Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В результате С вЂ” равномерно равностепенно непрерывное семейство равномерно ограниченных функций. Аналогично, семейство ( Вз~~~~е) 1(онолнение н Е У.7. Поллаее и теорема Мании — Ааенеа 189 равномерно равностепенно непрерывно и равномерно ограничено. С помощью теоремы Асколи и диагонального метода можно вывести, что любая последовательность в С имеет сходящуюся подпоследовательность, Поскольку С замкнуто, а топология метрическая, это доказывает компактность С. Доказательства в случае ег" (Р') и 6д аналогичны. В случае С~Ми заметим, что, поскольку С ограничено, С с С" (К) при некотором К и, следовательно, можно использовать приведенные выше соображения.
° Особенно полезным следствием последней теоремы и теоремы Ч.8 является Теоремез е.Ж. Последовательность в Ю', .'к1' или бо сходится в слабой топологии тогда и только тогда, когда она сходится в сильной топологии. Доказательство. Для У" и 6о это прямо следует из теорем Ч.8 и Ч.25. В случае вд' заметим, что любое ограниченное множество С ~'Ю лежит в пространстве С, (К), являющемся пространством Фреше, и потому применимы теоремы Ч.8 и Ч.25. ° Несмотря на то что теорема Ч.25 по сути является следствием теоремы Ч.25, мы сформулировали ее как отдельную теорему по той причине, что она весьма полезна в приложениях.
Мы призываем читателя обратить внимание на слово последовательность. Для направленностей теорема не верна, Далалиенме к $ У.У. Поляры к теорема Макки — Араиса В этом дополнении, которое носит технический характер, доказывается теорема Макки †Арен и для этого вводится аппарат полярных множеств. Олределенае. Пусть (Е, Р) — дуальная пара и А ~=Е.
Полярой А множества А называется множество (1Е Р ~ ~ 1(в) ~ (1 УвЕ А). Если мы хотим явно выделить Р, мы пишем (А)~. Примеры. (1) Пусть Ж вЂ” гильбертово пространство, сопряжен-. ное самому себе. Если А — его подпространство, то А =Ах. (2) Если Š— банахово пространство и Р— его сопряженное, то ИНх!Ь~й) =Ь!!ЬЬ~й '). Легко доказать следующие простые свойства поляр. Лемма 1. Пусть (Е, Р> — дуальная пара.
Тогда: (а) А' выпукла, уравновешена и п(Р, Е)-замкнута; 190 У. %вааьно еилуслач иростРанства (Ь) если А с В, то В' с А', (с) если Х чь О, то (ХА)' = ~ Х1-! А'; (6) ( 0 А ) ' = !') А . Поляры следующим образом связаны с сопряженными пространствами: Теорема У.27. Пусть Š— локально выпуклое пространство и т1— база окрестностей нуля. Рассмотрим дуальную пару <Е, Е,!„>, где Е;!з — алгебраическое сопряженное, т. е. множество всех линейнйх функционалов из Е в С. Тогда топологическое сопряженное пространства Е есть () У', где поляры взяты относи- УаМ тельно Е;и.
Докааилельслыо, Функционал 1~ Е;м непрерывен тогда и только тогда, когда ~1(х) ~ (1 для всех х из некоторого У Е т1, т. е. тогда и только тогда, когда 1Е У' для некоторого У ЕЯ. ° Теорема У.лВ (теорема о биполяре). Пусть Е и Р— дуальная пара. Тогда в топологии о(Е, Р) на Е справедливо равенство Е" = а.с.Ь. (Е), где а.с.Ь.
(Е) — абсолютно выпуклая оболочка Е, т. е. наименьшее уравновешенное выпуклое множество, содержащее Е: !Ч и а.с.Ь. (Е) =~ ~."„а„х„~х„..., х ЕЕ, ~~~~ ~~а ~=1, У=1,2,... и замыкание взято в топологии о(Е, Р). Доказал!ельсглво. Пусть Ес = а.с.Ь.
'(Е). Ясно, что Е ~ Е, и, поскольку (Е')' выпукло, уравновешено и о (Е, Р)-замкнуто, Ес ~ (Е )'. С другой стороны, если х!СЕ;, то можно найти 1ЕР, такой, что йе1(е)(1 для ебЕс и Ке((х) > 1 (теорема У.4). Поскольку Ес уравновешено, зир ~1(е) ~(1, так что 1~Е'.
Но 66 Ес тогда из ~1(х) ~ ) 1 вытекает, что х4Е . ° Лемма 2. Топология Макки согласована с двойственностью. Доказааияьсп!во. Используем теорему Ч.27 для того, чтобы вычислить т(Е, Р)-сопряженное к Е. Полунормы (рс), где С пробегает все о (Р, Е)-компактные абсолютно выпуклые множества в Р, порождают топологию т(Е, Р). Рассмотрим Сш Рш Е;и. Поскольку сужение топологии о(Е;!ю Е) на Р есть о(Р, Е), множество С о (Е;,, Е)-компактно, и потому о (Е;!, Е)-замкнуто в Е;! . Таким образом, по теореме У.28 (С') . =С.
Но а!з 191 С'=(х()р (х) (( Ц. Поэтому множества (С (С вЂ” выпуклое уравновешенное о (Р, Е)-компактное подмножество в Р) образуют в Е базу окрестностей нуля топологии т (Е, Р). Следовательно, Е;=()(С') . =ЦС Р. И с в,'!к с Лвлдззгв 3 (теорема Бурбаки — Алаоглу). Пусть У с- Š— урави вешенная выпуклая окрестность нуля некоторой топологии, согласованной с двойственностью между Е и Р.
Тогда У! есть о(Р, Е)-компактное множество в Р. Докоэательство. По существу зто другая формулировка теоремы Бурбаки — Алаоглу (теоремы 1Ч.21); см. задачу 58. ° Лемма 4. Каждая топология, согласованная с двойственностью, слабее топологии Макки. Докавппгельслво. Пусть р — полунорма на Е с некоторой топологией, согласованной с двойственностью. Покажем, что р=рс для некоторого о(Р, Е)-компактного выпуклого подмножества С в Р.
Пусть У=(х!!р(х)~«=1). Тогда У уравновешено, выпукло и о(Е, Р)-замкнуто в силу теоремы Ч.4 (см. задачу 20с). Следовательно, по теореме о биполяре (У')'=У. Пусть С=У'~ Р. В силу леммы 3 подмножество С п(Р, Е)-компактно и выпукло. Но по определению (У')' (х!(рс(х)~(1) У, так что рс=р. й Теперь мы готовы привести" Докавплмльство теоремы У.22. Поскольку топологии а(Е, Р) и г(Е, Р) согласованы с двойственностью (лемма 2 и теорема 1Ч.20), любая топология Х' «между ними» также согласована с двойственностью.
Но по определению о(Е, Р) — слабейшая нз таких топологий, а по лемме 4 т(Е, Р) — сильнейшая из них. ° ЗДМВЧДНИЯ В У.л Общую теорню локально выпуклых пространств см. в следующих кннгах: Сьояпе! (см. замечания к $1Ч.11; Л. Кеиеу апб 1. г!аш!ока, 1Лпеаг Торо!едка! Зрасез, Чап !чоз!гапб — йе!пйо!б, Рг1псе1оп, !ч. »., 1963; О. К61пе, Торо!оп!са1 Че«1ог Зрасез, Зрипаег-Чег!аа, Вегпп апб !четг Чог!с, 1969; Д. Робертсон, В. Робертсон, Топологнческне векторные пространства, «Мнр», М., 1967; Х. Шефер, Топологнческне векторные пространства, «Мнр», М., 1971. Кннга Робертсонов — прекрасная маленькая моногрзфня; нз остальных нанболее подходящей для чтевня нам кажется книга Кете.
Тем, кто любит задачи, порекомендуем книгу Келлн — Намнока, содержащую нх в большом количестве, однако за»мтнм, что в целом она не столь хороша, как книга Келли по топологии. 192 У. Локально еылуклые лроотранотеа Первая формулнровяа теоремы Хана — Банаха в терминах разделняицнх выпуклых множеств содержится в работе: 3.
Магиг, ()Ьег Лаптеве Мепйеп !п 11пеагеп попп!ег1еп Еаишеп, Зеа«((а Ма(Л., 4 (19Щ, 70 — 84. В более современной форме (теорема Ч.4) ее доназалн Эйдельхейт в Канутанн: М. Е!бе!ЛеИ, Ъзг ТЬеопе бег Ьоптехеп Мепйеп ш 1!пеагеп попп!ег1еп Езишеп, ЗМи»(Ш Ма(Л.. 8 (19%), 104 — 111; 3. Кайи1ап1, Е!п Беме!з бег За!газ топ М.
ЕМе!ЬеИ 8Ьег Ьоптехе Мепйеп, Ргос. (тр. Ас»4(. Тойуо, !3 (1937),93 — 94. Локально выпуклые пространства — зто тспологнчесяне векторные пространства, в которых выполняется теорема Хана — Банахз, н потому онн обладают обшнрнымн топологнчесннмн сопряженнымн. Пространства ЛР прн 0 ( р ~ 1 служат примером пространств. на яоторых нет нн одного непрерывного линейного фуняцнонала; см. Кете, стр. 156 — 158.
5 У.у. Термин «пространство Фреше» ввел Банях в своей ялесснчесяой яннге. Теорема Ч.5 — зто частный случай общей теоремы о могрнзуемостн равномерных пространств; см. Дж. Келлн, Общая топология, стр. 246. 5 У.б н У.4. Теория обобщенных' фуняцнй, включая распределения умеренного роста, была развита Л. Шварцем н очень хорошо описана в его классической нннге ТЬ4опе без банг(Ьи1!опз, т.
1 — 11, Неппапп, Раг!з, 1957, 1%9. Весьма удачны таюне пять томов, написанных И. М. Гельфавдом, Г. Е. Шиловым н др. н изданных Государственным издательством фнзмноматематической литературы в 1%9 — 1962 гг. под общим названием «Обобщенные фуняцнн». Неформально многне нз ионятнй теорнн обобщенных фунццнй обсуждалнсь уже в 30-е годы Бохнером, Фрндрнхсом н Соболевым. Упомянутая в 9 Ч.3 процедура перенормнровон фейнмановсннх амплнтуд прннадлежнт Н. Н. Боголюбову н О. С. Парасюну: ()Ьег б!е Ми(1(р1!Ьа((оп бег КаизаВипй(юпеп !п бег Оиап1еп(Ьеог!е бег РеЫег, Аога Ма(Л., 97 (1957), 227 — 266; см. также К. Иерр, Ргоо( о1 1Ье Войо!!ивет — Рагез!иЬ ТЬеогеш оп Еепоппа!!гз1!оп, Саттон. Ма(Л.
РЛуе.,' 2. (1966), 301 — 326; Е. Зреег, Оепега1!геб Реупшап Апгр1Вибез, Оп1т. о1 Тодуа Ргеы, То1суо, 1969. Теорема о ядре (теорема Ч.12) служнт начальной точной общего обсуждення пространств, для которых справедлнвы такие теоремы. Теория ядерных пространств впервые построена в работе: А. Ош(Ьепб!есй, Ргоби((з 1епзог!е!з 1оро!ой!иисз е1 ецгасез пис1еа!гез, Меш. Ашег. МаГш Зос, гй 16, 19%; см. также Шефер,' Гельфанд, т.
4. н Р. Тгйиез, Торо!ой!са! Чес(от Зрасез, О!з(г1- Ьи1юпз апб Кегпе!з, Асабеппс Ргезз, Ые»е Чичас, 1967. В дополнения х 9 Ч.З мы следовали работе: В. Зппоп, О!з1пЬЫюпз апб ТЬе!г Неппйе Ехрапюопз, ь. МаГЛ. РЛуз., !2 (1971), И0 — 148. Представление пространства «Р целыми фуняцнямв, тоже позволяющее провестндояазательство теоремы о ядре, обсуждается в статье: Ч. Вагйгпапп, Оп а НВЬег1 Зрасе о1 Апа1КВс РипсНопз апб ап Аяос!а(еб 1п1ейга1 Тгапз(опп; Н: А РашПу о1 Ее(а1«д Рипс(!оп Зрасез, Арр!!саНоп 1о ОпйпЬиНоп ТЬеогу, Сояип. Риге Арр1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
