Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Следовательно, Е+ (1) — Е (1) = зпр (1(Ь) ~ 0 е Ь ( Ц +-зпр ЕЕ (Ь) ~ — 1 о. Ь (0) = р 1'1(а)! — 1< а<1) < 4~ Ц ! Ц знр (Ц й Ц„! — 1 ~ и:, 1) = ЦЕ Ц. Доказательство единственности мы оставляем читателю (задача 31). ° Определение. Комплексная берова мера есть конечная линейная комбинация бэровых мер с комплексными коэффициентами. Вот простое следствие теорем 1У.14 и 1У.16; 4. Теории мера на номнакн«ныл ароса«ранствак 1227 Теорема Лр.17.
Пусть Х вЂ” компактное пространство. Тогда С(Х)' (сопряженное к С(Х)) есть пространство всех комплексных мер Бара. Определение. Будем писать М (Х) = С'(Х), мк (Х)— = 11р М'(Х) ~1 — положительный линейный функцнонал) н М,,,(Х)=(1~М,(Х) ! !!111=1). В ряде случаев полезно представлять себе меры не просто как индивидуальные объекты, но, напротив, как элементы ей(Х), Чтобы. дать читателю представление о такого рода рассуждениях, мы закончим наше обсуждение пространства еэ(Х) простой теоремой о выпуклости. Огервделемае.
Множество А в векторном пространстве У называется выпуклым, если нз х6 А, у 6 А н 0(1(1 следует, что 1х+(1 — 1)убА. Иными словами, А выпукло, если отрезок прямой между х н у прннадлежнт А; коль скоро х н у прннадлежат А (рнс. 1у.1). Множество А называется конусом, если нз Рис. 1»'.1. Выпуклое множество. к~А следует, что 1хЕА прн всех 1> О. Если А выпукло н представляет собой конус, то оно называется выпуклым конусом. Дрвдложвмпе.
Пусть Х вЂ” компактное хаусдорфово пространство. Тогда ««е+,,(Х) выпукло, а М+ (Х) — выпуклый конус. Доказал«ельсимо. Выпуклая комбннацня положительных линейных функцноналов есть, очевидно, положительный линейный функционал. Более того, (! 1 ~! = 1 (1), если 1 — положительный линейный функционал, так что 11 11, +(1 — 1) 1, (~ = 1, если' 1» б М„,. ° На первый взгляд этот геометрический факт может показаться несколько странным; потому что читатель привык представлять себе единичную сферу (х ~ цх'2= 1) «круглой», а здесь утверждается, что целый ее кусок — совершенно плоскнй1 Суть дела в том, что не всякая норма — евклидова (нз закона парал- 7У.
Топоеаеичеекие вресеввгнеема лелограмма следует, ' что в гильбертовом ' пространстве если йх~~=(~у(~=1 и х~=у, то йГх+(1 — Г)у~~< 1). На самом делс е в Р' с нормой ~~(х„..., х„) З = ~~„'~ ~ х; ) единичная сфера имеет пло- ве 1 ские грани (см. рис. 1Ч.2). Это не случайное совпадение; ркс. 1ч,к екввкчвек сфера в й», когда 1~(», у)11=14+1у!. (1, ..., и) есть компактное множество в дискретной топологии, а Р* с рассмотренной нормой есть в точности эФ(11, ...,.а)). Теперь мы хотим распространить етопологическую теорию меры» на более широкий класс пространств. Определемме.
Топологическое пространство Х называется локально компактным, если всякая точка р бХ имеет компактную окрестность; Из сравнения с мерой Лебега на К становится понятно, что надо ослабить условие р.(Х) (оо, которое накладывалось для компактных Х. Сначала определим бэровы множества в локально компактном пространстве Х как а-кольцо, порождаемое компактными 0»-множествами.
Заметим, что, вообще говоря, само .Х может йе быть множеством из Я. Однако если Х о-компактно, т. е. является счетным обьединением компактных множеств, то ХйЖ. Ощуеделемае. Мера Бара на локально компактном пространстве Х есть такая мера на бзровых множествах, что 1»(С) ., оо для любого компактного барона множества С. ' Если заданы мера Бара р. на Х и компактное бо-множество С~Х, то существует иидуцированная сужением мера Бара р- на С, ' Обратно, легко видеть, что семейство мер (рс), по одной для каждого Ое-множества, обладающих тем свойством, что 1» (У) = рр(У), если Ус=СПи, определяет меру Бара.
Эти наводящие о. Соооае аооооогии на оанаиеви аоослцииооиаи соображения позволяют доказывать теоремы для локально компактного случая, опираясь на аналогию с компактным случаем. Определенна. Пусть Х вЂ” локально компактное пространство. Алгебра к(Х) непрерывных функций с компактным носителем есть множество функций, исчезающих вне некоторого компактного множества (вообще 'говоря, своего для каждой функции). Алгебра С (Х) непрерывных функций, исчезающих на оо, есть множество функций 1'б С(Х), обладающих тем свойством, что при любом е > 0 существует компактное множество О,~-Х, такое, что ~1(х) ~ < е, если х(Оо.
Таким образом, к (Х)с=С (Х)с=С(Х). Из теоремы 1'Ч.14 следует Теорема Лг.18 (теорема Рисса — Маркова), Пусть Х вЂ” локально компактное пространство. Положительный линейный функционал на х(Х) имеет вид 1Д) ) ~4л с некоторой мерой Бэра р. Положительные линейные функп,ионалы на С (Х) порождаются мерами р с конечной полной массой, т, е. зпр р(А) <оо. А е оа В следующей главе мы найдем топологию на к (Х), в которой сопряженное к н (Х) будет в точности пространством комплексных бэровых мер. Заметим, что эта топология не задается нормой (Н~ .
Пространство к(Х) не полно по норме ~! (); его пополнением будет С (Х), а его сопряженным по норме ~~ )( пространство конечных мер. 1тЛ. Слабые тепелегнн на банакевык престранствах Определение. Пусть Х вЂ” банахово пространство и Х' — его сопряженное. Слабой топологией на Х называется слабейшая топология на Х, в которой непрерывен каждый функционал 1 из Х'. Таким образом, база окрестностей нуля для слабой топологии задается множествами вида Ф(1„..., 1; е)=(х~~1;(х)( < е, 1 1, ..., л), т. е. окрестности нуля содержат цилиндры с конечномерными открытыми основаниями. Направленность (х ) слабо сходится кх (записывается х„- х) тогда н только тогда, когда!(хи)- 1(х) для всех 1бХ'.
В бесконечномерных банаховых пространствах слабая топо-' логия не порождается никакой метрикой. Это одна из главных 5 м 49з гУ. Тоиогогииесииг иоогтоиигтаи причин, по которым мы ввели топологические пространства. Прежде чем перейти к примерам, укажем три элементарных свойства слабой топологии. Предлажение. (а) Слабая топология слабее, чем топология нормы, и, значит, всякое слабо открытое множество открыто по норме. (Ь) Всякая слабо сходящаяся послодовгппельнссгпь ограничена по норме. (с) Слабая топология хаусдорфова.
~оказагпельсгпео. (а) следует из неравенства»! (х) ~ ~ ~~ г ~~ ~~ х и; (Ь) есть следствие принципа равномерной ограниченности; (с) вытекает из теоремы Хана — Ванаха. Детали мы оставляем чита.телю. ° Подчеркнем, что (Ь) справедливо только для последовательностей.
В задаче 39 от читателя требуется построить контрпример для соответствующего утверждения о направленностях. Рассмотрим два примера; в каждом из них будет сказано, что это означает, что последовательность сходится. Это не опасмоаепг топологию полностью, но дает читателю воэможность получить общее впечатление о соответствующей топологии.
Пример 1. Пусть Я' — гильбертово пространство. Пусть (ф» иг — ортонормированный базис в Ж Для заданной послодооапи ильноспги ф„~яГ пусть ф„' '= «р, ф„> — координаты ф„. Мы утверждаем, что ф„— ф в слабой топологии тогда и только тогда, когда (1) ф' ' фиг при каждома и (й) Ц~ф„~Ц ограничено.
Действительно,"пусть фи — ф; тогда (() следует из определения, а (й) вытекает из свойства (Ь). С другой стороны, пусть выполняются (1) и (й), и пусть Р~М вЂ” подпространство конечных линейных комбинаций элементов ф . В силу (1), «ф, Ф,> «р,гр>, если ф ~ г. Пользуясь тем, что г плотно в М', свойством (й) и е/З-приемом, можно доказать слабую сходимость.
Пралоер 2. Пусть Х вЂ компактн хаусдорфово пространство. Рассмотрим слабую топологию на С(Х). Пусть Д„» — последовательность в С(Х). Мы утверждаем, что ~„— у в слабой топологии тогда и только тогда, когда (!) ~ (х) — ~(х] для любого хЕХ и (й) ~»Г„~» ограничена. В самом деле, если ~„— ~, то (() выполняется, так как ~> ~(х) есть элемент С(Х)', а (й) следует из свойства (Ь). С другой стороны, если выполнены (1) и (й), то ~ Г„(х) ~ г зпр Й ~ ~~, где правая часть принадлежит г'.г при и любой бэровой мере р. Значит, по теореме о мажорированной сходимости для любой р Е оФ+ (Х) интеграл ) ~ 4~— б.
Свабив тоисвогии на баиавоввос пространствах ( 1ор. Поскольку любая 1~ вв(Х) есть линейная комбинация мер из М, заключаем, что 1 Мы видели, что слабая топология слабее топологии нормы. Она действительно очень слабая! Чтобы понять это, заметим, что если у нас мало открытых множеств, то тем самым мало и замкнутых, а это означает, что замыкания очень велики. В задаче 40 читатель увидит, 'что в любом бесконечномерном банаховом пространстве Х слабое замыкание единичной сферы (х~Х~~~х~~=1» в Х есть единичный шар (х~Х~~~х~~~=Ц. Вскоре мы начнем изучать общие «сопряженные» топологии, а сейчас в качестве частного случая теоремы 1т'.20 приведем следующее утверждению Теорема Л1.1У.
Линейный функционал 1 на банаховом пространстве слабо непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен по норме„ Хотя эта теорема следует из теоремы 1У.20, она имеет очень простое прямое доказательство (задача 42). Наконец, мы хотим сказать несколько слов о о-слабой топологии и доказать одну часто применяемую теорему о компактности. Пусть Г=Х' есть сопряженное какого-либо банахова пространства Х. Тогда У'=Х'* индуцирует слабую топологию на У', однако вместо нее можно рассмотреть топологию, порождаемую Х на пространстве Х'.
ОП(эбделекае. Пусть Х' †сопряженн некоторого банахова пространства Х. Тогда «-слабая топология есть слабейшая топология на Х', в которой все функции 1~ 1(х), х ~ Х, непре« рывны. Заметим, что в-слабая топология еще слабее, чем слабая тополргия. Как и можно было ожидать, Х рефлексивно тогда и только тогда, когда слабая и о-слабая топологии совпадают. Многие условия рефлексивности опираются на соотношения между слабой и и-слабой топологиями. Чтобы избежать путаницы н иметь возможность сформулировать следующую теорему в естественной постановке, введем еще одно новое понятие. Ол1эбдалемиб. Пусть Х вЂ” векторное пространство, и пусть У'— семейство линейных функционалов на Х, разделяющее точки Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
