Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда У'-слабая топология на Х (обозначается а (Х, У)) есть слабейшая топология на Х, в которой все функционалы нз Г непрерывны. !зз /У. То«оло«ич«ск««лрострак«таа Поскольку У, по предположению, разделяет точки, о(Х, У) есть хаусдорфова топология на Х. Например, слабая топология на Х есть о(Х, Х'), в то время как о(Х', Х) есть «-слабая топология на Х'. П рамер. «-слабую топологию на Ю (Х), где Х вЂ” компактное хаусдорфово пространство, часто называют грубой топологией.
Чтобы представить себе, насколько она слаба, покажем, что линейные комбинации точечных масс «-слабо плотны в «Ф (Х). В задаче 41 от читателя требуется показать, что на самом деле они даже замкнуты по норме. Предположим, что 1! — заданная мера. Следует показать, что каждая слабая окрестность р, содержит сумму точечных мер, или, иными словами, что если заданы 1„..., ~„и е, то можно найти такие а„..., а и р ф) — ~!АД(х~) <е при 1 1, ..., п. 1=! Действительно, тогда ~ч~~ и б„попадает в грубую окрестность Ф(~г,..., 1„, е)+р.
Без ограйичения общности можно предположить, что 1„..., 1 линейно независимы. Для каждого х рассмотрим вектор 1„=<~,(х), ..., ~ (х)> ~К'*. Если (1„» не порождают все !ч", то в !с" существует а = <а„..., а„> „-ь О, такой, что а 1,=0 для всех х, т. е. ~ а!)!!=О, что противоречит 'лик=! нейной независимости. Значит, 1 порождают все пространство й". Тогда можно найти такие х„..., х и а„..., а„, что л- <Р (1!) ° ° ° Р (1 ) > = Х а!1„,.
« Но при'атом р(~,) = ~ ссф(ху), что и доказывает утверждение. ! ! Топология о(Х', Х), разумеется, слабее, чем топология нормы на Х', так что все о(Х', Х)-непрерывные линейные функционалы лежат в Х". Однако, вообще говоря, не все функционалы из Х" «-слабо непрерывны на Х'; в самом деле, имеет место ФЪорнлга 1Р'.Л6.
Непрерывные в топологии о(Х, У) линейные функционалы на Х составляют в точности У; в частности, единственные «-слабо непрерывные функционалы на Х* суть злеКенты Х. Доказательство. Предположим, что ! есть о(Х, У)-непрерывный функционал на Х. Тогда (х~ ~1(х) (< 1).=з(х~~у!(х) [ < е; ! = 1, ..., и) для некоторого е и некоторых у„...,' у Е У.
Допу- Дояолноние к э УУ.б. Слабая и сильная иомеримоаиь !зз стим теперь, что ус(х) =О при 1=1, ..., п, Тогда ~1(е 'х) ~ < 1 для всех е > О, откуда следует, что 1(х) =О. В результате 1 поднимается до функционала 1 на Х/К, где К=(хаус(х) =О, ! = = 1, ..., и). Элементарные абстрактно-алгебраические рассуждения показывают, что у„..., у„порождают пространство, соя пряженное к Х1К. Значит, 1= ~ сс;ус, и, таким образом, с ! л 1 = ~ ос!у, Е У. ° ! ! И наконец, в заключение этого раздела мы приведем самый важный в нем результат, который представляет собой, пожалуй, наиболее существенное следствие теоремы Тихонова.
Теорема 1У.21 (теорема Банаха — Алаоглу). Пусть Х' — сопряженное некоторого банахова пространства Х, Тогда единичный шар в Х' компактен в о-слабой топологии. Доказссспельсспбо. Пусть Вк = ()с Е 61~ )с ~ (~~ х (Ц для всякою х Е Х. Каждое В„компактно, значит, по теореме Тихонова В= л Вя сх компактно в топологии произведения. Но что такое Вр Каждый элемент из В приписывает число Ь(х) ЕВ„всякому х из Х, т.
е. Ь есть функция нз Х в С, удовлетворяющая условию ~Ь(х)~ ~(~х)~. В частности, единичный шар (Х*)! есть подмножество в В, состоящее именно из тех Ь ЕВ, которые линейны. Что такое относительная топология, индуцированная в (Х'), топологией произведения в Вс Это в точности слабейнсая топология, в которой 1н 1(х) непрерывны при всяком х, т.
е. о-слабая топология. Итак, остается показать, что (Х')с замкнут в топологии произведения. Предположим, что 1 — направленность в (Х')„причем 1 1. Так как 11(х) 1:~)(х'б, то достаточно показать, что 1 линеен. Но это просто; если х, уЕ Х и )с, !се С, то 1(Лх+1су) =1пп1 ()сх+1су) =11ш()с1 (х)+!!1 (у)) = и а )с1(х) +Р1(у). ° ДОПОЛНЕНИИ К Б 1У.й. СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ В $ П.1 мы упоминали вкратце о векториозначивсх измеримых функциях, принимающих значения в бескоиечномерном гильбертовом пространстве 2~. Функция 1 была названа измеримой (см. задачу 12 гл. П), если (у, 1(.)) — комплекснозначная Л~. Товвлаеияеекие лроетрансвма измеримая функция для любого убМ. Это свойство можно назвать слабой измеримостью.
Другое естественное определение измеримости, а рпоп' более сильное,— зто требование, чтобы ~-' [С) было измеримо при любом открытом множестве Сс=Я'. Всюду в этой книвв, эоворя о векторнозначной измеримой функции, мы будем иметь в виду функцию, измеримую в слабом смысле. Однако, чтобы удовлетворить естественное любопытство читателя, мы здесь кратко остановимся на сравнении различных понятий измеримости векторнозначных функций.
Окредзмзмаз. Пусть 1 — функция на пространстве с мерой <М, р,Ю>, принимающая значения в банаховом пространстве Е. (() 1 называется сильно измеримой, если существует последовательность функций 1„, такая, что 1 (х) — 1(х) по норме при почти всех хб М, и всякая 1„ принимает только конечное число значений, причем каждое значение принимается на некотором множестве из Я. (И) 1 называется измеримой по Борелю, если ~-'[С~~Я для любого открытого С в Е (в топологии метрического пространства на Е). (Щ 1 называется слабо измеримой, если 1(1(х)) есть комплекснозначная измеримая функция при любом 1~Е". Гфздложзние. (а) Поточечный предел последовательности функций, измеримых по Борелю, есть функция, измеримая по Борелю.
(Ь) Пусть 1 — функция из М в Е. Если 1 сильно измерима, то она измерима по Борелю. (с) Пусть 1 — функция из М в Е. Если 1 измерима по Борелю, то она слабо измерима. Доказазгельство. (а) Пусть |„— 1 поточечно по норме. Пусть С— открытое множество в Е. Тогда 1(к) ЕС в том и только в том случае, когда существует такое н, что 1„(х)~С, коль скоро и) и. Значит; 1 '[С1 0 П 1 '[С1, л 1а)л и потому 1 измеримо по Борелю. (Ь) прямо следует из (а) и определений.
(с) Композиция борелевых функций сама борелева. ° Тзо1ззлиэ 1Р..2Р. Пусть Ж вЂ” сепарабельное гильбертово пространстно. Пусть 1 — функция из пространства с мерой <М, р, Я> в Я'. Тогда следукяцие три свойства эквивалентны: (а) 1 сильно измерима; (Ь) 1 измерима по Борелю; (с) 1 слабо измерима. !35 Дояазаагелзслгео. Вследствие последнего предложения нужно только показать, что (а) следует из (с).
Пусть 1ф„)",— ортонормированный базис в уб. Пусть а„= (ф„, 1(х)). Каждое а„есть комплекснозначная измеримая функция. Легко построить конечнозначные а„,„(х), такие, что !а„,„(х)~<~а (х)~ при всех х и 1!п! а,„(х) =а„(х) при всех хеХ.Положим 1«= ~ а„,«(х)ф .
м-~ ы а 1 Тогда 1«конечнозначна и 1«1 по норме, так что 1 сильно измерима. ° Прн.не1р. Пусть С,— экземпляр множества комплексных чисел С, и пусть тб = ® С„т. е. Ж состоит нз функций ф на И, от«ея личных от нуля лишь в счетном числе точек 1 и таких, что .г« ~ф(1)1«< со. Пусть ~р«задано формулой г«а 1, если С=з, 'р«(1) = О в противном случае. Тогда (~р«)„п — ортонормнрованный базис в уб. Пусть 1: И вЂ” Ж определейо равенством 1(з) = <р,. Для всякой ф б,Рб имеем («р, 1(з)) = О, за исключением счетного множества, так что (ф, 1(з)) измерима. Значит, 1(з) слабо измерима. Но 1 не является сильно измеримой.
В самом деле, если 1=11ш1„поточечно по норме, то 1сап~~ (11чап1„. Но если бы каждая 1„была конечно- значной, то Капу должно было бы быть сепарабельным, а зто не так. ЗАМЕЧАНИЯ 6 1У.1. Чятателю, который захочет глубже пропихнуть в область общей теоретихо-мяожественной топологяи, мы очень реномендуем хинту: Дж.
Нелла, Общая топология, «Науиа», М., 1968. Лучше всего чятать эту книгу, решая все задача; иовечно, зто отнимает мяого времена, но есля чятатель может это время потратить, его усиляя будут возяаграждены. Из других курсов, опясывающвх иаи элементарные, таи в более сложные топологячесние понятая, яазовем следующее: К. Куратовсняй, Топология, т. 1, «Мяр», М., 1966; %. Рет«1п, Ронпданопз о1 Оспе«а! Торо!оку, Асабеш1с Ргезз, Нет«г'ого, 1964; й!. Тьгоп, Торо!ой!са! 61«нс1пгез, Ной, Ншт «'ог!«, 1966. Само пояатве топологячесхях пространств выросло из работ Фреше я Хзусдорфа.
Классифинапва пространств но типам Т,— Т, восходят и Алеясавдрову и Хопфу: Р. А1ехапбго11, Н. Нор1, Торо!ой1е 1, Вегип, 1936. Понятна последовательности Коши нельзя рзспространйть яа произвольные топологичесияе простраяства. Однаио можно добавить к топологической структуре еще некую «равномерную струхтуру» и получить тогда пространства, в которых последовательность Ковш я поляота имеют смысл.
Обычно подразумевается, что оирестности х опвсывают блиаость х х. Чтобы иметь понатяе «близости и х», равномерное по к, требуегса семейство Ч! подножеств Ххх, каждое из иогорых. содержит множество ь=(<х, х>1хчх). следует гг'. Топавогичггкие проащюпспма еше нзложнть нз 04 условня, которые обесыечат, чтобы 4(х=(Ух(Уцеэ», где У =(у! <х, у>~У», била снстемой окрестностей для некоторой топология. )<аноннческнй прнмер состоит в том, чтобы выбрать в кзчестве а семейство всех множеств в Х>< Х, содержзщнх множество внда ( <х, у> ! р (х, у) < е), где р — некоторая метрика. Еслн б есть топологнческзя группа (в честности, еслы 0 — топологнчесное векторное пространство), то существует также естественная однородная структура, задаваемая семейством 44 (Ун(НЕт)», где.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
