Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 29
Текст из файла (страница 29)
11 — семейство окрестностей едыннчного элемеыта, з УН (<х, у> ! ху-г~Н). Пусть задана равыомернзя структуре 04; направленность (ха!аЕР» называется направленностью Кошя, еслн для каждого У~'М существует такое аэЕ)>, что нз а, р > аэ следует <ха, «6> ~У. Понятые равномерного пространства было впервые формалнзовзыо А. Вейлем: А, Же!1, Баг 1ез шрасез з з(гас1ше ыпИогше е1 зш !а 1оро!од)е депега1е, Ас(аа!!1ез Бс).
1пб., 661, РатЬ, 1937. Современное ызложеные теоряя звйомерных пространств см. у Келлн, гл. 6, ялн у Шоке (О. СЬос!ае1, ес)шеэ оп Апа!уз)з, Веп)зш(п, !4ем Торс, 1969, 4 5). уг'.2. Направленностн были впервые введены в статье: Е. Н. Мооге апб К: . 1.. Бпп1Ь, А Оепега! ТЬеогу о( 1.1ш!(з, Апмг. У. Матй., 44 (1922), 102. В более старых работах иногда говорятся о сходымостн Мура — Сматз. Более подробно об этом см. у Келли, гл. 2.
Существует другой подход к вопросу о сходямостя в топологнческнх простраысшзх. пропагандируемый Н. Бурбаын. Это так называемая пморил фиаэпдхы; оыз рассматрнваегся у Шоке, 4 4, з также у Бурбаня, Общая ' топология, гл. 1. Теория сходнмостн, построеняая на понятны фяльтров, кажется нзм совершенно не отвечающей нытуятывным представлениям, я мы предпочитаем во всех случаях пользоваться направленностями. у )г'.3. Первым, нто осознал важность топологнн проязведення (н доказал свою нздустную теорему), был А. Н. Тнконое; см. две его фундаментальные статьи: ()Ьег Ме 1оро1од1зсЬе Егме!1егапд чоп Езашеп, Матл.
Апа., 102(1929), 544 — 556, ы 0Ьег е)пеп РыпЫИопепгзшп, Матй. Апп., 111 (1935), 762 — 766. Обычное доказательство теоремы Тихонова (см., напрнмер, Келлн) использует свойство центрнрованностн н довольыо сложно. Проще выглядят доказательство, опнрающееся на теорию фнльтров н ультрафнльтров, которая кзк будто спецнально создана для- этого доказательства (см. Шоке). Но это доказательство можно ыеревестн ыа язык направленностей. Ниже мы ырнзоднм набросок такого доказательства.
(1) Направленность (ха» в прострзнстве Х называется упизйгсальыой, если для любого Аг:Х в коыце коннов ха~А, нлн ха~Х' А: Заметны, что А провзвольно ы в определеняя увыверсзльной направзенностя нячего йе говорятся о топологяы. (2) Если х — точка накоп-. ленна уннверсальной ыаправлеыностн, то ха ~х, нбо если часто хацА, то обязательно в конце концов хацА. (3) Любая направленность выест уянверсальную ыоднаправленыость. В техническом отнопмнни эчо центральный пункт доказательства. В нем используется аксиома выбора. (4) Х компактно' тогда н только тогда.
когда каждая уняверсальнзя направленность сходятся. Когда (3) предполагается выполненным, зто в точностя теорема Больцано— Вей1ерштрзсса. (5) для доказательства теоремы Тихонова допустим, что (ха)аеп — уяяверсзльная направленность в Х Аг, где каждое Аг компактно. !зг наыншем ха ='(х~ю)1 1, прнчем хф цАв поскольку (ха» уннверсзльнз, (хФ»г тоже универсальна прн всяком 1. Так как Аг компактно, то хф -+хш прн некотором УПАЛА!. Пусть х — элемент (хш»1 г в Х Аг.
Тогда ха -+х, тзк что гег каждая уннверсальная направленность сходятся. Мы впервые узнзля эта доказательство нз лекций Ланфордз: О. Е. (.ап(огб, П1, (.ш НоасЬез 1ес1шез, 1970. В каких случаях топология в топологяческом пространстве зздзетоя метрыкойу В общем случзе нз этот вопрос не существует простого ответя, адызка 137 для компактных хаусдорфовых пространств язвестно, что Х метрвзуемо (нмеет топологию, задаваемую метрикой) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет первой аксвоме счетностн. В 4 Ч.2 мы увидим, что подобный резулитат имеет место я для топологнческях векторных пространств. Факты, относящиеся и к компактным, я к векторным пространствам.
наиболее понятны в общем контексте равномерных пространств; см. Келли, гл. 6. Даыиое Вейерштрассом доказательство его теоремы о приближеншг полн- юмами находится на стр. 5 третьего тома его трудов: К. %е!егз1газз, Ма!ЬешаНзсЬе эуегйе, Мауег нпд М61!ег, Вегйп, 1903. Обобщенве Стоуна впервые пояюглось в работе: М. Н. 8!опе, Арр1!са!!опз о1 1Ье ТЬеогу о1 Воо(еап К!п(п 1о Оепега! Торо(ойу, Тгааз. Атег. Ма)Ь. Яос., 41 (1937), 325 — 481; он жедал 97 прощеяное доказательство в своей нлассической статье: ТЬе Оепега1!зеб е!егз1газз Арргохцпа1!оп ТЬеогеш, Ма(Ь. Мад., 21 (1947/48), 167 — 184, 237 — 254.
5 /У.4. В качестве краткого в простого язложеяия теория меры ыа компактных пространствах мы очень рекомендуем первую главу княги: 1.. ИасЬЬ!и, ТЬе Нааг 1п!ейга!, Чап Ноэ(гапб — Ке!пЬо16, РПпсе(оп, Н. Ю., 1965. Более полное изложение можно найти у Бурбаки. Интегрярованяе, гл. 1 — 1Ч. Большая часть того, что мы говоряли о положятельных лянейных функционалах, относвтся и к векторным пространствам, на которых задано уыорядоченке, допускающее взятые конечных ияжнях и верхних граней, т.
е. к векторным решеткам. Глубокая связь между ыоиятяями порядка я топологией рассмотрена в кинге: 1.. НасЬЬ!и, Торо(ойу апд Огдег, Чап Ноз!гапб— Ке(пйо)6, Рг!псе!оп, Н. Ю., 1965. Дополнятелью о теория меры на локально номпактных пространствах см. в указаняых княгах Нахбина в Бурбакв или (ближе к пряыятому здесь подходу) в книге Шоке (см. замечаыня к $ !Ч.!). )Ч.Е. Далее мы докажем более сильный результат, чем наше утвержденяе, что лкнейные номбянапыи мер дярака грубо плотны в еэй(Х). На саюм деле мы покажем, что лянейные комбяяации в еВ+ э(Х) грубо плотяы в еФ+ т(Х).
Поэтому любая положятельная мера р, )э(Х)=1, может быть грубо прябляжена мерами ~ г„б„, где 0~1„~1, 'Яг„=!. Зто будет а=э следовать из теоремы Крейна — Мнльмана, которая пряводнтся в 9 ХЧ1.1. Теорема Банаха — Алаоглу была доказана в работе: Ь. А!аой1п, 'чуеа1с Торо!ой!ез о1 Ногшеб Ыпеаг Зрак, Аяя. Ма(А., 41 (1940), 252 — 267. Теорему 1Ч.22 можно ржпростраиять на произвольное сепарабельное банахово пространство. В более общем случае имеет место теорема Петгиса: векторнозначная фуннцяя сально взмервма тогда и только тогда, когда она слабо язмеряма и почтя сепарабельнозначна (в том смысле, что после изменения 7 на множестве меры нуль Кап 1 станет сепарабееьным). Эта теорема впервые доказаыа в работе: В. 2. Ре!!В, Оп !п(ейгщюп !и Чес!ог 3расез, Тгаак Аеыг.
Ма)А. 3ос., 44 (1938), 277 — 304. Интеграл от сильно язмеримой фуякция можно определять при помощи методов, вполне аналогячных тем, которые употребляются для вещественнозначных функций. Этот интеграл Бохнера обсуждается в книге: К. Иосида, Фуннцноыальный аыалвз, еМнрэ, М., 1970, н во многих других учебниках. Он был введен Бохнером в работе: 8.
ВосЬпег, 1п1ейга!1оп топ Рппй(!опеп, дегеп Ъег! д!е Е!ешеп!е е!пез Чей!оггаышеэ з!пд, гияб. Маш., 20 (!933), 262 †2. Интеграл Бохнера удовлетворяет теорема о мажорярованной сходвмости с оценкой по норме. Всюду в этой книге мы пользуемся слабым интегралом, определяемым как 1 ($ 1(х) г()э~ = ~ ! (/(х)) А(з. Интеграл Бох- 1У, Топаяоаическиэ аространсама пера обладает лучшымк свойствамн.
чем этот слабый интеграл, но нак эты дополнытельные свойства не потребуются, так что мы удозлетаорнмся более простым слабым интегралом. ЗАДАЧИ 7, Докажите, что семейство всех топологий на некотором пространстве образует полную решетку, т. е. что любое семейство топологнй обладает накмеыьшей верхней гранью к яанболыпей нижней гранью. 2 (аксвомы замыкания Куратовского). Покажите, что операцвя А т.ьА в топологическом пространстве обладает следующими свойствами: (т) (А) =А; (!1) АА() В=А()В1 (61) А А; (1т) м=м. Напротив, допустнм, что задана операпня -: 2 — 2 (2 ~все подх х х множества множества Х), удовлетворяющая условням (1) — (1т).
Покажите, что семейство множеств В, таких, что Х~В=Х'~,В, образует топологню, для которой - есть операцня эамыканпя. Л'ишаратурат Келли, стр. 67 — 69. 8. (а) Пусть 2 — топологнческое пространство 10, 1) с дискретной топологией, Докажете, что типологическое пространство Х связно тогда н только тогда, когда любая непрерывная функпыя 7т Х вЂ” 2 постоянна. (Ь) Докажите, что любое пронэведеные связных пространств связно. (с) Пусть 8 — топологыческое пространство. Допустим, что А, В с-3 связны в относытельюй топологии н АПВ~ат; А()В Я.
Покажете, что 8 связно. (б) Пусть Я вЂ” топологнческое пространство, Предположим, что 8 =б н Р связно.- Докажите, что Я сэязю. (е) Докахиттет что. образ связного пространства прн непрерывном отображенны свяаен. (1) Докажнте теорему о промежуточюм значеннн нз элементарного авалова: еслн 7 — непрерывная функцыя на (а, Ь), то для любого 7(а) < < х < 7(ь) существует такое с~[а, э), что $(с)=х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
