Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 33
Текст из файла (страница 33)
а Ц ~~„— непрерывная полунорма. Более того, если я,~й, как функции нз К, то я,(.)~й,( ° ) как элементы в г"', ибо У плотно в Ь' н нз й,~й, в К вытекает, что я,~й, в (.', откуда следует, что я,чья, в (у.')', а потому я,чей, в Ф". Итак, мы видим, что Ф допускает естественное вложение в г"'. Если Ф' снабжено топологией о(Ф', Ф), то это вложенне непрерывно, поскольку, как мы увидим дальше, ~~ йь щ1 — непрерывная полунорма на .У. Более того, У' плотно в У' в топология о(д", К) (см.
задачи 16 и 19 нлн следствие 1 теоремы Ч.14 в дополнении к этому разделу). Это обстоятельство подсказывает такой способ продолжения непрерывных отображений Т: У- г" на все У'. поскольку естественное вложение г: К- Ф' непрерывно, отображение ~ о Т: У- г"' тоже непрерывно. Так как Ф плотно в К , существует по крайней мере одно непрерывное продолжение ь о Т: Ф' Р'. Чтобы найти это непрерывное продолжение, нужен какой-нибудь способ строить непрерывные отображения нз .У' в У'. Один простой способ состоит в следующем. Предположим, что 5: Т- Ф непрерывно. Определим сопряженное отображенне 5'. Й 5' (1), ! б У', равенством ~Я'(1)1(й)=1(8й) для всех убей'.
Очевидно, что если 1 1 в топологии о(г', К), то 5'(1 ) 5'(1) в той же топологии. Таким образом, для продолжения Т мы ищем такое отображение 5: У вЂ” .У, чтобы 5' ) г = Т, н тогда продолжаем Т с помощью 3'. В случае когда не возникает недоразумений, мы обозначаем это продолжение тем же символом Т. Дальнейшее обсуждение сопряженных отображений проводится в 5 Ч1.2.
Изложенная идея станет яснее после рассмотрения приводимых ниже примеров. Другая топология на Ф" вводится в $ Ч,7 154 (топологня (!(Р', д') ви=т(г"', У')), н там мы увидим, что сопря- женное отображение 5' непрерывно, если такая топология вво- дится н на области определения, н на области значений (см.
за- дачу 17). Иример х ЦУ). Множество У вЂ” это подмножество каждого Ег(Р), и тождественное отображение г в Ьг непрерывно, нбо прн р=! ~~ ~ )~, = ) (1 + х') ' [(! + х') ) 1 Ц их «( ( п(6 ! ))„+6х'(~)„), а прн произвольном р. зги ~~~~ур~о)рр-1|о~~ ())р)дн ))~~)~-иэ. Если й~.(.~, д '+р-'=1 н фЕ У, то ~ $ д (х) ф (х) Нх ~ ( 1! л Ц )! ф )!р. Следовательно, фь ) я(х) ф(х) дх — непрерывное отображение р". в С, н тем самым определено непрерывное вложение Ее в г'. Итак, Ф' содержит образы различных пространств функций прн естественных вложениях. Обычно вложения игнорируются н говорят просто о функциях я(х)' нз К'. Пример 3 (дельта-функция).
Пусть ЬЕК. Определим линейный функционал б„равенством бэ(ф) ф(Ь). Поскольку !6ь(ф))~(6ф6, „ имеем 6„( ) б Ю' (К). Функции л (х), такой, что 6, (ф) = ~ л(х) ф (х) Нх для всех ф бЮ, не существует, хотя существует мера рэ (чнсто, точечная), для которой 6,(ф) ~ ф(х)явь(х). Однако символика (Ч.2) нз примера 1 так соблазнительна, что часто пишут 6 (ф) = $ ф (х) 6 (х — Ь) Нх, (ч.з) где 6(х — Ь) — не функция; (Ч.З) нужно рассматривать просто как символическую запись. Символ 6(х — Ь) называют дельта- функцией в точке Ь. Придир 4 (полнномнально ограниченные меры).
Предположим, что т — любая конечная мера. Тогда 1~ ) !(х)сЬ~ — линейный функционал на. У, н поскольку ~ ~)Ят~.~=т(К)))~~), этот функ- !55 ционал лежит в Ф'. В общем случае, если т — такая мера на Гс, что т (! — В, Щ) (С().')" +1) для некоторых С и и и всех )) б м+, то )в~ ) (Нч лежит в Ф'. Ф Пралгер Я (производная от 6(х)). Для того чтобы убедиться, что не всякий элемент й~Ф' отвечает линейной комбинации мер, рассмотрим б'()") — Г'(0). Это непрерывный линейный функцио- нал, но он не отвечает никакой мере (задача 21).
Прамер о (Р (1(х)). Главное значение интеграла в смысле Коши задается формулой ~( — „'): У В ~ —.'И) (. )к!~в Для того чтобы убедиться, что правая часть конечна для любой ~гсвг (К), а все соотношение задает распределение, заметим, что !к >в ! (.!(к) — г( — к) в Поскольку Д(х) — (( — х)1)х- 2Г'(0) при х — О, можно написать к ( ' ) е ~~ж-..л 2,„ о откуда и следует конечность. Далее, к ~ — Д (х) — !в ( — х)1 ~ аа — ~ ~ ~ (8) ~ сИ ( 2 ~) ~' )! -к ~~2!1 7 Ь,в+!1 7!!в,'.
Следовательно, Р(1/х) — распределение. При этом выполняется известная формула: ! г 1 1ип . = Р 1 — ) — (ввб (х — х,), (Ч.4) в!а "— кв+'в в которой все величины рассматриваются как распределения, а Ит понимается в топологии о(Ф', Ф) (задача 22), в)в '»'. Локально»ьиюу»»ы» »растра»стев Щммер 7 (Ом). Пусть Ом — множество бесконечно дифференцируемых функций на К», которые полиномнально ограничены вместе со своими производными, т.
е. ! Е Ом означает, что ! класса С" и что для каждого сс б 1+ существуют л! (а) и С(п), такие, что ( (О !') (х) ! «» С 11+хф", » где х' Х х*,. Ясно, что О»м~У". 1::! Множество Ом полезно по ряду причин. Если Р ц Ои, то нетрудно видеть, что Р~Е.Т, когда ~~.Т, и 7~ Р~ — непрерывное отображение г" К (задача 23а). На самом деле измеримая функция Р определяет непрерывное отображение ~> Р! множества К в г тогда и только тогда, когда Р б Ом (задача 23Ь). Пусть Рб Ом.
Умножение на Р переводит Т в Т непрерывно. Это дает первый способ проверки идеи, изложенной вслед за примером 1.- Можно ли найти отображение 5: Ф Т, такое, чтобы для любых ~, убей было (Ц)(й) =(5'Д(й) =~(5у), т. е. чтобы ) Р (х) ! (х) я (х) дх ) ! (х) Щ) (х) бх? Ответ очевиден: надо взять (Яй)(х) =Р(х) я(х). Оперная у. Пусть Р б Ом, и пусть Т ц Ф' (К»). Определяем РТ Е.г"' (К") равенством (РТ) «р) - Т(Р р).
Пространство г" было выбрано, в частности, для того, чтобы О») было непрерывным. Заметим, что .(~Х)"~(!.„,з=(~~((т з+, где '6+щ=(б,+а„..., б,+а„>. Для продолжения,0" на а.! мы ищем такое Я: Ф- К, чтобы для ~, йЕ'г" было (О"7)(я) =~(5й), т. е. ) (О"Д(х)й(х)Нх»») !'(х)(Зй)(х)Нх. На первый взгляд это кажется трудным, но интегрирование по частям дает ) (О»Дй=( — 1)~"! ) 1(1?"й), поэтому мы полагаем 8=( — 1)~" 10". Оаеуищая х.
Пусть Тб'г"'(ц»), або. Спабая производная О Т, или производная в смысле обобщенных функций, определяется соотношением (О"Т) й-( — !)~.~ Т(О 1). В символическом виде фа! (Р Т)(х))'(х)Нх=( — 1)~ "~ Т(х) „(х)~(х. дх,""...дх„"» Таким образом, мы определили производную, которая на О»м совпздаетс обычной производной и для которой по определению 167 интегрирование по частям не дает граничных членов на беско- нечности. П раме1э 8. Пусть (х, х)0, а(х) (О, х(0 Тогда л непрерывна, но дифференцнруема в классическом смысле не везде. Поскольку ) а(х) ф(х)«(х<~~хф~1ь., функция й~«у", так что она имеет производную в «г'.
По определению яа) « ~=-а(х)=-~* '«~« -~ «*>а. Следовательно, Ый(х)йх=Н(х), где Н вЂ” функция Хевисайда: 1, х)0, О, х<0. Функция Н даже не непрерывна, но она тоже имеет производ- ную в Т', задаваемую соотношением ф) ««)= — н(й) — ~ ~ «)«*=~«о~, так что «(Н!Их=6. Но н б-функция имеет производную; она описана в примере.б. Последний пример показывает, что даже вообще не функция б-функция является второй производной от непрерывной функцнн. И это типично для обобщенных функпнй умеренного роста, ибо справедлива Теорема У.
1«Р (теорема регулярности для обобщенных Функций). Пусть Те 'г"'(Р'). Тогда Т=йай для некоторой полнномнально ограниченной непрерывной функции й' прн некотором 1) е 1+, т. е. для всех «р б«Т Т («р) = ~ ( — !)«а ~ д (х) ())а«в) (х) Ы"х. Доказательство дано в дополнении к этому разделу (см. также задачи 24 н 25). Операция иного типа порождается переносами. Пусть У,: У- К задано правилом (У,)) (х) =)". (х — а). Тогда ~(У,~)(х)л(х)«(х=~)".(х)(У,Р)(х)«(х, если 1', й'Е Т. В итоге получается У.,%абмыв 'еииуалья праатвранстеа Оаираэрзя 8 (перенос). При ТЕФ' функционал И,Т определяется соотношением (и Т) (ф) =Т(и,ф).
Аналогично, если А — обратимое линейное отображение Гс* — к", то равенство (У(А) 1) (х) =1(А 'х) определяет отображение У(А): Т вЂ” Ю. В. результате приходим к следующему определению: Отдирая)ия 4 (линейная замена координат). Если Т ~ Т', то У(А) Т задается равенством (У(А) Т1 (ф) ~ бе1 А ! Т (У(А ') <р). Этим У(А) продолжается с Т на У' (см. задачу 28а). В гл. 1Х мы обсудим две другие операции на У'. свертку и преобразование Фурье. Говорить о равенстве распределения нулю в какой-то точке х бессмысленно, но равенство нулю в окрестности х имеет смысл'. Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
