Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Одним нз основных средств 'для второго шага оказывается следующая теорема (ее варианты появятся еще в 5 Ч.1 н в гл. ХЧ1). Теорема Ш % (теорема Хана — Банаха). Пусть Х вЂ” вещественное векторное пространство, р — вещественнозначная функция, определенная на Х н удовлетворяющая условию р (ах+(1 — а) у) ~ «~ар(х)+(1 — а) р(у) для всех х, у нз Х н а~(0, Ц. Предположим, что Х вЂ” линейный функционал, определенный на подпространстве Ус Х н удовлетворяющий неравенству Х (х) (р (х) для всех х~У. Тогда существует линейный функционал Л, определенный на Х, такой, что Л (х) е~ р (х) для всех х ~ Х н Л (х)=Х (х) для всех х~ У.
Доказательапао. Идея доказательства состоит в следукицем. Сначала покажем, что если г~ Х, но гфУ, то А можно продолжить на пространство, натянутое на г н У. Л потом воспользуемся рассуждением по лемме Цорна н покажем, что подобный процесс позволяет продолжить Х на все пространство Х. Пусть У вЂ” подпространство, натянутое на У и г. Продолжение А на У (обозначим его Х) будет описано, коль скоро мы определим А(г), так как м (аг+ у) = аХ (г) + Х (у).
Пусть у,, у,~У; а, () ) О. Тогда рА (у ) + аХ (у,) Х фу, + ауе) = (а+ ))) Х ( —" у, + — ~у,) <(а+1))р ~-+р(у,— аг)+ + (у +()г)) е ())р (у, — аг) + ар (у, +)Вг). /П. Банахавк леосецьаиелма Значит, для всех а, 5 > 0 н у,, у,б У вЂ” „'[ — р(у,— )+Х(у,)1< фр(у,+Ре) — д(у,Л. Поэтому можно найти такое вещественное а, что зпр [ — ( — р (у — аг) + Х (у))~( а ( (п1 [ — (р (у + аг) — Х (у)) ~ .
ДИЕТ еег а>0 а>О Положим теперь ь(г) =а. Легко видеть, что полученное продолжение удовлетворяет неравенству ь (х) ( р (х) при всех х ~ У. Итак, мы показали, что Х за один шаг может быть продолжен на одно измерение. Проведем теперь рассуждение по лемме Цорна. Пусть 8— набор расширений е функционала Х, удовлетворяющих условию е(х)(р(х) на тех подпространствах, гдеони определены.
Введем в б частичное упорядочение, положив е,<е„если е, определено на ббльшем множестве, чем е,, и е,(х) е,(х) там, где оба они определены. Пусть (е )е,л — линейно упорядоченное подмножество в 8; пусть Х вЂ” то подпространство, на котором определено е„. Определим е иа 0 Х, положив е(х)=ее(х), если юбл х~ Х . Очевидно, е (е, так что всякое линейно упорядоченное подмножество в ег имеет верхнюю грань. В силу леммы Цориа,. еу содержит максимальный элемент Л, определенный на некотором множестве Х' и удовлетворяющий условию Л (х) р (х) при х ~ Х'.
Но Х' должно совпадать со всем Х, так как в противном случае мы могли бы продолжить Л на более широкое пространство, добавляя, как и выше, еще одно измерение. Поскольку это противоречит максимальности Л, должно быть Х = Х'.-Значит, расширение Л определено всюду. ° В только что доказанной теореме Х вЂ” вещественное 'векторное: пространство. Распространим теперь ее на случай комплексного Х. Теорема И!.б (теорема Хана — Банаха для комплексногослучая). Пусть Х вЂ” комплексное векторное пространство, р — вещественнозначная функция, определенная на Х и удовлетворяющая условию р(ах+ру)(~а[р(х)+й)~р(у) для всех х, убХ и таких а, р ~ С, что ~а~+~(11= 1.
Пусть Х вЂ” комплексный линейный функционал, определенный на подпространстве Ус=Х и удовлетворяющий условию ~Х(х)1(р(х) при всех х~У. Тогда существует комплексно линейный функционал Л, определенный на Х, удов летворяющий условию ~Л(х)~ч,:;р(х) при всех х ~ Х н такой, что Л(х)=Х(х) для всех х~'г. Доказательство. Положим С (х) Ве (Х (х)); тогда С вЂ” вещественно линейный функционал на У, и, поскольку С (Сх) = Йе (Х (Сх)) = йе (СЛ (х)) = — 1ш Х (х), о. Теорема Хана — панаса мы видим, что А(х) 1(х) — 11(Ех). Так как 1 вещественно линеек и р(ах+(1 — а) у) < ар(х)+(1 — а) р(у) при ас 10, 1], то Е имеет линейное расширение Е. на все Х, удовлетворяющее условию Е. (х) ( р(х) (по теореме П1.5).
Положим Л(х) = Е. (х) — ЕЕ. (Ех). Очевидно, что Л есть вещественно линейное расширение ь. Далее, Л (Ех) = 1. (Ех) — ЕЕ. ( — х) = ЕЛ (х), так что Л и комплексно лннеен. Остается только показать, что )Л(х)!~( р(х). Заметим сначала, что р(ссх)= р(х), если (а! =1. Положим теперь О=Агд(Л(х)) и воспользуемся тем, что КеЛ= 1.; мы увидим, что !Л(х)!=,е-'эЛ(х)=Л(е-'эх)=1,(е-сэх) (р(е-'эх)=р(х).
° Следевэвае 1. Пусть Х вЂ” нормированное линейное пространство, У вЂ” его надпространство н Š— элемент У'. Тогда существует функционал Л б Х', продолжающий ь и удовлетворяющий условию Л !!х» !! и !!у», ДоказсинельаФео. Выберем р(х)= !!Л !!~ ° !!х!! и применим предыду- щие теоремы. ° Следенэвае 2. Пусть у — элемент нормированного линейного про- странства Х. Тогда существует ненулевой Л~Х», такой, что Л(у)= !!Л!!х. !!у!!. Докааииельстео. Пусть У вЂ” подпространство, состоящее из про- изведений у на любые скаляры; положим й(ау)=а!!у!!.
Поль- зуясь следствием 1, можно построить Л с нормой (!Л!!= !!Е»)!, расширив А на все Х. Но, поскольку Л(у)=!!у!!, !!Л!!=1 и, следовательно, Л(у)=!!Л!!х !!у!! ° Следенэвие 3. Пусть У,— подпространство нормированного линейного пространства Х, и пусть у — элемент Х, расстояние которого от е, равно сЕ. Тогда существует такой ЛЕХ», что ((Л!!.-=1, Л(у) =б и Л(г) =0 для всех г в Е.
Доказательство этого следствия предоставляется читателю (задача 10). Чтобы убедиться, насколько полезны эти следствия, докажем следующую общую теорему. Теорема !П.7. Пусть Х вЂ” банахово пространство. Если Х' сепарабельно, то Х также сепарабельно. Доказательснмо. Пусть (А,Š— плотное множество в Х'. Выберем х„ЕХ, !!х„!!=1 так, чтобы было ! ь„(х„)!) !! Л„!! 2. Пусть Ю вЂ” множество всех конечных линейных комбинаций (х„) с рациональными коэффициентами. Поскольку Ю счетно, достаточно показать, что Ю плотно в Х.
Если Ю не плотно в Х, то П1. Ба«ах««ы щюаааа«а«ма существуют элемент у б Х~,Ю и линейный функннонал Л б Х', такие, что Л (у) ча О, но Л (х) = 0 для всех х б 40 (следствие 3), Пусть (Л„„) — подпоследовательность (Л,), сходящаяся к Л. Тогда !! Л вЂ” Л„«!!х ! (Л вЂ” Л„«) (х„«) ! = Л «(х «) ! >~ !! Л «!! /й откуда следует, что!!Л„)! 0 при й- ао. Значит, Л=0, и мы пришли к противоречию. Следовательно, 40 плотно и Х сепарабельно. ° Пример пространств 1, и 1„показывает, что обратная теорема не имеет места. Между прочим, теорема 1П.7 позволяет доказать, что 1, не является сопряженным к 1„, так как 1, сепарабельно, а 1 нег. 1П.4. Операции иал банахоаымн иростраистаамн Мы уже познакомились с несколькими способами, при помощи которых из данных банаховых пространств можно строить новые, Последовательные сопряженные банаховых пространств суть банаховы пространства, и ограниченные операторы из одного банахова пространства в другое образуют банахово пространство.
Далее, любое замкнутое подпространство банахова пространства есть также банахово пространство. Есть еще два других способа построения новых банаховых пространств, кпторые нам потребуются: переход к прямым суммам и факторпространствам. Пусть А †некотор множество индексов (не обязательно счетное), и пусть Ха при каждом аб А — банахово пространство. Положим Х ((Ха)а«А!ХабХа, ~~~г !!Ха!!Х (аа~ а«А а Тогда Х с нормой !!(.) !!- Х !!..!!.
есть банахово пространство. Оно называется прямой суммой пространств Ха и часто записывается в виде Х Я Х„. Отметим, а«А что гильбертова прямая сумма и банахова прямая сумма пространств не обязательно совпадают. Так, если мы возьмем счетное число экземпляров С, то прямой суммой банаховых пространств будет 1„ а гнльбертовых — 1,. Однако если мы возьмем конечное число гильбертовых пространств, то их прямые суммы 4. Оаераяии «ад 6аааеаеиии ареетраиетеаии как гнлъбертовых пространств н как банаховых пространств нзоморфны в смысле 5 1П.1. Пусть М вЂ” замкнутое линейное подпространство банахова пространства Х.
Будь Х гнльбертовым пространством, мы могли бы писать Х=М®М~-. Мы сейчас введем'банахово пространство, которое иногда может играть роль Мх в случае банаховых пространств, где нет ортогональностн. Если х н у — элементы Х, будем считать, что х у, когда х — у Е М. Тем самым определено отношение эквивалентности; обозначим множество классов через Х1М.
Как обычно, класс эквивалентности, содержащий х, обозначается [х|. Определим сложение н умножение на скаляр для классов эквивалентности: а [х1+ 11 [у| = [ах+ ру1. Это определение корректно, так как класс в правой частн зависит лишь от классов, нз которых взяты х н у, а не от самих этих элементов. С такими операциями Х/М становится комплексным векторным пространством (класс М есть нулевой элемент). Теперь положим 1~ [х| ~~, (п1 '3' х — т 3х. еВеМ Нетрудно показать, что ~~'~~,— норма в Х/М. Из ~~[хи~=О следует [х) =О, так как М замкнуто. С помощью теоремы 111.3 покажем, что Х/М с такой нормой полно. Пусть ([х„Д,",— абсолютносуммнруемая последовательность в Х1М, т.е. В ~ч~', 1п1 ~~х,— ш~~ (оо„ а=| тем Для всякого и выберем ш„~ М так, что ~~х — я„~~<~2 1п1 [1хе — ш~~. тем Тогда (х„— и„) абсолютно суммнруема в Х.
Поскольку Х полно, (х„— т„) суммнруема. Пусть у=!пп,К (х„— ш„). У ьа е=1 Тогда ~~~, '[х,1 — [у| ( ~.", х„— у — ~~~, 'ш„- О прн У- оо. Это доказывает, что 1[х„Д суммируема. Опять применяя теорему 111.3, заключаем, что Х1М полно. Оно называется фактор- П(. Баиаиоии иаасгиааиаииа пространством Х по М. Читатель сам разберется в деталях следующего простого примера. Пример. Пусть Х=С(0, 11 и М=(('~7(0)=0). Тогда Х(М=С. П1.$.'Теорема Бара о категории н ае следствия При изучении банаховых пространств часто приходится доказывать, что некоторые множества имеют непустые множества внутренних точек. Вот пример: Предложение.
Пусть Х и У вЂ нормированн линейные пространства. Тогда линейное отображение Т: Х У ограничено в том и лишь в том случае, если множество Т- Г(р! !!В!~„»1Ц имеет внутренние точки. Доказоомльство. Предположим, что Т дано и что интересующее нас множество содержит шар (х ~ Й х — х,!!х» е). Тогда из 11х~! < е следует, что И Тх $1»« ~~ Т (х + х ) и + й Тх, й «» 1 + й Тх, и', так как х+х, содержится в шаре радиуса е вокруг точки х,. Значит, для всех хЕХ ~1 Тх~~ » и-'(~~ Тх, ~~+1) ~~х~~ и, следовательно, Т ограничено.
Обратное доказывается совсем просто. ° Итак, очень важно знать, когда множество внутренних точек не пусто.' На зтот счет для полных метрических пространств существует весьма замечательная теорема, Но сначала введем следующее определение. Онределенне. Множество 3 в метрическом пространстве М называется нигде не плотным, если его замыкание Т не имеет внутренних точек. Теорема 1И.В (теорема Бара о категории). Полное метрическое пространство не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
