Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Простые рассуждения (задача 37) позволяют завершить доказательство; ° Сыдствае 4 (теорема о ядре). Каждый непрерывный билинейный функционал В(-, ) на У(Р')х У(к'") имеет вид В(7, д) = = Т(~Я)й) с некоторым Т бУ" (Р'+"). джазатехьстао. Поскольку В непрерывен, ( В Д, й) ~ (С ~! 7 й, !! й'!Ь для некоторых гЕ 77, з677.
Огсюда (В(Ф,„,Ф ) ((С(а-(-1)'((3+1)'=С1<а, ()>+Ц<'*>, где «з, ()>=(а„..., а„, 1)о ..., 1) > 6 7~~. Б результате Ь< .з> В(Ф, Фз) — коэффициенты Эрмита распределения Т~У'(К"+"'), такого, что Т(Феи з>) мэ Т(Ф.ЯФз) =о<в. з>. Пусть ~=;«'а©Ф„, «=ч~~~~сзФз. Так как эти разложения сходятся в е"-, то Т(~фу) = '„5',а„сзТ(ФаЯФз)= Ха<Фаз<а. а>~В(1Ф Ы)' ° а,з а,з У.4. Индунтнвныа преданы: ебебщанныа функцнн н свабыа ращения днффаранцнвньнык уравнаннд ° чвстнык врензведнык В' ' интуитивном смысле ясно, что распределения, рассмотренные'в предыдущем разделе, характеризуются тем, что оии полиномиально ограничены на бесконечности. Более точно об этом говорится в теореме Ч.10, которая гласит, что любое ТбУ" является производной от полиномиально ограниченной функции.' Рост распределения Т б У" в некотором смысле противоположен степени убывания функций 7 б Ф.
Это наводит на мысль построить обобщенные функции, не имеющие ограничений на рост в бесконечности, определив их как элементы пространства, сопряженного к пространству функций с очень резким убыванием на бесконечности, т. е. равных нулю вне компактного множества. Иными словами, мы хотим топологизировать множество С,"(К") бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем так, А Индвювиеные лредееи чтобы оно стало полным локально выпуклым пространством.
Если К вЂ” компактное множество в Р', множество Се (К) функций класса С" с носителем в К обладает естественной топологией, задаваемой нормами ~~~)1е, =зир~В 1~. Однако при наделении а» Се Же) нормами Я ° Ц, )„е,е оно нг стаиовится полным, несмотря на то что пространства Се (К) полны для каждого компактного К (см. задачу 38). Нам хотелось бы считать С,"(Р") объединением (1 Се (К„), где 1К„)",— некоторое семейство компактных множеств, такое, что (1 К„=ес', и наделить его некоторой «предельной» топологией. Для того чтобы сделать зто, опишем одну общую конструкцию.
Теорема р'. И". Пусть Х вЂ” комплексное (или вещественное) векторное пространство. Пусть Х„ †семейст подпростраиств со свойствами Х„с: — Х„+„Х= (1 Х„. Предположим, что каждое Х„ е~! обладает локально выпуклой топологией, такой, что ее сужение из Х„+, на Х, совпадает с заданной топологией на Х„. Пусть %в совокупность уравновешенных поглощающих выпуклых множеств 6 в Х, таких, что 6ПХ„открыло в Х„для каждого и. Тогда: (а) 'И есть база окрестностей нуля некоторой локально выпуклой топологии; (Ь) топология, порождаемая совокупностью Я, †сильнейш локально выпуклая топология на Х, в которой непрерывны вложения Մ— Х; (с) сужение топологии из Х на каждое Х„совпадает с заданной топологией на Х„; (б) если каждое Х„ полно, то полно и Х.
Для доказательства теоремы Ч.15 нам нужна одна техническая Лемма. Пусть Х вЂ” локально выпуклое пространство, и пусть Х;— подпространство с относительной топологией, которая автоматически локально выпукла. Пусть У вЂ” открытое выпуклое уравновешенное подмножество в Х,. Тогда в Х существует открытое выпуклое уравновешенное подмножество Я, такое, что Я() Х, =У. Доказательслию. Поскольку на Х, задана относительная топология, в Х можно найти такое открытое множество 6, что 6 () Х, = У.
Так как 6 †окрестнос нуля в Х и Х локально компактно, можно найти уравновешенное выпуклое б,с=б, открытое в Х. Пусть Я=(ах+()у(хЕ6,, уЕ е', ~а(+)~ ( =1) = (Ру+~ а ~ 6,). ееГ,~а~+~В~-~ !бб р. Ловиью вн»уиае»р»етпранства Будучи объединением открытых множеств, Е открыто.
Поскольку УсЕ, имеем Ус(Я()Х,), но если ах+ру~Х,()Л, то хЕХ,()6,с=Х,()6=У, так что ал+йу~У, т. е. Е() Х,сУ. Это и доказывает лемму. Й Доказательство теоремы У.15. Семейство 'Ы замкнуто относительно конечных пересечений и растяжений, поэтому для доказательства (а) нужно только показать, что порождаемая им топология хаусдорфова. Но если мы докажем утверждение (с), то из него будет следовать хаусдорфовость Х, ибо если точка х ~ Х„задана, то можно найти содержащее нуль открытое в Х„множество 6, не содержащее х, а тогда, при условии что (с) доказано, можно найти такое открытое в Х множество О, что 0 () Х„6. Таким образом, из (с) следует (а). По заданной окрестности 6, нуля в Х„найдем уравновешенное выпуклое открытое множество М„с=6,.
Затем, пользуясь леммой, найдем выпуклое. уравновешенное и открытое в Х„, подмножество М„~,с=Х„~„такое, что М„„,() Х„=з1„, и далее по индукции — такие множества Мь (й>а), что й1ь выпуклы, уравновешены, открыты в Х„н Мь()Х,,=М„,. Положим М = (1 М„. Легко видеть, что Ф„ЕЯ и й1„ПХьс=6,. »ь» Таким образом, 6, — окрестность в относительной топологии. То что относительная топология сильнее, чем заданная, следует из определения Я. Это доказывает (с), а следовательно, и (а).
Нетрудно доказать (Ь). Относительно (д) см, ссылки в Замечаниях. ° Огзрвдвлвиае. Локально выпуклое пространство Х, построенное в теореме У.15, называ4тся строгим'индуктивным пределом прострачств Х„. Заметим, что если каждое Х„есть собственное замкнутое подпространство в Х„+„ то пространство Х неметризуемо (задача 45). Одно из приятных свойств строгого индуктивного предела отражено в следугощей теореме: Теорема У,16. Пусть Х вЂ” строгий индуктивный предел локально выпуклых пространств (Х„),. Линейное отображение Т из Х в локально выпуклое пространство Г непрерывно тогда и только. тогда, когда непрерывно каждое из сужений Т [Х„.
Доказалельааю. Если Т непрерывно, то и каждое сужение непрерывно. Обратно, предположим, что каждое сужение непрерывно. Пусть М вЂ” уравновешенное выпуклое открытое множество в У. Тогда Т-' [й13 () Х„(Т Г Х„)-' [У3 открыто в Х„, поскольку Т [Х„непрерывно. Так как Т-'[У) уравновешено и выпукло, оно открыто, и потому Т непрерывно. ° в. индуюиивньи»реда»а !67 При.мер Ф. Пусгь х (к) — множество непрерывных функций на й, имеющих компактный носитель.
Пусть х„— множество функций из х(м) с носителем в ( — и, н|, нормированное при помощи ~~ ° ~~„. Снабдим х топологией индуктивного предела. В силу последней теоремы, сопряженное к х в этой топологии образует в точности множество комплексных мер Бара на и.
Такая же конструкция возможна н в случае х(Х), когда Х вЂ” любое о-компактное локально компактное пространство. Пусть теперь й — открытое связное множество в Р», а СТ (ь))— множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в й. Пусть ʄ— возрастающее семейство компактных множеств, такое, что (1К„=Я. Зададим на С,"(К„) топологию » Фреше, порождаемую нормами ~~Р ~~( . Обозначим множество С,"(Й) с топологией индуктивного предела, получаемой с помощью (1 С," (К„), через Юо.
Эта топология не зависит от выбора » К„(задача 46). В Юя довольно просто ввести свкввнциавьную сход имость. Теорема У.уу. Предположим, что Х = (1 Х„снабжено топологией строгого индуктивного предела и что каждое Մ— замкнутое собственное подпространство в Х„+,. Последовательность ~Х сходится к 1ЕХ тогда и только тогда, когда все 1 лежат в некотором Х„ и 1 1 в топологии этого Х„. В частности, нослвдовательность 1 б Юа» сходится к 1 тогда и только тогда, когда все 1 и 1 имеют носитель внутри некоторого фиксированного компакта К и Т7 7„ равномерно сходится к й 1 для каждого мультииндекса а.
Доказательство, Пусть 7„- 1, и пусть для каждого н существует ~„( Х„. Тогда легко построить подпоследзвательность из 1, скажем й!=~„<!!, и подлоследовательнос;ь нз Х„, скажем г, =Х„а>, такие, что у!~)'ьь!',У;. Так как г"! замкнуты, то в силу теоремы Хана — Банаха найдутся такие 1; ЕХ», что 1!~0 »-! Ю на Г! и 1„(а„) =н — ~~.", 1ь(а„). Пусть 1»» ~~.", 1„. На любом Х„эта ь»! » ! сумма конечна, следовательно, функционал 1 на каждом Х„ непрерывен, а потому, в силу теоремы Ч.16, он непрерывен на Х. Поскольку а 7 и 1~ Х', 1(а ) сходится. Но 1(!7 ) =и, и полученное противоречие доказывает, что все 1 лежат в некотором Х„.
° Теперь у нас есть все, чтобы определить обобщенные функции на Й. Определение. Обобщенная функция (илн распределение) †э 'непрерывный линейный функционал на яро. Пространство всех У. Локально оьлауклао ауооолрансома непрерывных линейных функционалов на Юо обозначается через Юо. Символы Ю и Ю' будут обозначать соответственно' Юн и Юн Теорема Ч.16 прямо переводится в такое Следстеие. Линейный функционал Т на Ю непрерывен тогда и только тогда, когда для каждого компакта К~йн существуют постоянная .С и целое число 1, такие, что для всех ф6Сь" (К) ~Т(р)~~С ~ ~а!С$ Пршуер л. Пусть 1 — произвольная непрерывная функция на гса, Определим Ра1 равенством (Р 1) «р) = ( — 1 У ' ~ ~ ( ) (Ра р) ( ) Д .
Тогда для каждого компактного множества К и ~р Е С,"(К) 1(Р 7)(Чр)1(С!!Р Н ц У(х)! так что Рар ~ Ю'. Следовательно, Ю' содержит слабые производные всех непрерывных функций. Пример 3. Рассмотрим Ю. Пусть 6" (х — а): Ю вЂ” С- задается Ф равенством 6" (х — а)(~)=Рор(а). Тогда .~ Я6" (х — л) Т лежит л о в Ю'. В самом деле, если ~р Е Сь" [ — т, т], то ~тм~-( х(оь)а)(а Хго ьь.
Эгот пример показывает, что Ю' содержит обобщенные функции T„которые не являются со-й производной никакой непрерывной функции. Поэтому для Ю' не существует прямого аналога теоремы Ч.10, хотя и справедлива локальная теорема регулярности (задача 26). Для Ю справедлива также теорема о ядре (см.
задачи 69, 60). В Ю' с помощью метода, использованного в 5 Ч.З, можно перенести операции, заданные на Ю. Так, например, если р(х„ ..., ха) †полип от п переменных степени й, т. е. р(х„..., хн)= ~~~~ ~а х, то дифференциальный оператор вчаст- 1а1СК ных производных р(Р)=,~ ~ааРа продолжается на Ю' фор!а!<а мулой (р(Р) Т) (~р) =Т ~,Я ( — 1)'"~ Ра (аагр)1-'- (Ч 6) ~!ай< ь д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
