Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 36
Текст из файла (страница 36)
И»дукэ»ив»»и лр»де»»» 169 Формулу (Ч.5) можно использовать и в случае, если а суть функции от х класса С . Продолжение дифференциальных операторов в частных производных на Ю' особенно 'полезно для теории дифференциальных. уравнений в частных производных. Пусть ~ — непрерывная функция. Непрерывно дифференцируемую й раз функцию и (мы пишем и ЕС»), для которой р(Р) и =~, назовем классическим решением. Если Т~Ж»' и р(Р) Т= у„где р(Р) Т определено формулой (Ч.5), то Т назовем слабым решением дифференциального уравнения в частных производных, Различие между классическими и слабыми решениями заключено только в их гладкости„ибо справедливо такое Предложение. Если и й С», то р (Р) и, определенное формулой (У.5), совпадает с классическим значением р(Р) и.
В частности, если иЕС» и ~ — непрерывная функция, то и является слабым решением уравнения р(Р)и=)- тогда и только тогда, когда и есть классическое решение. Доказал»ел»само проводится элементарным интегрированием по частям. ° Следующий пример показывает, что не каждое слабое решение является классическим. Пример. Пусть 7 (х) — характеристическая функция отрезка (О, Ц.
Покажем, что и (х, ~) = 7(х — с~) — слабое решение уравнения и„— с*и„„О. При этом, вместо того чтобы прямо использовать определение„(Ч.5) (что может служить полезным упражнением), воспользуемся тем фактом, что оператор р(Р) в (Ч.5) непрерывен на Ю'. Поскольку ~Е.У(Р), в Ю можно найти последовательность 7„, сходящуюся в .У (Р) к ~. Тогда легко видеть, что и„(х, 1)=~„(х — с~)- и(х, 1) в топологии о(Ж>', й>). Но р(Р) и„ можно вычислить в классическом смысле, т. е. — „и„(х, () = с'1„(х — с~), —,, и„(х, 1) = ~„"(х — с1), так что д» д» д» д» ' дР» дк» вЂ” и — с» — и =0 и — и — с» — и =О. дп дк» В задаче 47 мы обсудим распределения, зависящие только от х — с~, и докажем, что любое такое распределение Т удовлетворяет уравнению — Т вЂ” ' — Т= О.
д» д" д»» дх» Концепция слабых решений полезна, в частности„тем, что часто легко доказать существование именно слабого решения У. Локально вььпокльк пространства 1то (случай уравнений с постоянными коэффициентами см. й 1Х.6). В случае эллиптических уравнений (см. $1Х.6) можно доказать теорему регулярности, которая утверждает, что при определенных условиях каждое слабое решение есть решение классическое. Сочетание двух этих техник позволяет делать выводы о существовании сильных решений у эллиптическихдифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотренный выше пример показывает, что в случае гиперболических уравнений дело обстоит не так просто.
У.$. Те«ьремы о ивов»двм»ии«»й точке В связи с большим разнообразием приложений мы хотим рассмотреть решения уравнений вида х= Тх. Например, неоднородное интегральное уравнение ) (х) = я(х)+ ) К(х, у) ~ (у) ду имеет вид)'= Т~ с аффинным линейным отображением Т~= у+К~. Известные уравнения «бутстрапа», предложенные в физике элементарных частиц, имеют вид 5 = Т (5), где 3 есть З-матрица, а Т вЂ” некоторый очень сложный оператор. Условие лоренц-инвариантности вакуумных средних имеет вид ФГ (х ' э хп) йт и (Лх Лхь) где Л вЂ” фиксированное преобразование Лоренца. Здесь мы хотим обсудить разновидности теорем существования для таких уравнений †т называемые теоремы о неподвижной точке, а в Э Ч.6 †некотор приложения.
Мы делаем это именно здесь по той причине, что некоторые из этих теорем наиболее естественно формулируются на языке локально выпуклых пространств. Сначала рассмотрим «нелинейные» теоремы, т. е. теоремы, в которых не предполагается линейность отображения' Т, а затем †од простую теорему, использующую линейность. Огзределемме.
Пусть Т: Х Х вЂ некотор отображение. Точка хб.Х, для которой Тх=х, называется неподвижной точкой отображения Т. Первая нелинейная теорема очень проста и, скорее всего, знакома читателю. Определение. Пусть <5, р) — метрическое пространство. Отображение Т: 5 5, для которого р (Тх, Ту) (р (х, у); называется сжимающим. Если существует К < 1, при котором р (Тх, Ту) ( (Кр(х, у), то Т называется строго сжимающим.
б. Теоремы о оеоодоиоеиоя лоаее 171 Теорема У./8 (принцип сжимающих отображений). Строго сжимающее отображение полного метрического пространства имеет единственную неподвижную точку. Докаэаелельсиию. Прежде всего докажем единственность. Если Тх=х, Ту=у, то р(Тх, Ту) =р(х, у) (Кр(х, у); поскольку К(! и р(х, у) О, заключаем, что р(х, у) =О, т. е. х=у. Для доказательства существования заметим сначала, что Т автоматически непрерывно, ибо если р(х, у) (К-'е, то р(Тх, Ту) < е.
Далее, пусть хе произвольно, и пусть Т"х,=х„. Покажем, что !х„!— последовательность Коши. Имеем р (х„х„+,) = р (Тх„„, Тх„,) ( Кр (х„„х„,) ~~ «" К'р (х„„х„,) «:„... еЯ; К"-ер (х„х,). Таким образом, если и >т, то при т — оо и р(х„, х )( ~'„р(х7, хе „)я К'"(1 — К) 'р(х„х,)- О. / ы+! Итак, (х„) — последовательность Коши, значит, х„- х для некоторого х. Поскольку Т непрерывно, Тх=!пп Тх„=!1шх„+,— — х, что и доказывает теорему.
° Доказательство второй теоремы значительно сложнее, и мы не намерены приводить его здесь (см. Замечания); она обобщает известную теорему Браузра о неподвижной точке: всякое непрерывное отображение замкнутого единичного шара из Р' в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку. Уже сама эта теорема достаточно глубока. Теорема У. 79 (теорема Лере — Шаудера — Тихонова). Пусть С вЂ” непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства Х. Пусть Т: С- С вЂ” непрерывноеотображение. Тогда Т обладает неподвижной точкой. В качестве подготовки к нашей последней общей теореме о неподвижной точке докажем теорему Ч.19 в одном частном случае (см.
следующую ниже лемму). Оезределвние. Пусть Х и У вЂ” векторные пространства и С вЂ” выпуклое подмножество в Х. Отображение Т: С Г называется аффннным отображением множества С, если Т (7х + (! — е) у) = 7 Тх+ (1 — 7) Ту для всех х, У~С и всех 0 ~~1(1. В отличие от линейных функционалов, заданных на подпространстве, непрерывные аффинные функционалы на выпуклых множествах могут не иметь продолжения на все Х (задача 49), 172 у.
Локально оипуклно тьроотраноома ' Лемма. Пусть Т вЂ” непрерывное аффинное отображение С в себя, , где С вЂ” компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства Х. Тогда Т обладает неподвижной точкой, Доказательство. Положим к ь х„= — ~~Г Т'х„ ь о где х, взято из С. Поскольку С выпукло, х„~С при всех л. Далее, С компактно, и потому некоторая поднаправленностьх„к„ сходится к пределу х. Мы хотим показать, что Тх =х. В силу теоремы Хана — Банаха достаточно показать, что 1(Тх) =1(х) для любого 1Е Х'.
Так как С компактно, то вор~1(х) ~=иМ,.< аа для кос любого фиксированного 1. В итоге ~1(Тх„— х ) ! ~1( — „Тох,— „хь) ~ «~ — „М,— 0 при и оо, так что 1(Тх — х) =)пи 1(Тхню — х <а)=0. ° а Последняя из рассматриваемых теорем о неподвижной точке имеет дело с целым семейством отображений. Овределеиие, Говорят, что семейство У' отображений некоторого множества Х в себя обладает общей неподвижной точкой, если существует такое х~Х, что Тх=х для всех Т ~У. Теорема )Р.Ю (теорема Маркова — Какутани). Пусть вг — семейство хоммутируюи(их непрерывных аффннных отображений С в себя, где С вЂ” компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, т.
е. Т5х=5Тх для всех 5, Т~К и х Е С. Тогда К имеет общую неподвижную точку. Доказательство. Для каждою конечного подмножества Рь=е положим 1р — — (х ~С~ Тх=х для всех Т~Р). Так как все Т непрерывны, то каждое '1р замкнуто и, кроме того, 1р, П1р,=1р,цр,. Таким обРазом, если показать, что каждое 1р непУсто, то П 1рчь ~ в силу критерия центрированности, и, следовательно, найдется х со свойством Тх=х для всех Т 4У". Поскольку Т ~К' аффинны и линейны, каждое 1р выпУкло. Условие х~1р влечет за собой 5хЕ~р для каждого 5 Ейг, ибо если Т ЕР, то Т(5х) =5 (Тх) =5х, когда Тх=х.
Так как 1р выпукло и компактно и 5: 1р 1р, в 1р существует х со свойством 5х=х, т. е. )рц~з~ чь Я, если ~р~О. По индУкции полУчаем, что каждое 1р непУсто и, следовательно, П 1рчь Я. Отсюда, как Уже отмечено выше, вытекает наличие у е общей неподвижной точки.
° о. Приеооынив омореи о нелодеииеной точке 173 В гл. ХЧ1 мы вернемся к специальным свойствам компактных выпуклых подмножеств локально выпуклых пространств; в частности, в й ХЧ1.5. мы распространим теорему Ч.20 на различные неквммутирующие семейства (см.
также задачу 50). Ч..й. Прмпоження теорем о непцдвнжмом точке У1 Уе уе Уе )Р— —, 1Р у~р- м ур Р (гэ У1 Ур) Дифференцирование делает функции менее гладкими, и обычно его нельзя определить как отображение пространства в себя, если только последнее не состоит из функций класса С . Интегрирование — более гладкая операция, оно переводит множество непрерывных функций на интервале в себя.
По этой причине удобно переписать дифференциальное уравнение в интегральной форме: у(г) =у +) Р( . у(в))а . о (Ч.б) Легко видеть, что 'непрерывная функция у(Г) на ( — 6, 6) удовлетворяет (Ч.б) тогда и только тогда, когда она является локальным решением уравнения у(Г)=Р(Г, у(1)) с начальным условием у(0) -у,.
Итак, имея у, и 6, рассмотрим отображение О: С) — 6, 61 С( — 6, 61, заданное на множестве непрерывных функций из А. Обыкновенные диф4еренииальные уравнения Пусть Р— непрерывная функция из Кхк' в К". Нас интересует решение дифференциального уравнения у=ау!аг Р(8, у) с начальными условиями, т. е. по заданному у,бК мы хотим найти непрерывно дифференцируемую функцию у(1) на к, такую, что у(0) =у, и у(1) =Р(Г, у(Г)) для всех ГЕ К.
Мы обсудим, как можно применять теоремы 5 Ч.б о неподвижной точке при доказательстве существования локальных решений, т. е. как по заданному у, можно найти некоторое 6 и функцию у(1) на ( — 6, 6), такие, что у(0)=у, и у(С)=Р(е, у(Г)) при всех ~8~( 6. Отметим, что уравнение р-го порядка у'р'=Р(Г. у, у, ..., у'р ") на К" сводится к уравнению первого порядка на %Р с помощью перехода к вектор-столбцам: 174 [ — 6, 61 в К" формулой [б(а)1(/) =у.+ ~ Р(а а(а)) бз. о Тогда решить уравнение (Ч.б) — это то же самое, что нцйти неподвижную точку для б! э Рассмотрим сначала случай, когда Р удовлетворяет условию Липшица, т. е. когда при заданном у, существуют такие К, а и 6, что из Цу — у, Ц < е„~/~ < 6 вытекает ЦР(1, у) — Р(/„г) Ц» (КЦу — гЦ, если Цг — у,Ц<е. Здесь Ц Ц вЂ” евклидова норма иа К".
Уменьшая 6, можно добиться.того, чтобы было 6 шах ЦР(/,у)Ц<в и 6К<1/2. ссс<а В сс-ссмс < в Пусть теперь 5 = (к с С [ — 6, 61 ~ Ц у (Ю) — у, Ц «~ е/2 1ссЮ ~ ( — 6, 6)); 5 с нормой Ц Ц„есть полное метрическое пространство, н из неравенства 6 шах Ц Р (1, у) Ц < е следует, что б (у) ~ 5, если у Е5. Когда 6К < 1/2 и Ц Р(/„у) — Р1/„г) Ц < КЦу — г Ц, имеем Цб(у,) — б(у,)Ц„<'/,Цу,— л,Ц, если у„у,~5.
Следовательно, б — строго сжимающее отображение на 5, и по теореме Ч.18 существует ссдиссственное ус 5, удовлетворяющее (У.б). Нетрудно понять, что 'любое решение (Ч.б) должно обладать свойством Ц у(/) — у, Ц ч-:, е/2 при малых / и потому должно совпадать с этим единственным решением из 5, когда / мало. В итоге для рассматриваемого случая. локальное существование и единственность доказаны/ Теперь предположим, что Р только непрерывна. По виданному у, выберем такое 6, чтобы шах ~Р(/, у)~ < 6-'. ссс<ь В сс- сс и < 1 Положим С,=(к сС[ — 6, 61~Цу(1) — у,~~<1 тг~( — 6, 6)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
