Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Даже в случае, когда 4)о' ~ ч,а~16)зо, возможен неупругнй процесс по+по- и+-(-и- (пн— заряженные и-мезоны). Полное рассмотрение потребовало бы учета всех амплитуд рассеяния и+я и+и. Для простоты мы ограничимся моделью, где нет и+ и а-. Унитарность, таким образом, представляет собой нелинейное соотношение для А только тогда, когда 4)зо о» го~ 16)зо. У. Ло«алыш «илус««и пространства «Гипотеза бутстрапа», предложенная Чью и Мандельстамом,— это идея о существовании для всех процессов только одного набора амплитуд, обладающих «обычными» свойствами аналитичности и удовлетворяющих уравнениям унитарности (связывающим различные процессы). На практике эти уравнения аппроксимируют, заменяя, например, связанные в систему уравнения унитарности неравенствами, когда з ) 161»', как это было сделано выше.
Независимо от того, принимаем ли мы идеи бутстрапа или нет, различные уравнения бутстрапа представляют интерес, поскольку на них можно смотреть как на дополнительные условия, налагаемые на амплитуду унитарностью, кроссинг-симметрией и аналитичностью. Даже если они не определяют А (з, 1) (а мы не разделяем идей бутстрапа), эти требования налагают суровые ограничения иа амплитуду. А рПоп' вообще не ясно, существует ли хоть какая-нибудь функция А (з, 1), обладающая требуемыми свойствами аналитичности, кроссинг-симметрии, унитарности в области упругого рассеяния при 4)«'<»<16)«' и удовлетворяющая неравенствам унитарности при з) 161««.
Существование таких функций было установлено Аткинсоном с помощью красивого применения теоремы Лере — Шаудера— Тихонова. Основная идея доказательства такова. Ищем функцию р(з, 1), которую надо подставить в представление Мандельстама.
Если А удовлетворяет требованию упругой унитарности везде, то р(з, 0=(Т" р)(. 1), где Т" — сложное нелинейное отображение. Поскольку упругая унитарность выполняется только в определенных областях, и это равенство справедливо только в определенных областях з, 1-плоскости. В общем случае р(з, 1) =(Т" р) (з, 1)+о(з, 1), где условие о=О в определенных областях эквивалентно условию упругой унитарности. Если о удовлетворяет некоторым другим условиям„ то любое решение уравнения р=Т"р+о удовлетворяет определенным условиям интегрируемости, приводящим к тому, что А удовлетворяет требованиям упругой унитарности при 41««(а( (16рР и неравенствам неупругой унитарности при з)16~Р.
В итоге существование решений таких приближенных уравнений бутстрапа было бы доказано, если бы уравнение р= Тр имело решение со свойством Тр= Т"р+о. Аткинсон построил зависящее от о выпуклое множество 8 равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций, компактное в )( 11„-топологии и такое, что Т: 8 Я непрерывно. В таких условиях теорема Лере — Шаудера — Тихонова обеспечивает существование решений приближенных уравнений бутстрапа. 181 о. Прилоееенил тюрем о неоодеожиоа роете Р. Определение Фазы амплитуды рассеяния Согласно квантовой теории рассеяния.
(см. гл. Х11), «дифференциальное» сечение рассеяния при фиксированной энергии дается функцией Р(0)= 1Р(0)(, где Р(8) — комплекснозначная функция угла рассеяния 8. При энергиях, при которых идет только упругое рассеяние, Рдолжна удовлетворять нелинейному «соотношению унитарностиъ 1шР(0)= ~ Р(0 ) Р(0,)з(п8 с(8 с(ф, где О,— функция от 8, О, и ф„определяемая сферической геометрией (рис. У.4). Величина г,= соз О, выражается через г= соз О, Рис. Ч.4. Угол 8«. г,,= сов О, и ф, следующим образом: ,=в,~-~'0 — 'и~ — *о е.. В экспериментах измеряют Р(О), тогда как для теории большой интерес представляет Р (О).
Здесь хочется немедленно задать два вопроса: (1) налагает ли условие унитарности какие-либо ограничения на возможные функции Р(0), порождаемые функциями Р, удовлетворяющими этому условиюг (2) Определяется ли Р по заданной функции Р условием 1Р(8) ~=$~'ГР(ОИ иусловием уннтарности3 Читатель уже должен понимать, что на самом деле это две стороны одного вопроса: речь идет о существовании и единственности.
Введем переменные гг = соз О;. Пусть К (г„ге; г) — якобиан преобразования от <г„ф,) к <г„ге). Пусть В(г) =ЯР(0) ~ задано; положим Р(0) = В(е) е'о1«1. Тогда е ! а(цф(г)= ~ ~ К(г„г,; г) ' ', ' Е-'1О1«П-О1«а>Е(г,е(г„ В (ед В (е,) 1-1 У..)«а«альиа аилуллг«а лраатрлнатаа 182 нлн «р (г) = агсгйп Я К (г„г,; г) ~ '),)(г') соз [«р (г,) — «р (г,))йг, йгг1. (Ч.8) Пусть Предположим, что М < 1. Тогда для любой непрерывной функции «р(г) на [ — 1, 11 корректно определена функция 4-"ф, заданная равенством «гг) «) -' ~ ))) г «*., *.: *) — г — — х В (г«) В(г,) Хсоз[ф (г«) ф (г«Яйг йг«1 . Ответ на вопрос (1) утвердителен тогда и только тогда, когда Г обладает неподвижной точкой.
Вопрос (2) следующим образом связан с единственностью: пусть )«= агсз1п М. Прежде всего заметим, что если выбрана такая ветвь агсз1п, что — п/2 < агсз1п хе,', л;; п(2, то У переводит множество функций«р на [ — 1, 1] с )! «р ~)„()« в себя. Далее, если «р удовлетворяет (Ч.8), непрерывйа н )ф(0))(г«/2, то ))ф~~„<)г.
Наконец, заметим, что «р(г) удовлетворяет (1).8) тогда н только тогда, когда ф (г) = и — ф (г) тоже удовлетворяет (т'.8). Таким образом, в.ф=ф имеет в точности два решения тогда н только тогда, когда существует только одно решение с )ф(г)~я.)« 'для всех г. Прн М <0,79 Мартен показал, что в.
— сжимающее отображение множества (ф ) )) ф ~~„< )«; ф непрерывна) с подходящей метрикой. Отсюда следуют единственность н существование. В общем случае М < 1 существование доказано с помопцю теоремы Лере — Шаудера — Тихонова, а единственность — нет. Е. Существование корреляционных функций при низкой ллоииил)ти В заключение мы кратко обсудим применение одной очень простой теоремы о неподвижной точке в статистической механике. Теорема такова (задача 51): Теорема У.И.
Пусть К вЂ” линейное отображение банахова пространства на себя, причем))КЙ(1. Тогда для любого й уравнение 1= й+Кр имеете«гинсаменное решение )«= ~~.",К"я. Пусть К— а а б. Приложении тюрем о и«нодон«аной толке последовательность таких отображений, причем >> ʄ— К)~ — 0 и 11ц„>1<1. Еслиу„— у, ~ =у +К ~ и (=у+К~,то( В равновесной статистической механике вводятся «корреляционные функции» р, (хд), р,(х„х,), ..., р„(х„...,х„),.... В бесконечном объеме, где гранйчные аффекты перестают играть роль, р„(х„..., х„) — зто плон>носи<и вероятности нахождения частиц в точках х„..., х„.
Так, например, р,(х) должно равняться постоянной, совпадающей с плотностью. В случае ящика конечного размера Л злементарная статистическая механика дает явную формулу для корреляционных функций р<л>(х„..., х„; р, г), где () = (йТ) ' — обратная температура, г=ез» вЂ” активность, ар — химический потенциал. Когда мала плотность, т.
е. когда система представляет собой газ, г мало. Одна из целей классической статистической механики— доказать существование 11ш р<'д> (х„..., х„; ~, г) л-~ л по крайней мере для малых г и/или р, т. е. для высоких температур и!или низких плотностей, когда система находится в газообразном состоянии, так что не возникает осложнений, 'связанных с разными фазовыми состояниями. Это можно сделать с помощью теоремы д<.21. Сначала доказывается, что в конечном Ящике фУнкции (Р<л>1„" д УдовлетвоРЯют системе зацеплЯющихсЯ интегральных уравнений (уравнениям Кирквуда †Зальцбур): Р рдл'(х) = й<!"> (Хд)+ ~~."„~ е(уд... <(улК<~,>л (хд; у„..., ул) >С лл! <л> Хрл (у„... у„), рт (хд» ' 'д хдд) ьт (хд ° ° °, хдд) рт ! (хд, ° ° °, хдд)+ <л> <л> <л> + С~~ ) <ДУд ° ° ° 4(Улцлд, л (Хд.
° ° °, Хн> Уд, ° ° ° дУ„) >< л ! <л> >«рл+ д(х„...,х; у„...,у„). Вводя вектор р=(р„..., р,...), их схематически можно пере- писать в виде 1><л> й<л>.» К<л>р<л> Оказывается, на множестве векторов р можно так ввести норму, что К<л> станет ограниченным оператором. Для малых г и/или () при переходе к бесконечному объему й<л> й и К<л> К, причем нормы всех К<л> и К меньше 'единицы. Тогда, в силу теоремы д>'.21, р<л> сходится к единственному решению уравнений Кирквуда — Зальцбурга в бесконечном объеме. к. ласалено выауклые иростоанатва Что касается последних трех примеров, то пусть читатель не думает, что он получил какое-то представление о технических деталях. Мы лишь пытались грубо объяснить, какое отношение имеют ко всему этому теоремы о неподвижной точке, но вся основная черная работа заключается в выборе сподходящих» норм или пространств и доказательстве ограниченности или непрерывности отображений, а этого мы совсем не касались.
ЧЛ. Толелесмм на лелавьне вылунлых престранствах: теория лвойстваниостм и сильная сопряженная тепологвя В этом разделе мы хотим рассмотреть соотношения между различными локально выпуклыми топологиями на векторном пространстве Х. Эти топологии не используются до гл. ХЧ1, но их изучение развивает полезную интуицию и проясняет выбор топологий на Ф' и Ю. Пусть Х вЂ” векторное пространство и У вЂ” разделяющее точки пространство линейных функционалов на Х; такая пара <Х, У> .называется дуальией парой. Мы уже знаем, что на Х определена локально выпуклая топология о (Х, У), в которой топологяческое сопряженное к Х есть в точности У (теорема 1Ч.20). Прежде всего мы хотим выяснить, каковы другие локально выпуклые топологии на Х, порождающие У как топологическое сопряженное пространство.
Оиределелае. Пусть <Х, У) — дуальная пара. Топология Макки т(Х, У) на Х вЂ” это топология равномерной сходимости на о (У, Х)- т (х,щ компактных выпуклых множествах в У; это означает, что х„— -' х тогда и только тогда, когда у(х„) у(х) равномерно для всех у иэ любого фиксированного о(У, Х)-компактного выпуклого. подмножества в У. С другой стороны, для, каждого о(У, Х)-компактного выпуклого подмножества С в У определим рс на Х соотношением рс(х) =зцр ~у(х) ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
