Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Под(эобпее см. в книге Кйте, стр. 369 — 372. Монтелевы, в чзстностн, пространства,у' и Я)'. Поляра Ач часто определяется так: Аь=(г~р»йе((е)~ — ! для всех е~А». Если А выпукло н уравновешено, то это определение совпадает с данным нами. Но в случае, когда А — ионус, новое определение значительно полезнее. Например, при определении, приведенном в тексте, поляра множества (ггЕС(Х) »7~0» равна (0», тогда как при новомопределеннн полярой оказывается множество всех положвтельных мер. ЗАДАЧИ 1. (а) Докажите, что локально выпуклое пространство имеет топологию, задаваемую одной нормой, если эта топология порождается конечным числом полунорм.
(Ь) Докажите, что лбкально выпуклое пространство имеет топологию, порождаемую одной нормой, тогда в только тогда, когда нуль обладает ограниченной окрестностью. 2. Пусть Х вЂ” бесконечномерное локально выпуклое пространство н ջ— его сопряженное, Докажите, что нн одна а(Х, Хз)-непрерывная полу- норма не является, нормой, так что переход к полунормзм существен. 3. (а) Пусть (р„» л — семейство полунорм, такое, что некоторая конечная сумма р +...
+р„является нормой. Докажите, что (р» эквивалентно некоторому семейству норм. (Ь) Докажите, что любая локально выпуклая топология на И" совпадает с обычной топологией. (Ухлзаниз. Используйте эквивалентность всех норм на Кч и следующее построение.
Возьмем нолунорму р ф 0 н положим Уз=(х»рг(х)=0»; 61ш Уг ° я — 1. Если У Ю (О», возьмем такие х, ЕУ, н рз, чтобы рз (хг) Ф О. Положим Уэ (х»(рд+рз)(х)=О»; б!ш Уз~я — 2; н т. д.) (с) Пусть Х вЂ” локально выпуклое пространство. Покажите, что любой линейный функционал, определенный на конечномерном подпространстзе в Х, имеет непрерывное продолжение иа все Х. (б) Докажите. что любое конечномерное подпространство локально выпуклого пространства замкнуто. 4.
В этой аадаче требуется доказать. что каждое локально иомпактное локально выпуклое пространство конечномерно. (а) Пусть У вЂ” компактная окрестность нуля. Покажите, что можно найти и такие х» ..., х„, что У~ О (х;+ гзУ). н, следовательно, такое коС=! нечиомерное пространство М, что Уг:М+г/зУ. (Ь) Докажите, что Уг"М+(1/2)"' У для любого и. 196 У. Лака»она зывуялыа лрсстранспыа (с) Докажите, что (/с:М.
(б) Выведите отсюда, что М=Х=с)(. Ю. Пусть Х вЂ” банахово пространство, Х» и Х»' — его сопряженное н вто*» рое сопряженное. Пусть Хс — единичный шар в Х, а Хс — еданнчный шар в Х". Докахснте, что (а) Х, а (Х", Х')-плотно в Х, . [Уютзаииг: воспользуйтесь теоремой Ч.б (с) прйменительно к Х' с топологией а(Х»', Х»).[ (Ь) Х рефлексивно 'тогда н только тогда, когда его единичный шар а (Х, Х»)-компактен. уб.
Докажите три предложения в начале б ЧА. [7. Докажите, что сеьюйства (рЯс) н (р.) на 6р эквивалентны. [Указанию нсяользуйте интегральную формулу Коши, проннтегрнроваиную по кольцевой области,1 [В. Пусть С вЂ” поглощающее подмножество в У, такое. что гхЯС, если х~С и О» 1 < 1. Пусть р — функционал Минковского для С. Докажите, чтос (а) р(гх)=1р(х), если 1~0; (Ь) р(х+у)~ р(х)+р(у) тогда и только тогда, когда 1(с/зх-[-с/ у)~С для всех х, у~С и 0 ~ 1 < 1; (с) Р(ссх)=[)с[р(х) тогда н только тогда, когда Ли~С для всех и~С и таких )с, что [ й [ < 1; (б) (х [ р (х) < 1) С С~ (х [ р(х) < 1).
Фу. Доканснте теорему У.2. 110. (а) Завершите доказательство теоремы Ч.б. (Ь) Докажите предложение, следующее за теоремой УХЬ 11. Пусть А н  — поглощающие множества, обладающие таким свойством: если хЕА (соответственно В) и 0~1» 1. то гх~А (соответственно В). Пусть рл, рв — функционалы Минковского. Докажите, чтос (а) рв с-р,с тогда н только тогда, иогда 1Ас-В для всех 0 ~1» 1; (Ь) р,с О —— псах (рл, рв); (с) рл0 в=шсп (Рл РВ) 1г. В теории функций нескольких комплексных переменных встречаются открытые в С" мнохсества О, 0', 0~0', обладающие тем свойством, что любая аналитическая в 0 функция имеет продолжение в 0'.
В таком случае пусть К с=Π— компакт, и пусть К=(гЕО' [[/(г) [а зпр [/(ш) [ м»К для всех /, аналитических в 0'). В втой теории доказывается полезная теорема о том, что () К=О'. к~о К компактное (а) Покажите. что равенство ()К=О' следует из совпадения топологий равномерной сходнмости на компактных подмножествах в 0 и яа компактах в 0'.
(Ь) Используйте теорему Ч.6 для доказательства совпадения тспологий, упомянутых в пункте (а). 18. Пусть Š— метрическое пространство. Пусть Х* — сопрюкенное к некоторому пространству Фреше. Предположим. что /: 2 — Х' непрерывно, котла Х» наделено топологией а(Х*, Х). Докажите. что это отображение непрерывно н тогда, когда Х» наделено топологией т(Х*, Х). [Указание: используйте теорему Ч,8.[ !97 Я.
Кэк изменятся выводы задачи 13, если в ней заменить е на произв льнов топологическое пространство? 1б. В этой задаче требуется доказать, по каждое равномерно выпуклое банахово пространство (определенйе равномерной выпухлостн см. в задаче 23 гл. 1!!) рефлексивно. (з) Пусть Х равномерно выпукло и х, «ЕХ, 1ЕХ». Докажите, что )(х — у(! < з, если )) х~) =))у)1=!(1~) =1. Йе! (х) > !д(з) н Йе)(у) > > 1 — б(э). (Ь) Пусть Х равномерно выпукло.
Предположим, что (х ) — такая направленность в Х, что х, хЕХ*» в топологии а(Х"», Х»). Предположим, что )!х)! 1, !)х,„()~1 для всех а. Используя (а), докажите, что х — направленность Коган относительно )) !). (с) Докажите, что Х=Х*". (Используйте задачу ба.) Замечание. Теорему, сформулированную в задаче 13. доказалн Д. П. Мильман (О некоторых признаках регулярности пространств типа (В), ДАН СССР, 20 (!9™38), 243 — 24б) н Петтис (В.
Л. )эе!!!э, А ргоо1 !Йа! етегу пп!!огш1у.оэпчех эрасе !э гейех!че, Вийе Магд. 1., б (!939), 249 — 2)3). 1д. (а) Пусть фЕ»У' и фэ — функция из ер', определяемая равенством фэ(х) = ф (х — у). Докажите. что отображение у!-» фэ есть бесконечно днфференцируемая функцвя из Е» в еТ(Р") со свойсгвом 1!а(фэ)= =( — 1)а(1)аф)э. Сказать, что у! фэ обладает провзводиой дфэ1д«1 как функция со значениями в»Т,— это значит утверждать, что М ч.ч д «» ) ~ф ф Рэ (фз) (У вЂ” Уэ)1 у- е, ! '~н д«1 / ! в топологии еТ. Докажите также, что (У )" 1)афэ — 0 дла всех а, л при у — ее. (Ь) Пусть Т Е,Т'.
Пусть ф Е,Т. Определим функцию Тэ равенством Тэ(у)=Т(фэ). Докажнте, что Тэ ~ »Т. (с) Пусть ф„~,Т н ф„б в слабой топологии на еТ'. Докажите, что Т "- Т для всех Т ~ »Т' в слабой топологии нз еТ'. (б) Докажите, что де плотно в К'. 17. Пусть Х н У вЂ” локально выпуклые пространства, н пусть Х», У» — вх топологическяе сопряженные. Предположим, что Т: Х вЂ” У линейно и непрерывно. Определим сопряженное отображение Т'. У' — Х' равенством (Т' (у»)) (х) = у»(Тх). Докажкте„что; (а) если Х' и У' снабжены топологиямн а(Х, Х) н а(У», У), то Т" непрерывно; (Ь) если Х и У снабжены топологиямн а(Х, Х») н а(У, У»), то Т непрерывно; (с) если Х' и У' снабжены топологиями г(Х', Х) н г(У', У), то Т' непрерывно (используйте (Ь)); (б) отображение Т переводит ограниченные подмножества Х в ограниченные подмножества У; (е) если Х» и У» снабжены топологиямн' ()(Х», Х) н р(У», У), то Т" непрерывно.
1д. Пусть Х. У вЂ локаль выпуклые пространства и Т: Х 'У вЂ непрерывное линейное стоб»эа!кение. Зададим на Х» н У» слабые топологии, так что (Х')'=Х; (У )'=)'. (а) Докажите, что в этом случае (Т')' Т 198 (Ь) Выведите отсюда, что Т непрерывно, когда Х н У наделены топологиями т(Х, Х ) и т(У. 1 ). (с) Выведите отсюда, что Т непрерывно, когда Х и У наделены топологвямн ~(Х, Хч) и () (У, Уч). 12. Пусть Х, У вЂ” локально выпуклые пространства и Т: Х вЂ” У-непрерывное линейное отображение.
Пусть Т' — сопряженное отображение из 1' в Хч. Докажите, что: (а) отображение Т" ииьективио тогда н только тогда, когда Яап T= У; (Ь) отображение Т ннъективно тогда н тоаько тогда, когда Кап Т" =Х в топологии п(Хч, Х) вли т(Хч, Х). (с) Пусть и чТ вЂ” ~,К' — естественное вложение чТ в чТ'. тогда ч непрерывно, если К наделено топоаогией о(,К,,К'), а чТ) наделено топологией о(Ю', Ю~.
(б) Локажите, что а =в! (е) Покажите, что ь (чТ) плотао в.,К" в топологиях т (Т'. чТ) и п(чТ", чы). 29, ПУсть Х вЂ” локально выпУклое пРостРанство с сопРЯженным ХченУ. (а) Докажите, что любое замкнутое подпростравство в Х о(Х, Хч)-замкнуто в нем. (Ь) докажете, что все топологии, согласованные с двойственностью между Х и У, обладают одинаковыми замкнутымн подпространствами. (с) Пусть С вЂ” замкнутое выпуклое подмножество в Х. Докажите, что С замкнуто в топологии п(Х, Х'). (У»лзализ: воспользуйтесь теоремой о разделении.) (б) Докажите, что все топологии, согласованные с двойственностью между Х и У, обладают одинаковмми замкнутымв выпуклыми множествами. (е) Варне ли предыдущее утверждение для компактных выпуклых мног ' у21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
