Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Т,» Т,-эт,» Т,. Отметим, что наиболее важны понятия хаусдорфова и нормального пространства. Мы не станем пока обсуждать другой способ разделения множеств при помощи непрерывных функций. К эточу вопросу относится лемма Урысона (теорема 1Ч.7). Р с мотрим теперь различные критерии счетносги. Оаределенае. (1) Топологнческое пространство 8 сепарабельио, если оно имеет счетное плотное множество. (й) Говорят, что топологическое пространство 8 удовлетворяет первой аксиоме счетностп, если всякая точка х ~3 имеет счетную базу окрестностей.
(В1) Говорят, что топологическое пространство 8 удовлетворяет второй аксиоме счетности, если 8 имеет счетную базу топологии; Связь между этими топологическими понятиями и свойствами метрических пространств устанавливается в следующем элементарном предложении. 2. Нов роооснносош о ссооимссов Лредложемие. (а) Всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. (Ь) МетрическЬе пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности тогда н только тогда, когда оно сепарабельно.
(с) Всякое топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетностн, сепарабельно. Предостережение. Существуют сепарабельные пространства, не удовлетворяющие второй аксиоме счетности (см. задачу 7). Чтобы вконец запутать все дело, некоторые авторы под сепарабельностью понимают выполнение второй аксиомы счетности. У нас всегда сеиарабельность означает с'уществование счетном плотного множества.
Геометрическая идея связности имеет свою топологическую формулировку: Определение. Топологическое пространство 8 называется несвязным, если оно содержит непустое собственное подмножество С, которое одновременно открыто и замкнуто. Эквивалентная формулировка: 8 несвязно, если оно может быть представлено как объединение двух непересекающихся непустых замкнутых множеств. Если 8 не является несвязным, оно называется связным. Мы разберем понятие связности в задачах 3 и 6.
Наконец, рассмотрим еще одно топологическое понятие — сужение топологяи на подмножество. Олределемие. Пусть <8,,р ) — топологическое пространство, и пусть А с= 8. Индуцярованная(относительная) топологяя на А есть семейство множеств: Ф в (ОП'А ~ОЕ,К'). Подмножество В-с= А называется открытым в яндуцироваиной топологии, если В К ву в, я замкнутым в яндуцированной топологии, если А' В б 4Г,, !Ч.?. Направленности и екодимость В этом разделе мы рассмотрим новый объект, называемый направленностью, который нужен для того, чтобы оперировать предельными переходами в общих топологических пространствах.
Хотя, на первый взгляд, понятие направленности кажется весьма замысловатым, предложения этого раздела покажут, насколько оно на самом деле естественно. Определение. Направленное множество есть множество индексов 1 с упорядочением (,. удовлетворяющим следующим требованиям: (!) если а, р ~ 1, то. существует такое у Е1, что 7>сс и у) р; (И) ( есть частичное упорядочение. 1У. Тоис.имииссиис исссюисаисими Определение. Направленность в топологическом пространстве 8 есть отображение из направленного множества 1 в 8; будем ОбОзначать ее символом (ха)исг Если в качестве направленного множества мы возьмем натуральные числа в естественном порядке, то направленностями будут просто последовательности в 8, так что направленность есть обобщение понятия последовательности.
Если Р (сс) †предложение, зависящее от индекса а из направленного множества 1, то мы говорим, что Р(а) в конце концов ястянно, если в 1 существует такое (), что Р (а) истинно при а)~). Мы говорим, что Р (и) часто яствнно, если относительно него нельзя утверждать, что оно в конце концов ложно, т. е. если при любом р существует такое а > ~, что Р (гс) истинно.
Оаределемае. Говорят, что направленность (х„)„,г в топологическом пространстве 5 сходится к. точке ХЕ Я (й пишут х„— х), если для любой окрестности Ф точки х существует такое р б 1, .что Х„Е М, коль скоро сс ) ~. Итак, х„— х тогда и только тогда, когда х„в конце концов попадает в любую окрестность х; Если х„часто йопадает в любую окрестность х,'то х называют точкой накопленяя, или обобщенной предельной точкой направленности (х ). Заметим, что понятия предела и точки накопления Обобщают те же понятия для последовательности в метрическом пространстве.
Теорема Л1.1. Пусть А — множество в топологическом пространстве 5. Тогда точка х принадлежит замыканию А в том и лишь в том случае, если существует такая направленность (х„,)и,г, чтО хиЕА и хи-~х, Доказшиельсглао. Заметим прежде всего, что А есть как раз такое множество точек х, что каждая окрестность х'содержит точку из А. 'Это множество заведомо содержит А, и его дополнение есть наибольшее открытое множество, не содержащее ни одной точки из А.
Допустим далее, что х„- х, причем каждое Х„ЕА. Тогда каждая, окрестность точки х содержит какие-либо х„.и, значит, какие-либо точки из А, т. е. х есть предельная точка А и, таким образом, х Е Х. Обратно, допустим, чтох Е А. Пусть / †систе окрестностей х с упорядочением Л1, ( У„ если У,~= У,. Для каждого л1б 1 пусть хх — точка, принадлежащая А() М.
Тогда (хафи,г есть направленность и хр, х. ° В пространствах, удовлетворякзцих первой аксиоме счетности, можно строить замыкания множеств, пользуясь лишь последовательностями, Таково положение в метрических пространствах. 2. Налраемнмосты а схадимаслв На следующем примере мы убедимея, что в более общем случае одними последовательностями ие обойтись. 'Пример. Пусть 8 =[0, 1], и пусть непустыми открытыми множествами будут те подмножества отрезка [О, 1], дополнения которых содержат не более чем счетное множество точек. Пусть А = [О, 1). Тогда А 8, так как (1» — не открытое множество.
Пусть теперь (х„»„",— любая последовательность точек из [О, 1). Она не может сходиться к 1, так как дополнение к (х,»„", есть открытое множество, содержащее 1. Хотя этот пример кажется искусственным, ио пространства, не удовлетворяющие первой аксиоме счетности, играют важную роль в функциональном-анализе. Обычно они появляются, когда рассматривают сопряженные банаховых пространств с топологией, более слабой, чем определяемая нормой (2 1Ч.5).
Яюрмулируем два результата о направленностях, доказа-- тельства которых не трудны, и мы их оставим в качестве задач: Теорема УКй (а) Функция ( нз топологического пространства 8 в топологическое пространство Т, непрерывна в том и только в том случае, если для любой сходящейся направленности ' (ха»и~г В Я~ такой, что ха-~ х,'направленность (Д(хд)»д~г схо-. дится.в Т к 1(х). (Ь) Пусть 8 — хаусдорфово пространство.
Тогда направленность (х,ф„у в 8 имеет не более чем один предел, т. е. если х — х и х — у, то х=у. Понятие, аналогичное подпоследовательности, можно ввести следующим образбм Оиределенне. Направленность (х„»„, г называется поднаиравлениостью направленности (уа»а,,г, если существует функция Р: 1- 1 с такими свойствами: (1) хв ур<~> для каждого а~/; (й) для' всякого р'~с,( существует такое а'Е1', что из а~а' следует Р(а))~' (т. е. Р(а) в конце концов больше любого фиксированного р б (). Следующее простое предложение показывает, что приведенное определение разумно: Предложение. Точка х в топологическом пространстве 8 есть точка накопления направленности (х„»,тогда и только тогда, когда какая-либо поднаправленность направленности (х„» сходится к х.
Разумеется, подпоследовательности суть ' поднаправленности последовательностей. Однако может случиться, что последова- Л . Топологичвсхие лроаврамсэаи тельность в топологическом пространстве не имеет сходящихся подпоследовательностей, но имеет сходящиеся поднаправленности (см. задачу 12). !У.З. Компактность Читатель, несомненно, помнит, какую роль в элементарном анализе играют замкнутые ограниченные подмножества К'.
В этом разделе мы рассмотрим топологическую абстракцию этого понятия. Олределегаае. Говорят, что топологическое пространство <8, .У ) компактно, если любое открытое покрытие 8 имеет конечное подпокрытие, т. е. если для любого семейства % ~ й", такого, что 8 () У, существует конечное подмножество (У„...., У„) с=Я Уев со свойством 8= () Уь Подмножество в топологическом прок в странстве называется компактным множеством, если оно является компактным пространством в относительной топологии.
Всюду далее мы всегда будем считать, что все компактные пространства хаусдорфовы, хотя время от времени будем специально напоминать об этом условии Поскольку нам предстоит изложить довольно обширный материал, полезно, пожалуй, коротко сказать о содержании двух следующих разделов. После рассмотрения некоторых эквивалентных формулировок свойства компактности и кое-каких элементарйык свбйств компактйых пространств мы обратимся к нескольким центральным столпам функционального анализа.
Сначала сформулируем и обсудим теорему Тихонова. Потом перейдем к изучению непрерывных функций на компактных множествах. Убедившись, что компактное хаусдорфово пространство Х обладает богатым запасом непрерывных функций (лемма Урысона), мы исследуем банахово пространство С(Х) непрерывных функций на Х, Мы сформулируем теорему Стоуна — Вейерштрасса, а.ее весьма поучительное доказательство.дадим в дополнении к этому разделу. В следующем разделе будет определено сопряженное к С(Х) пространство, С помощью теоремы Рисса — Маркова мы докажем, что С(Х)' совпадает с аФ(Х) — семейством не знакоопределенных мер йа Х. Сначала сформулируем по-другому определение компактности, взяв дополнения к открытым множествам.
Определение. Говорят, что топологнческое пространство 3 обладает свойством цеитрированности, если любое семейство К Ю. Кссмссассасссмсссь замкнутых множеств в Я, такое, что П Рс ~ Я для любого конечс=! ного подсемейства 1Р11," ! с= К, УдовлетвоРЯет Условию В Р~ И.. гся Предложессссе (критерий центрнрованности). 8 компактно тогда и только тогда, когда 8 обладает свойством центрированности. Доссссзаслельсслао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
