Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Уаиаииз. Воспользуйтесь (а) для доказательства (Ь) — (е). б, (а) Топологнческое пространство Х называется пространством Лныделйфа, если любое его открытое покрытне имеет счетыое подпокрытне. Докажите, что любое пространство, удовлетворяющее второй аксвоые счетносты, есть пространство Лняделйфа. (Ь) Докажнте. что любое регулярное (т. е. Тэ-) пространство, удозлетзоряаицее второй аксиоме счетности, нормально (т.
е. Тт). ,Фапартииурат Келлн, стр. 76, 77. б. а) Докажнте, что И н йе не гомеоморфны прв любом а > 1. 1) Ь) Докажнте, что И те ХКХ пы для какого топологыческого пространства Х. ухазалйа. Что случытся с И, еслн взьять вз него одну точку? б. Типологическое пространство Х называется линейно связным, еслы ппн заданных х, у~Х существует непрерывная функцня (дуга) Т~0,1) "Х, такая, что 7(0) к, 7(1)=у.
(а Покажыте, что есин Х лныейпо связно, то оно сзязю. 139 (Ь) Пусть Хе — график функцвв у э1п 1/х на пространстве й'~ [0), снабженном отяосительвой топологией как подмножество плоскости. Пусть Х = Хе[)(<х, у> [х=О). Покажите, что Х связно, но не лннейиосвязно. 7.
Пусть на Х=эс задана топология ф; поровщаемая всеми множествами вида [[а, Ь) [а, Ь~м),образующими на самом делебазу для 27: Докажите, что: а) <Х, 87> сепарабельно; Ь) <Х, ер > удовлетворяет первой аксвоме счетноств; (с) <Х, еб > лэ удаеэвпеорявп второй аксиоме счетности. 8. Докажите. что любое подпространспю сепарабельиого метрического простраисща сепарабввьно.
9. Пусть У есть Кэ с топологией пронэведения, задаваемой топологией 87 задачи 7 на кавгдом множителе. Докавигте, что: а) У сепарабельно; Ь) прямая х+8=1 не сепарабельна в относительной топологии. 10. Пусть Х вЂ” любое несчетное множество, и пусть 4à — топология, состоящая яз и и дополнений конечных множеств. Докажите. что: (а) Х севарабельно; (Ь) Х счетно; с) Х есть Тыпространство и нэ эсзм Тэ; б) Х ие удовлетворяет нн первой, нн второй аксяомам счетностн.
('11. Докажите теорему )т'.2. 12. Пусть Х вЂ” банахово пространство 1; рассмотрим последовательность бы бз, ... в Х, заданную равенством 6„([сь)ь-т) с„. Докажите, что (бе), ... не имеет е-слабо сходящихся водпослеловательностей, по имеет е-слабо сходжцуюся поднаправленность. И. Приведете пример, показывающий, что поточечный предел направленности борелевых функций иа К может не быть борелевой функцией, 14. Покажите. что пространство примера в б 1Ч.2 не компактно, но линделйрово (см. задачу 4). И. Пусть А — семейство непрерывных функций на [О, 2п) со свойством э'ь '/(х)бл=О, если д-отрицательное целое.
Докажите, чго,4— замкнутая разделяющая точки алгебра, 1 ЕА, однако А ю С [О, 2м). 7!6. Докажите заключительное утверждение теоремы Стоуна — Вейерютрасса для случая, когда ве предполагается, что 1~КВ. е/7. Пусть ЗΠ— замкнутый идеал в Си (Х). Пусть, далее, У=[8~Х [/(х) =0 пРн всех /~ЗО). Докажите, что г эамкнУго н что ЗО= [/ЕСп (Х) [/=вО на У).
18. Докахппе теорему Титце для случая, когда предполагается только, что Х иормальяо. (См. указания, которые дщт Келли, гл. 7, задача О.) И. Пусть/ — непрерывная функция на [ — 1/2, 1/2), причем/(1/2) =/( — 1/2) = О. 1 Пусть зь (Х) — последовательность функций, таких, что ~ вз (х) бл=1 и 149 Ю. Гонслозичзсние нросшранснма каждая за~О, так что при любом б > О Иш ) зь (х) =О. »ж !»!з~ь Докажите, что ы» Ьш ) з*(х — у)/(у)бу=/(х) 3 м -«1» для любого х~[ — 1/2, 1/2) н что сходимость равномерная. 1 20. Пусть зь (х) =(/з)-» (1 — хз)ь. где /ь = ) (1 — хз)ь»(х.
Пользуясь резуль- -1 татами задачи 19, докажи«с, что любая яепрерывная функция ва [ — 1/4, 1/4) есть равномерный предел поляномов иа [ — 1/4, 1/4]. '21. Пользуясь теоремой Стоуна — Вейерштрасса, докажите, что: (а) [егах], образуют полную орливонал»нуо систему в Рз [О. 2м]; (Ь) полиномы Лежандра образуют полную орша«овальную систему в /.з[ — 1. 1]; (с) сферические гармоники образуют полную ортонормировавную систему в пространстве ~з ва сфере. (Уназание: воспользуйтесь тем, что вам известно о козффициеитах .
Клебша †Гордо!) 22. Докажяте следующую нмврему Дини. Пусть Х вЂ” компактное хаусдорфово пространство. Пусть /„— монотояно убывающее семейство функций и /„(к) — /(х) поточечно. Тогда /н сходится равномерно в том и только том случае. когда / непрерывна. 2А Пусть Х вЂ” локзлью коыпактиое хаусдорфово пространство. Рассмотрим Х=Х[][«о], где «о — зто «точка», не прннадлежацая Х.
Назовем Ос=.Х открытым, если либо «е(0 и О.открыло в Х, . либо сз ~0 и. Ь О., коьь пактю. Докажите, что Х вЂ” компактное хаусдорфово пространство. Ою называется одноточечной компактнфнкацией пространства Х. 24. Докажите теорему Стоуна — Вейерштрасса для локально компактного пространства Х: если А есть замкнутая подалгебра нз С (Х) — пространства непрерывных вещестяеннозначных функций, исчезающих на сз, я если А разделяет точки и для всякого хЕХ существует такая /~А, что /(х) ~ О, то А=С (Х).
2б. Пусть Х вЂ” локально компактюе хаусдорфово пространство. Докажите, что для С, Р~Х, где Р— замкнут, а С компактно, существует такая непрерывная функция /, О~/~1, на Х, что /[С]=О, /[Р] 1. Эам««ание. Для решения задач 24 в 26 воспользуйтесь пространством Х задачи 23. 2б. (а) Докажите, что любое локально компактное хаусдорфово пространство есть Тз-пространство. (Ь) Докажите, что любое локально компактное хаусдорфово прш.трзиство, удовлетворяющее второй аксюме счствости, нормалью. (с) Докавште, что любое а-компактное локально компактное хаусдорфово пространство нормалью. Эамашние.
Существуют локально компактные пространства, которые хаусдорфовы, во ве нормальны. См. Келли, гл. 4, задача Е. 141 Пусть «аэ) — последовательность чисел с таким свойствоьп еслн М гг а„ха ~0 пря всех х Е (О, Ц, то,5' а„а„~б. Локажнте, что существ э вует единственная (положительная) мера р на (О, Ц. такая, что ! ае=~ х Фр. е Пусть Х вЂ” векторное пространство, а У вЂ” семейство функционалов на нем, раэдеюпощих точки. Докажете, что если топология а(Х, г) порождается метрикой, то 1 ямеет счетную алгэбраичжкую размерность. Алгебранческий базис в )' есть подмновсество, хоевчнме линейные юмби.
нанни которого порождмот г. Алгебраическая размерность — это число элементов минимального алгебраического базиса.' Пусть Х вЂ вещественн банахово пространство в С вЂ единичн шар в Хе со «-слабой топологней. Докажите, что любая непрерывная функция 82, 38. 27.
! руина С, наделенная топологией, называется топологичесюй группой, если <х, у> 1-ьху-! — отображеыие СХС вЂ” С вЂ” непрерывно. Функция на топологической группе С называется равномерно непрерывной, если для любого е можно найти такую окрестность Ув единицы ецС, что (1(х) — ! (у) ( < е, когда ху-!ЕЛ!з. Докажите, что любая непрерывная фуякцня на комйактыой топологической группе равномерно непрерывна„ '28, (а) Пусть А — алгебра зещестзеннозначных ограниченных непрерывных функций на м, разделяющая точки ы замкнутая по норме (( !( . Образуем Х ~ае ~Х «х~Е((х) ~)) Г(() с топологией произведения.
О!образный- ХА )еЛ так, что точка х переходит з точку с коордннатамн «г (х)) А. Локажнте. 1е что образ и в ХА гомеоморфен )ч и что его замыкание компактно. (Ь) Топологическое пространство Хсстображеынем 1! Й- Х называется яомпаытифнкацней К. если 1 есть гомеоморфнзм между К него образом, если этот образ плотен в Х и есля Х вЂ” компактное хаусдорфово пространство.
Лве компактифнкацни г; !< — Х н 8: и — )' отождествляются. если существуеттакой гомеоморфнзм Л: Х вЂ” г, что Ло2=8. Локажнте, что существует взаимно однозначное соответствие между компактнфикациямя К и алгебрами А~Си, удовлетворяющими уело. виям пункта (а). (с) Если выбрать А С(К). то та компактяфнкацня, которая получается с помощью конструкции пункта (а), называется компактнфиющней Стоуна — Чеха н обозначается К.
Докажите, что и есть универсальыая компактнфнкацня К з следующем смысле: если даны любая компактнфикацняг: Š— ~Х н компактификацня Стоуна — Чехау! и — ~ К, то можно найти непрерывное и сюръектывное отображение Л ! и -ч- Х, такое, что Лей=(„ 29, Пусть <Х, й> — метрическое пространство без изолированных точек.
Предположим, что всякая непрерывная функция на Х равномерно ыепрерывна. Покажите, что Х компактно. 80. (а) Докажите, что всякое метрическое пространство нормально. (Ь) Докажите, что всякое замкнутое множество в метрическом. пространстве есть С, -множество. 181. Докажите утверждение о единственности теоремы 1!г.16. 142 г"г. То«ологичзсхнз «росшранс«мн на С может быть равномерно прнблвжена полнномамп от злементое Х, действующими как лннейные функцноналы на Х». 95. Пусть Х вЂ” банахово пространство я Х» — его сопряженное.
Пусть ь», «~1,— злементы Х» н Е» — Е ц Х в»-слабом смысле. Пусть х — »х по норме. Всегда лн й„(х„) — ь(х)7 бб. Докажвте, что Х плотно в Х " в топологни п(Х ", Х'). 87. Пусть Т: С(Х) — » С(г) лвнейно. Говорят, что Т сохраняет положнтельность (нлн положительно), еслн Т)."э О, коль скоро Г)0.
Если Т положительно, мы пвпмм Т'Л»0. Есля Я вЂ” Т) О, то мы йвшем Т~Я. (а) Докажнте, что любое Т=вО автоматнческв непрерывно в что 11 Т~~~ - ~~ Т1((„.' (Ь) Пусть 5„— возрастающее семейство отображений. Докажвте, что 8„ сходвтся по операторной норме тогда в только тогда, когда 8»1 сходятся по функцнональной норме. 'О)О. Докажите первое предложенне б 1М. 2. р99. Найште банахово пространство я слабо сходящуюся направленность, которая не ограничена по норме. (40.
Пусть Х вЂ” бесконечномерное бапахово пространство со слабой топологней. Докажите, что замыкание едвннчной сферы есть едннячный шар. у41. Пусть Х вЂ компактн хаусдорфово простраяство. Докажнте, что множество сходящнхся бесконечных линейных комбннацвй точечных мер замкнуто по норме в »Ф(Х). 149. Дайте прямое доказательство теоремы 1т'.
19. »48. (а) Пусть Х вЂ” компактное множество со счетной базой. 11усть )ь — берова мера на Х. Дояажнте, что йг(Х, Фр) сепарабельно прн всех рсао. (Укязп«ие. Пусть А„— счетная бава топологии Х. Для всех «, ш, таких, вто А» П А,» м, найднте такне /»,® ц С(Х), что 7 0 на А„ я 1 1 на А, . Воспользуйтесь зтнмн у„, для Построения счетного платного множества в С(Х). Далее используйте то„что С(Х) плотно в Ег (Х. 4р).) (в) Распространите результат-пункта-(а) на тот случай; когда Х лншь локально компактно. (Уюиа«пш докажите, что Х п-компактво.) »44. Решвте любые пятьдесят задач нз книга Капля. Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
