Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда б(д) ~ С„если у,~ С,. На самом деле можно утверждать больше. Пусть С,= (Ы с Сь ! Ц к (1) — к (а) Ц'< ~ Ф вЂ” а ) шах ~ Р (Ю, у) ) ~с! <а И а-уа сс.< $ тс. а6( — 6, 6)). Тогда у~С, влечет за собой б(у) б.С,. Таким образом, б: С,— Ст. Отображенйе б непрерывно, а множество С, выпукло и компактно в силу соображений, связанных с равностепеиной непрерывно- 6.
Пр«ло«»е»»и»» «норе«о нелад«им««а ««ж«« 17б стью. Следовательно, по теореме Ч.»9, б обладает неподвижной точкой. ° Отметим, что второй метод доказательства дает только существование локального решения, но не его единственность. И в самом деле, когда г" непрерывна, но условие Липшица не выполнено, единственность может не иметь места: например, если г (г,у) = 2~ у, то уравнение у=2Уу, у(0) = О, имеет два решения: у(г) «аО и у(г)»», которые различаются в любой окрестности 1=0. Компактность С, связана с конечномерностью К", где компактен единичный шар. Однако свойство сжимаемости для функций, удовлетворяющих условию Липшнца, выполнено и без требования компактности, и потому немедленно переносится, на обыкновенные дифференциальные уравнения для функций со значениями в банаховом пространстве.
Вопрос о том, когда локальное решение может быть продолжено до глобальною, значительно деликатнее. В. Мера Хаара на номмупиипивных комлаипных группах При помощи теоремы Маркова — Какутани легко построить инвариантную меру на компактной абелевой группе. Пусть 6— компактное топологическое пространство, которое в то же время является абелевой группой, и предположим, что все групповые операции непрерывны. Мы хотим построить такую меру )» б«а+,»(б), чтобы ) ~4» = ~ ~г4» для всех у~6 и ~бС(б), где ~г — сдвиг функции (, т.
е. ( (Л) =((Л вЂ” у). Для любой )»б Ф~,(б) определим Тг1» соотношением Тг1»(Д=)»(~ ). Тогда Т отображает «Ф+, »(б) в себя и непрерывно в грубой («-слабой) топологии. Мйожество»«+, » выпукло и, в силу теоремы Ванаха — Алаоглу, компактно. Различные Т коммутируют, поскольку б — абелевн группа. Кроме кого, онй аффинны, поэтому, как утверждает теорема Ч.20, существует общая неподвижная точка рнмч с нужным свойством инвариантиости. В этом случае теорема о неподвижной точке дает только существование; единственность доказывается с пфмощью аргументов другого сорта. С.
Уравнения «бу»по»прана» Не входя ни.,в технические, ни в физические детали, опишем применение тедрв»»ы Лере — Шаудера — Тихонова в доказательстве самосогласованности некоторых схем бутстрапа. Для того чтобы описать идею бутстрапа, обратимся к потенциальному рассеянию, где по сравнению с теорией поля существенно меньше различных усложнений.
Рассмотрим рассеяние двух частиц одинаиовой массы. Поскольку полный импульс Р сохраняется и мы предполагаем, что все силы зависят только от относительных положений частиц, можно описывать рассеян!зе в системе координат, где Р=О (рис. У.2). Возьмемдля.простоты Рве. Ч.2. Рассеавне прн Р=Е.
лз= !/2, где тл — масса частиц. Естественные переменные в нерелятивистском случае — это энергия Е = Р;= Рзз и угол рассеяния 6, но, имея в виду релятивистский случай, возьмем вместо ннх з=4Е и переданный импульс 1= — (Р,— Р,)* 2Е(соз6 — 1). В квантовой механике рассеяние представляет собой существенно волновое явление, и потому описывается величиной рассеянной волны и ее фазой относительно падающей волны, т. е.
комплексным числом А„1,„, — амплитудой рассеяния, обсуждаемой в з Х11.6. Она определена в области Е ~ О, — 1 » (соз 6 ~ 1, или, что то же самое, О~э< ее, — з(~(0. Как мы увидим в 5 Х!1.7, амплитуда .А„ь„,(з, О) для самых разнообразных потенциааов является гранйчным значением некоторой функции, Р в с. Ч.З. Контур С в з-нлоскостн с разрезом. аналитической в з-плоскости с разрезом (рис. Ч.З). В общем случае на отрицательной полуоси могут быть полюса, которые мы для простоты исключаем.
Таким образом, Арь„з(л, 0) !пп А (а+ !е, 0) = А (з+!О, О) е!е с некоторой функцией, аналитической в (з~С~агйзчФ*О!. Более того, А (э, 0) вещественна при з ~ О, поэтому, согласно принципу о. Приаозненин тюрем о ненадезинной то«не симметрии Шварца, физическая амплитуда обладает свойством 1ш А (э+(О, О)нн — (А (э+(О, 0) — А (э — 10, 0)1. Предположим, опять-таки для простоты, что А(э, 0) 0 на бесконечности.
В общем случае это неверно, и следующее ниже. рассуждение надо подправить с помощью процедуры, известной как процедура вычитаний Я ХП.7). Тогда, в силу интегральной теоремы Коши, А (э„О) = — ф — 'ззэз 1 й(з,о) зя( с з зз где С вЂ” контур, изображенный на рис. У.З. Если теперь делать радиус большого круга все больше и больше, вклад от него бу- дет исчезать, ибо мы предположили, что А (о, 0)- 0 при э- оо.
Приближая прямолинейные участки пути к вещественной оси, найдем, что (й.7а) где Р(э, Ез = 0) = —.(А(э+10, 0) — А(э — (О, 0)]=1ш А (э+10, 0)— 1 «скачою А. Для узкого класса потенциалов это «дисперсионное соотношениеэ может быть доказано при 1.=1, для всех вещественных положительных гз. Этот класс включает в себя суммы юкавских потенциалов, которые считаются нерелятнвистским аналогом ядерных сил, Более того, в этом случае Р (а„г) при фиксированном э, является граничным значением функцйи, аналитической в плоскости с разрезом от «=а(э) до оо. Функции и (э), зависящая от потенциала, известна в явном виде и называется мандельстамовской границей.
Можно написать дисперснонное соотношение для Р: Ф Р(э, гз)= ~ — '1 «(г, г р(з, 1) 1 — 1з о(з1 где р(э, ()= —. [Р(э, 1+(0) — Р (э, à — (0)) называется «двойной спектральной функциейэ. Собирая два наших днсперсноиных соотношения вместе, получаем «мандельстамовское представлениеэ для А: 9 о (з') Ггз Зто линейное соотношение, в сущности, есть утверждение об аналитических свойствах А. Второй элемент схемы бутстрапа †«унитарность Я-матрицыэ.
Давайте временно вернемся к переменным Е, О и к обозначению А(Е, О) для амплитуды при е=4Е и 1= — 2Е(1 — созО). Унитарность есть отражение того факта, что число частиц, входящих в область рассеяния, равно числу частиц, ее покидающих (более глубокое обсуждение см.
в $ Х11.5). С квантовомеханической точки зрения, уменьшение числа частиц в пучке вызвано интерференцией между рассеянной и нерассеянной волнами. Зта интерференция пропорциональна 1ш А(Е, О), тогда как количество частиц, покинувших пучок, пропорционально ~ А («. Таким образом приходим к нелинейному соотношению 1п1А(Е, 0)=с ~ ~ А (Е, О) ~'сЯ, где с(Е) — функция от Е, зависяшля от нормировки А, а йье— угловая мера на сфере. Можно продолжить это соотношение на ненулевые О и получить нелинейное 'интегральное соотношение между 1>(е, 7) и А(з', ~') (квадратичное по А). Взяв скачок 1> и использовав представление Мандельстама, найдем соотношение р= т(р), где Т вЂ” некоторая явная, хотя и сложная, функция от р.
Если р обладает свойством р= Т(р) и имеет правильное убывание, достаточное для сходимости некоторых интегралов, то можно' показать, что А, определяемая соотношением (Ч.ТЬ), удовлетворяет условию унитарности. Таким образом, существование А (е, 7) с правильными свойствами аналитичности и унитарности эквива:.
лентно существованию неподвижных точек у Т. В нерелятивистском случае существование таких р известно, поскольку можно показать, что амплитуда рассеяния для суперпозиции юкавских потенциалов обладает правильными свойствами аналитичности и унитарности. В релятивистском случае, например при п«п'-рассеянии, возникают два дополнительных усложнения: (1) Кроссине-симметрия. Заменим импульсы р„ р, на рис. Ч.1 УЬ я-<~~Н~Р<.Р), «- пионов. Имея 4-вектор а=(а„а>, определим а'=<4 — а', например, р,' = р*, что выражает релятивистское соотношение между энергией и импульсом. Определим далее мандельстамовские переменные е=(р,+р,)'=4(р«+рР), если р — импульс в системе центра масс, 1= (р,— р )'='/,(е — 4рР) (сов Π— 1) и и= (р,— р )*= = 11, (з — 4р') ( — соз Π— 1).
Конечно, з, 7 и и зависимы, ибо а+7+и = АР. Кроссинг-симметрия выражает глубокий факт релятивистской квантовой теории, а именно то, что аналитическое 6. Призезеенин нмзеем о ненодеижней ногине 179 продолжение амплитуды, скажем, процесса рассеяния попо — попо, является симметричной функцией з и 8, а после замены переменных <з, 1> <з, и>, сделанной с помощью соотношения и= = 4р' — з — '(, — симметричной функцией з и и.
Это автоматически ведет к существованию дополнительных разрезов в области определения функции А (з, 1). Например, аналогом разреза от Е=О до Е= ои в области определения нерелятивистской амплитуды является разрез для А (з, 0), идущий от з= 4)зз до з =из. Кроссинг-симметрия предполагает, что должен быть еще разрез от и= 4)з* до и = ии, или, так как з= О, от з= 0 до з= — ии. Аналог нерелятивистской мандельстамовской аналитичности тогда выражается релятивистским мандельстамовским соотношением." А(з„то)=„—, ~ оЬ ~ оИР(е,т) ~( )(( ()+ оно а(з) + (з — зо) (1+ го+ (о-4)оз) (о+ го+ (о — 4)оо) (1- (о) ~ 3 + В втой формуле о(з)= т1п~ — — --~, —,~ 4з 1бз и р, должно обладать свойством р (з, г) = р (), з). Последние два члена после замены переменных равны р (з, и) р((, и) (з — зо) (и — ио) (С вЂ” !о) (и — ио) ' Мандельстамовское соотношение как раз и выражает свойство кроссинг-симметрии вместе с определенными свойствами аналитичности.
(В) Нерпругие процессы. Для релятивистских систем характерно то, что при наличии достаточной энергии в них может рождаться большое число частиц. Например, если з > 16)зо, возможна реакция по+аз — по+ аз+по+по. Унитарность возникает из связи между интерференцией рассеянной и нерассеянной волн и полным рассеянием во всех процессах. Она, таким образом, дает связь между А (з, 0) и суммой членов, один из которых отвечает процессу по+и'- яо+ п'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
