Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В силу пунктов (Ь) и (с) леммы рц — полунорма, а в силу (б) окрестности нуля в исходной топологии те же, что и в локально выпуклой топологии, задаваемой полунормами (рц~УЕЯ). Поскольку сложение раздельно непрерывно в обеих топологиях, окрестности любой точки в этих топологиях совпадают. ° В нормированных линейных пространствах линейное отображение из Х в У непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено. Похожий результат справедлив и в локально выпуклых пространствах (задача 9): Теорема У.й Пусть Х и У' — локально выпуклые пространства с семействами полунорм (р„)„,А и (сиз,э.
Линейное отображение Т: Х вЂ” У непрерывно тогда и только тогда, когда для всех рбВ существуют а, ..., а„ЕА и С>0, такие, что Нв(Тх) (С(р<,,(х)+... +р„(х)). Если (ра)„ял направлено, то Т непрерывно тогда и только тогда, когда для всех 1) б В йв (Тх) (Ор (х) прн некоторых аЕА и Р >О. У. Лсаисно сстснссн нространстса В заключение этого вводного раздела обсудим два применения теоремы Хана — Банаха (теоремы П1.5) к локально выпуклым пространствам. Первое дает Теорема У.З. Пусть Х вЂ” локально выпуклое пространство, 'и пусть 1" — его подпространство. Пусть 1: г - К (или — С, если Х комплексное) линейно и непрерывно. Тогда существует непрерывное линейное отображение !.: Х- К (или — С), такое, что !.)г"=!.
Доказательаиво. Относительная топология на У задается сужением непрерывных полунорм. Таким образом, ~!(х)(~Ср(х) для некоторой непрерывной полунормы. Применяя теорему П1.5 или 1П.б, получаем нужный результат. ° Итак, на локально выпуклых пространствах существует много непрерывных линейных функционалов; на самом деле их достаточно для разделения точек. Обозначим через Х' семейство непрерывных линейных функционалов на Х и назовем его топологическим сопряженным. Второе применение теоремы Хана — Банаха более геометрично и связано с идеей размещения замкнутой гиперплоскости между Ц(м)<а Рис.
ЧЛ. непересекающимися выпуклыми множествами (рис. Ч.1). Гиперплоскость есть множество точек, для которых ! (х) =а, где ! (х)— некоторый ващестаенкозначньш" (даже в комплексном случае) непрерывный линейный функционал. Оаределемие. Будем говорить, что два множества А и В в локально выпуклом пространстве разделены гиперплоскостью, если существуют непрерывный вещественнозначный функционал ! и число а~К, такие, что !(х) ~,а для хбА и !(х))~адля хс:В. Если !(х) <а для х~А и !(х) > Ь для хЕВ, будем говорить, что А и В строго разделены.
149 2. Пространства Фр»ше Теорема 1г.4 (теорема о разделяющей гиперплоскости). Пусть А и  — непересекающиеся выпуклые множества в локально выпуклом пространстве Х. Тзгда (а) если А открыто, то А и В могут быть разделены гиперплоскостью; (Ь) если А и В оба открыты, то они могут быть строго разделены гиперплоскостью; (с) если А компактно, а В замкнуто, то А и В могут быть строго разделены гиперплоскостью. Локазалмльство, (а) Выберем — х Е А — В = (у — г ~ у а А, г ~ В). Пусть С = А — В+ (х). Тогда С вЂ” открытое и, значит, поглощающее, выпуклое, О ~ С и х~С, поскольку А и В не пересекаются. Пусть рс — функционал Минковского для С.
Тогда рс(г+у)« «рс(г)+рс(у) и рс(аг) арс(г), если а > О. Определим 1 на (Лх~ Л ~ Ц равенством1(Лх) =Л. Поскольку х (С, имеем рс(х) = 1, и потому 1(х) «рс(х). Таким образом, по теореме П1.5, 1 продолжается на все Х, причем 1(у) «рс(у).
Так как СП( — С)~= с-1-'[ — 1, 11, функционал 1 непрерывен. В силу неравенства, 1 (у) ~1, если у ~ С. В итоге 1 (а) «1(Ь) + (1 — 1 (х)) для любых а й А нЬЕВ. Так как 1(х) =1, то зир 1(а) «1п1 1 (Ь), »ьл ььв и, значит, 1-разделяет А и В. (Ь) Легко видеть, что если 1 †ненулев линейный функционал и А открыто, то 1[А1 открыто. Поскольку 1[А| и 1[В) открыты и могут пересекаться не более чем в одной точке, Они вообще не пересекаются.
(с) Для каждого а с А найдем выпуклую окрестность нуля У, такую, что (а+У,) 1)В=Я. Множества а+У, покрывают А. Выберем конечное покрытие а,+Уча ..., а,+У,„. Пусть У'= = У„П... П У,, Тогда А+'/, У и  — '/, У открыты и выпуклы, а (А + '/, У) П ( — '/, У) = Я. В силу, (Ь), А + '/, У и  — '/, У строго разделены, поэтому строго разделены А и В. ° В гл. ХЧ1 мы обсудим «алгебраическую теорему Хана — Банаха», т.е.
такую форму теоремы о разделении, в которой не упоминаются ни открытые множества, ни ненрерывныефункции. т.1. Пространства Фрвше ' Как мы видели в 9 111.5, полные метрические пространства обладают специальными свойствами, которые в случае банаховых пространств приводят к весьма сильным результатам. Поэтому интересно выделить те локально выпуклые пространства, которые 160 У. Локаяыю вью хльи врасеранеима одновременно являются полными метрическими пространствами. Прежде всего нужно выяснить, какие локально выпуклые пространства метризуемы, т. е. имеют топологию, порождаемую метрикой. Зто, конечно, не только те 'пространства, топология которых задается нормой, ибо если р — метрика, то р(х, О) — ие обязательно норма, так как р (Лх, О) не обязательно равно Лр (х, О).
Таорелза У.Я. Пусть Х вЂ” локально выпуклое пространство, Следующие условия равносильны: (а) Х метризуемо; (Ь) нуль имеет счетную базу окрестностей; (с) топология на Х порождается некоторым счетным семейством полунорм. Доказалильсиыо. Покажем, что (а) с~ (Ь) => (с) => (а). (а) => (Ь) есть свойство любого метрического пространства, (Ь) =;~ (с) вытекает из следующих двух фактов: если Я вЂ” любая база окрестностей, состоящая из выпуклых уравновешенных множеств, то калибровки множеств У ~4И порождают исходную топологию; в случае когда нуль имеет счетную базу окрестностей, можно найти счетную же базу окрестностей, состоящую из выпуклых уравновешенных множеств. (с) =р (а).
Пусть (р„»,,,...— семейство полунорм, порождающих топологию. Определим р на ХхХ равенством » (х у) ~~) о й ( Р» ( У) 1 (1) 1) Поскольку а)(1+а) (1 для любого а> О, имеем р(х, у) < оо. Легко видеть, что р — метрика и что она порождает ту же топологяю, что и (р„»~ (зддача 10а). ° В метризуемом пространстве два понятия полноты совпадают (задача. 10 Ь): Предложение. Направленность (хв» есть направленность Коши в метрике р из (У.1) тогда и только тогда, когда она есть направленность Коши в каждой р„.
Таким образом, метризуемое локально выпуклое пространство Х полно как метрическое пространство тогда и только тогда, когда оно полно как локально выпуклое пространство. Определение. Полное метризуемое локально выпуклое пространство называется пространством Фреше. Пространство Фреше как полное метрическое пространство удовлетворяет теореме Бара о категории, и потому для него можно доказать аналоги теорем, установленных в 5 П1.5. 151 Теоремв У.б.
Если Х и У вЂ” пространства Фрешеи1: Х- У вЂ”. непрерывная биекция', то 1 — открытое отображение. Теорема г'.У. Пусть Х и У вЂ” пространства Фреше; пусть и†семейство непрерывных отображений из Х в У, такое, что для кжкдой непрерывной полунормы р на У и каждого хб Х множество (р(Р(х)) ~РЕК) ограничено. Тогда для каждой р на У существуют непрерывная полунорма И на Х и С>0, такие, что р (Рх) < СИ (х) для всех хЕХ и Рбе. О применениях теоремы 11.6 см.
задачу 12. Обращаясь к применению теоремы Ч.7, прежде всего отметим, что сюда без .изменений переносится следствие теоремы Н1.9: Следствие. Если Х вЂ” пространство Фреше, то любой раздельно непрерывный билинейный функционал В непрерывен, т. е. ~В(1, д)((Ср,(1)р,(д) для некоторых непрерывных полунорм Рм Ра. Другое следствие теоремы Ч.7 можно рассматривать как замаскированную теорему 1.27: Теорема $~.8. Пусть Х вЂ” пространство Фреше, и пусть ~„б Х'— ааследовшлельноаль, сходящаяся к 1б Х в топологии о(Х', Х).
Тогда 1 1 равномерно на компактных подмножествах в Х. Доказаеельаиао. Поскольку 1 (х) сходится, она ограничена, поэтому можно найти непрерывную полунорму р на Х, такую, что ~~„(х)~:а„Ср(х). Если заданы компактное подмножество 1)~Х и некоторое е, выберем конечное покрытие з) множествами (1„... ..., (1„, такое, чтобы из х, уб(1* вытекало р(х — у)(е1ЗС.
Далее, выберем такие хь б (1„и 1т', чтобы при п > 1т было Ц~„(х~) — ~(х~)~ ( а(3 для 1=1, ..., т, Тогда е13-прием даст зцр ~ ~„(х) — 1(х) ~ < е, если а > й1. ° лев т.З. Быстро убывающие фуииннн н обобщенные функции умеренного роста Здесь мы хотим обсудить очень удобное пространство функций — пространство . быстро убывающих функций и его сопряженное — пространство обобщенных функций умеренного роста. Для того чтобы определение прошло гладко, введем сначала некоторые обозначения. Функцию на К" будем записывать просто как 1(х), х <х„..., х„)г Множество всех наборов из и неотрицательных целых чисел а =' <а„.. „и у обозначим через 1+, 1+' — — 1+. л з! и! Положим !а!=. 3 п;. Далее, пусть 1)" обозначает 1 ! а х х7 ...х„а. Омриделемгги.
Множество быстро убывавщик функций У(Р") есть множество бесконечно дифференцируемых комплекснозначнык функций у(х) на Й", для которых при всех п, !) б 1ф !!~р!!~а — — зир !х'ЧФ<р(х)! <оо. ~6 а" Таким образом, функции из Ф вЂ” это те функции, которые вместе со своими производными убывают быстрее любого обратного полинома.
Теорема У.У. Векторное пространство г (К") вместе с естественной топологией, задаваемой полунормами !!.!!„„э, есть пространство Фреше. Доииаиельстао. Читатель легко проверит, что !! !!„, э — полунормы. Поскольку их счетное число, г(К") метризуемо (теорема т.б). Следовательно, остается показать, что Ф(К") полно. Предполо- . жим, что 1„— последовательность Коши по каждой !!'!! „з.
Тогда х РЗ1 я,а равномерно при т — оо, поскольку С(К ) полно. Если удастся показать, что я= ям, — функция класса С" и я„, в =х 1)эй, то убудет лежать в У', а '1пп 1„в топологии пространства У' будет равенн. Докажем, что я — класса С' и буях я,,т в случае и =1.
Общий случай рассматривается -аналогично. Известно, что 1„(х) =~„(0)+ ) 1'„(1) Ю. о Поскольку 1„'- й;,г равномерно, имеем й'(х) =й"(()) +) й'мт(1) "г. о Таким образом, я принадлежит, классу С' и я'=я,д. ° По техническим причинам часто удобно иметь направленное семейство полунорм, поэтому для й, т Е1+ и ~ЕЮ(Р') мы полагаем !!Ъ. =,Я„!!Г!! э. ~а 1<лю Оиределенае. Топологическое сопряженное пространство к д' (к"), обозначаемое через г' (К"), называется пространством обобщенных фунвцнй (распределеннй) умеренного роста.
Для того чтобы-линейный функционал Т на г" (Р') принадлежал У'(Р*), он должен быть непрерывным. По теореме Ч.2 это эквивалентно сУществованию полУноРмы 1 йэ, со свойством ~Т(ф)~(С~~ф~[„, для всех фЕ У(Р'). Обсудим йесколько примеров, ограничиваясь случаем а =1; читатель сможет легко обобщить нх на случай произвольного п. Пример 1 (У). Пусть яЕФ (К'); определим функционал я( ) на Ф' формулой я(ф) ) я(х) ф(х)Ых. (Ч.2) Ясно, что я(.) линеен н !а(ф)!~Пай <в!! ф П-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
