходному семейства Рьнорм.
Для того чтобы решительно отличать эти новые нормы от норм !! !!а,з, мы вместо !! ° !!ч з будем писать !!г!! з =!!х РВ~!! и определим !Л-.,= !! "Рз~ !!,. <~1. Тогда справедлива Ле.назл 1. Семейства полУноРм 1!! !! з ) и (!! !! «,,) на д'(~ ) эквивалентны. Дохазплмльспмо. Чтобы не усложнять обозначений, проведем доказательство для случая и=1. Поскольку (1+х*) '~Е*, имеем !! 7 !!, = !! (1+х*) -' !!, !! (1 + х') 1 !!„, так что !! ~ !!и.
з, з ~~ С (!! ~ !!а, з. +!! ~ !!а+з. з. ) С другой стороны, 7 (х) = $ 1' (1) аг, так что !! 7 !! ( !! 1' Ц ~ !! (1 + х') 7' !!, !! (1 + х') ' 7 !!„ и, поскольку (хчРЦ)' = ах -'Рз1+ха Рз+'~, получаем !! Р!!% з, ~С(сс!! Р!!.. з,.+!! Р!!.,Ф„,.,+и!! Р!!.„.з.,+!! Р!!.,Фм,.). ° Яолоеоение е Е р.е. У-леодсааееекие дея 4' и,К' 16! На втором шаге используются специальные свойства функций Эрмита (собственных функций гармонического осцнллятора). Рассмотрим отображения А: д'(К) — д'(К) и Ао: е (К) — д'(К), определяемые равенствами А= — (х+ — ), Ао = — (х — ), и М = АС А. Тогда !! ~ !! = !! (М + 1) 1 !!о — полУноРма на г".
ЛемМа 2. Полунормы (!! ° !!„) образуют на г" направленное семейство, эквивалентное семейству полунорм (!! !!о, к о). Дохазалмлослмо. Достаточно нос пользоваться неравенством !! А,*...А~1!!о<!!(М+ло) ~*1!!„где Ао означает либо А, либо Аг.. Детали мы оставляем читателю (задача 36). ° Рассмотрим теперь функцию д„определенную требованиями Аооо = 0 и ) (фо)'ах= 1, т.
е. ооо (х) = л- ыо е-оч', и пусть оо„= (л1)-ы' (Аг)" д, = (2"л1)-ы' ( — 1)" и-'м е"ч' ( — ) е-"'. Функции (оо„) о называются функциями Эрмита, или волновыми функциями гармонического осциллятора, поскольку ( — Ът+хо) д =(2л+1)д„. Имеет место такал Лемма 8. Множество (д„),", о образует ортонормированный базис в Е,о(К). Доказатееьсглео. См. задачи 40 или 41 гл. 1Х или задачу 20 гл. )ПШ. ° Отметим, что Мд„=лд„. Предположим теперь, что 1б г, и. рассмотрим 1.'-сходящееся разложение )'= ~~.'"„а„д„, где а„ ото (д„, г) ме 1 д„(х) 1(х) бх. Поскольку М': Ф вЂ” г, функция М'"1 лежит в У' и, следовательно, в 1.'. Но М"Т'= ~ а„л" д„, =о так что ~ч~', !а„!'ло' <оо. В частности, зир!а„!л" <оо.
Таким л-о П образом доказана первая часть следующей теоремы: оо ооо 162 Теорема Р'.13 (теорема об М-представлении для д'). Пусть зев множество мультипоследовательностей (а ) „а, таких, что зир ~ ач И а ~" < оо е е l,~ для каждого л!. Введем топологию на зз при помощи полунорм ~~(а„) я=~~~(а+1)за~а„)', где ~басф и (и+1)'а= Д(ссс+1)~~!, Пусть ~~ Т(Ка). Тогда по! ! следовательность (аа=(Фч, Я, где Ф„(х)= ДФОП (х,), лежит в з» и отображение 1» (а ) — топологический изоморфнзм. Разложение Эрмита ~=~а©Ф~ сходится в !г. Числа (а ) называются а коэффициентами Эрмита.
Доказа!пельсп!во. Рассмотрим случай й=1. В силу предшествующего обсуждения, если 1Е,У и а„=(Ф„, Д, то (а„)~з. Сверх того, в обозначениях леммы 2, (~ (а„Ц = )~ ~ ~~ . Поскольку ~! нормы на !г", отображение ~ »(а„) инъективно. Пусть теперь (а )",~з, и пусть ~,ч — — ~ а„Ф . Простое вычисление показывает, л 0 что м ~~~а! — ~и~~' = ~ ~а„~*(и+1)""- 0 и~Я+ 1 при У, М вЂ” со. Таким образом, ~,» — последовательность Коши.
для каждой из 1~ ° й, а значит, последовательность Коши в !г" (в силу лемм 1 и 2). Но !Т полно, поэтому,~!т ~ для некоторой ~Ед'. Но тогда ~д, ~ в 1,*, так что (Ф„, Д=п„. В итоге образ д' при нашем отображении Т- з есть все з. Эквивалентность' топологий следует из равенства норм (~ )~„на У' и на з. й Теперь с пространством последовательностей можно отождествить и У'. Теорема У.И (теорема об М-представлении для д").
Пусть ' Т~Ю'(Вм) и Ь =Т(Фч) для каждого аб1». Тогда ~!Ь !(С(!х+1)а для некоторого 1)~1,' н всех а. Обратно, если ~Ь„~(С(!в+1)а для всех !х, то существует единственное Т ~ У", такое, что Т(ф )=Ь . Если Т~!р" и Ь =Т(Ф ) — егокоаффициеиты Эрмита,' то ~~~,'Ь„ф„сходится в то~олог~~ и (!З', 4') к Т. домо/онио и В у.в, о/-ирейсв/аовоиио доя от' и,~' 163 Докаэа/пввоство.
Опять мы рассмотрим только случай й 1. Пусть Т Е У'. Тогда ( Т(Ф) ~ ~ С ~~ Ф )~ для некоторых /л и С, поскольку Щ ~! ) — направленное множество. Так как ~~Ф„~~„=(л+1)и, то (Ь„)ч С(л+1)' . Обратно, предположим, что ~Ь„(о С(л+1)". Для (а„) ~ з определим В (1а„)) = ~~.', Ь„а„. Тогда о о ~В((а.)Н< Х ~Ь.~~а.|~С Х (л+1)-~а.~~ / ю ~~~/о/' и ~1/о ~С~2.", (л+1)* +'~а„~'/) ~ ~', (л+1)-*) о в о ~" —,'С~! ( .) ~!....
В итоге В определяет непрерывный линейный функционал на з. В силу связи между Ю и з, в в" существует такое Т, что Т 2', а„Ф„~)- ~, 'а„Ь„; в частности, Т (Ф„)-Ь . Слабую сходи- ~,о~о / о масть ~Ь„Ф„ к Т установить легко. ° Теперь с помощью описанной техники мы в состоянии доказать ряд интересных теорем о свойствах Т. В основе доказательств лежат два важных упрощения: (1) по сравнению сфункциями последовательности удобнее в обращении; (2) два требования на д' — убывание на бесконечности и принадлежность классу С", в случае з заменяются одним условием убывания. Следснвеме !. Ф' плотно в Ф' в топологии а(У', У').
Докаэа/пввос/пво. Если Ь =Т(Ф,„), то сумма Х Ь Фи прина/р- 1 и1ь/о лежит У и слабо сходится к ТбЮ' при У ои. ° Следснвеме 2. У сепарабельно в топологии фреше. У' сепарабельно в топологии о(Ф', Т) (н в топологии т(Ф', У), которая вводится в $ Ч.7). Следслгеме 8. Справедлива теорема о регулярности распределений — теорема Ч.10. Докава/пввьслмс. Опять-таки рассмотрим только случай й=!.
Поскольку ~~~~~„~С~~(1+х*)~'~~„то с помощью А, Ат и оценок из доказательства леммы 2 можно вывести, что а С'(л+1)*/'. (Более детальное изучение Ф„показывает, что ~ Ф„~~ Р(л+1)-'/1о.)' Пусть ТбФ' и ٠— его козффициенты мига. Тогда ~Ь„~(Е(л+1)" при некотором /л. Пусть а„ (Л+1)- -'Ь„.
ТОГДа ~Ч~~ ~~а„~))Ф„~~„(ЕЧ~~~~(Л+1)-о/о < ои И Ч~~а Ео У. Лаамьио ввивн<еае лрмаюрансзма равномерно сходится к некоторой непрерывной функции )г на й. Функция г" (как элемент Ю') имеет коэффициенты Эрмита (а„). Продолжим А, Аз и У= — ( — <Р/<(х'+х' — 1) на д". Тогда 2 г Ф ~из+3 Т = (1У + 1)" * Р = ~, ~ — ~я + х + 1) Р. Поэтому Т можно записать как сумму полиномов, умноженных на слабые производные от полиномиально ограниченных непрерывных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
