Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Математики, «ак 4ранцузмс осе аао еи им миорите, они аертодти на аюа засос, и зот тотчас те станоеаеаса чем-то соеершенно инта. И. В. ГЙТВ Ч.1. Общие свойства При изучении слабых топологий в 5 1Ч.5 мы уже обсудили несколько топологий, не порождаемых нормой. Мы также упомянули, что бэровы меры на локально компактном топологическом пространстве Х образуют пространство, сопряженное множеству и(Х) непрерывных функций с компактным носителем, если наделить последнее подходяшей ненормируемой топологией. Цель этой главы †обсужден обшего класса топологических векторных пространств; в котором содержатся пространства этих примеров, а также пространства обобщенных функций, встречающихся в самых разнообразных задачах функционального анализа и во многих физических приложениях.
Идея, лежащая в основе обсуждаемых топологий, очень проста. Предположим, что вместо одной нормы у нас есть семейство норм (ра)аек, где А — некоторое множество индексов. р(ы хотели бы иметь топологию, в которой направленность(хэ) сходилась бы к х тогда и только тогда, когда.ри(ха — х) 0 прикаждомфиксированном а б А.
Однако хорошо было бы ослабить одно из условий на норму. Напомним, что ~~х~~=О влечет за собой х=О и что это условие необходимо для единственности пределов, т. е. для того, чтобы индуцированная топология была хаусдорфовой. ПредПОЛОЖИМ, ЧТО (ра)иек — СЕМЕйетВО ОбЪЕКТОВ> ПОдЧИНЕИНЫХ ВСЕМ условиям на нормй, кроме условия обращения х в нуль, когда ра(х)=0 для какого-то а. Взамен предположим, что х О, если р„(х) =0 для всех а; тогда легко понять, что в топологии, в которой сходимость означает, что р„(ха — х)- 0 при каждом фиксированном а, пределы единственны. Введем поэтому такое Овределенае. Полунорма на векторном пространстве У есть отображение р: У 10, са) со свойствами: (1) р(к+у)(р(х)+р(у); (В) р(ссх)= ~се~ р(х) для а ЕС (или Е). Семейство полунорм (ра)а ел называется разделяющим точки, если (Ш) из условия ри(х) = 0 для всех а Е А следует, что х=О. Олределелие.
Локально выпуклое пространство есть векторное пространство Х (над м или С) с семейством полунорм (р„)„«л, разделяющим точки. Естественная топология на локально выпуклом пространстве есть слабейшая топология, в которой непрерывны все р~ и в которой непрерывна операция сложения, Отложим временно обсуждение примеров и объяснение термина «локально выпуклоеэ. Отметим только, что многие авторы в определении не требуют, чтобы полунормы разделяли точки, а при формулировке утверждений вводят это условие как дополнительное, Значение этого условия в том, что из него следует (задача ба) такое Предлажелие. Естественная топология локально выпуклого пространства (при нашем определении!) хаусдорфова. База окрестностей нуля в естественной топологии задается множествами (Уа„....
а„; « ~ а„..., а„ЕА; е > О), где Фа„...,а„;в (х~ра(х)(е,ю 1, ° ° °,л) Таким образом, направленность хэ х тогда и только тогда, когда р„(хэ — х) — 0 для всех а б А. Естественным путем расширяется и понятие полноты. Олределелле. Направленность (хэ) в локально выпуклом пространстве Х называется направленностью Коши, если для всех е > 0 и для каждой полунормы р„существует такое р„что р~(хв — хт) < е, когда р, у > (),. Пространство Х называется полным, если в нем каждая направленность Коши сходится, Важной структурой на локально выпуклом пространстве является скорее естественная топология, чем конкретные полуиормы, которые ее порождают.
Назовем два семейства полунорм (р„)<,«л и Щэ«э на векторном пространстве Х эквивалентными, если они порождают одну и ту же естественную топологию. Часто полезно иметь в виду следующий результат (задача бЬ). Предложелае. Пусть (р„)<„А и Щэ«в — два семейства полу- ' норм. Следующие условия равносильны: (а) Рассматриваемые семейства полунорм эквивалентны. (Ь) Каждая р„непрерывна в и'-естественной топологии, а каждая Иэ непрерывна в р-.естественной топологии.
(с) Для каждого ацА существуют ()„..., р бВ и С> О, такие, что для всех хЕ Х (х) (С(ПЭ, (х) + ° ° . +ЙЭ (х)), и для каждого )3 Е В существуют а„..., а„Е А и Р > О, такие, что для всех хЕХ Пэ(х)(Р(р«,(х)+... +р„(х)). !4$ Появление в теории локально выпуклых пространств выражений типа С(бз,(х)+... +бэ (х)) носит совершенно общий характер. Поэтому полезно рассмотреть семейства полунорм со следующим специальным свойством. ОщждЕ зйийе.
Семейство (ра)а,л полунорм на векторном пространстве У называется иаправлеииым, если для всех и, р ЕА существуют уЕА и С, такие, что для всех хЕУ ра(х)+ рв(х) (Ср (х). Значит, по индукции, для любых а„..., сс„ЕА существуют такие у и Р, что для всех л Е У ра,(х)+...
+ра (х) «(Ррт(х). Если, например, (ра)а зл — направленное семейство, то ((х ~ ра (х) < е) / О, Е А, е > 0) — база окрестностей нуля. Направленные семейства полунорм существуют всегда: Предлажеиав. В каждом локально выпуклом пространстве существует направленное семейство полунорм, эквивалентное семейству, определяющему топологию пространства. ДОЮШППЕЛЬСЛЫО. ЕСЛИ (ра)аа Л ОПРЕЛЕЛИЕТ ИСХОдиуЮ ТОПОЛОГИЮ, то пусть  — множество конечных подмножеств в А. Если Р б В, то пусть бг= ра. Тогда семейство (Н„)р1в направлено иэкви- ааР валентно исходному семейству. ° Рассмотрим кратко два примера. Дальше в З У.З и З У.4 мы обсудим несколько других примеров; в частности, тем из читателей, кто хочет набраться опьгга в обращении с эквивалентными полунормами и направленными семействами полунорм, полезно познакомиться с дополнением к З У.З, носящим технический характер.
,Пример 1. Пусть Х вЂ векторн пространство, и пусть У— множество разделяющих точки линейных функционалов на Х. В З 1У.З мы ввели топологию О(Х, У). Это как раз локально выпуклая топология, порождаемая полунормами (р,)(Е У), где р,(х) = ~1(х) ~. Эта топология задается полунормами, но не определяется никакими нормами, если У имеет бесконечную алгебраическую размерность (задача 2).
Пример 2. Пусть Р†облас комплексной плоскости, т. е. связное и открытое множество. Пусть ВΠ— векторное пространство всех (однозначных) аналитических функций в Р. Пусть рсЩ = = зцр~~(г) ~ для любого компактного СГ=Р. Множество ВО, нааес деленное топологией, определяемой полунормами рс, есть полное !46 1с.,аасса.ваа аыассссаые 'арса т ранааыа локально выпуклое пространство. Действительно, предположим, что 1а ЯвлЯетсЯ Рс-напРавленностью Коши дла всех С. Тогда 1 (г) 1(г) равномерно на компактных множествах. По классической теореме Вейерштрасса функция ~ аналитична (в основном из-за того, что ~ аналитична тогда и только тогда, когда для нее справедлива интегральная формула Коши, которая сохраняется при равномерном предельном переходе). Пусть р~~ Ц) ) $ ~~(х+(у) ~'с(хс(у. а+са а с Семейства 1РСс) и (Рс) зквивалентны (задача 7). Теперь мы готовы к обсуждению вопроса о том, почему лю кально выпуклое пространство так называется и какие геометрические идеи и построения с зтим связаны.
Специальными геометрическими свойствами обладают прежде всего окрестности Паа аа ..., аас в. Опрвделесвив. Множество С в векторном пространстве У на- ' зывается выпуклым, если из х, уЕС и 0(~«,1 вытекает, что 1х+(1 — 1)у~С; уравновешенным (или закругленным), если из хЕС и ~ Х~(1 вытекает, что сс,хЕС; поглощающим (или поглотителем), если 0 1С У, т. е.
если для каждого хЕ У существует с>о такое з > О, что ах~а С. Если С выпукло и У вЂ векторн пространство над и, то уравновешенность означает только, что — х Е С, когда х Е С; если У— векторное пространство над С, то'уравновешенность означает, что.есахЕС, когда 8~а[0, 2п) и хЕС (так что закругленность— более подходящий термин). Путем злементарного применения определений легко убедитьси в том, что 1Уа„,.
„а с а выпуклы. Предложение. Если р „ ..., р — полунормы на векторном пространстве У, то (х~ ~ра,(х)~(е, ...!р (х)~(е) — уравновешенное, выпуклое, поглощающее множество. Это предложение — половина следующей основной теоремы: Теорема У.у. Пусть У вЂ” векторное пространство с хаусдорфовой топологией, в которой сложение и умножение на скаляры раздельно непрерывны. Тогда У вЂ” локально выпуклое пространство (т. е.
имеет топологию, заданную семейством полунорм) в том и только том случае, когда нуль обладает базой окрестностей, состоящей из уравновешенных, выпуклых, поглощающих мно- жеств 1. Общие аюйсева Доказательство второй половины теоремы: У имеет топологию, порождаемую полунормами, если нуль обладает базой окрестностей, состоящей из уравновешенных выпуклых поглощающих множеств,— покоится на следующей лемме. Определение. Пусть С вЂ” поглощающее подмножество векторного пространства У с дополнительным свойством: если х Е С и 0 (Г (1, то 1хЕС.
Функционал Минковского (или калибровка) на множестве С есть отображение р: У- [О, оо), задаваемое формулой р (х) 1п1 (Х ~ х Е ХС) = =(зир(п~пхЕСЦ-'. лалама. (а) если г)О, то р(1х) 1р(х) для любой калибровки и любого С. (Ь) Если С выпукло, то р(х+у) (Р(х)+Р(у). (с) Если С закруглено, то р(хх) =~ Л!Р(х). (б) (х ~ р (х) ( 1) с Сс (х | р (х) ~< 1). Доказательство этой красивой леммы мы оставляем читателю в качестве упражнения. Доказацмльсцмо теоремы У.1, Пусть Ж вЂ” база окрестностей нуля, содержащая только выпуклые, уравновешенные, поглощающие множества; для каждого УЕЯ пусть рц — калибровка на У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
