Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Докозаомаьоимо. Идея доказательства проста. Предположим, что Ю М вЂ” полное метрическое пространство и что М= 0 А, причем л 1 о. Теорема огра о категории и гл олеоотеил каждое Ал нигде не плотно. Затем построим такую последова- тельность Коши (х„), которая не попадает ни в одно из Ал, так что и ее предельная точка х (которая лежит в М в силу полйоты) не попадает ни в одно Ал. Но это находится в противоречии с утверждением М= 0 Ал. л=! Поскольку А, нигде не плотно, мы можем найти х, ( А,. Возь- мем открытый шар В, вокруг х„такой, что В П А, = Я и радиус В, меньше единицы. Так как А, нигде не плотно, можно найти х,бВ! А,.
Пусть В,— открытый шар с центром в х„такой, что Во~В„В, П А,= ~' и радиус В, меньше г(э. Продолжая по индукции, выберем х„~В„;А„и,открытый шар Вл с центром в хл, такой, что В„с= Вл „Вл П Ал = Я и радиус Вл меньше 2' .". Тогда «х„)„" ! есть последовательность Коши, так как из лг, п > У следует, что хл, х„бВи и, значит, р(хл, х ) =2!-'~+2! — эг=2о — э! — О.
Пусть х=)ппхл. Так как х„'ЕВ„при п~)Ф, то л-л л х ~ Ва,сВм, Значит, х(Аг, ! при любом У, что противоречит условию М Ф 0Ал.$ л=! Ю Теорема Бэра говорит о- том, что если М= 0 А„то некотол=! рые из множеств Ал должны иметь внутренние точки. Практически редко приходится пользоваться прямо этой теоремой. Обычно пользуются одним из ее следствий. Первое из них известно под именем теоремы Банаха — Штейнгауза или принципа равномерной ограниченности. Теорема Иг.9 (принцип равномерной ограниченности).
Пусть Х вЂ” банаково пространство. Пусть У вЂ семейст ограниченных линейных преобразований. из Х в какое-либо нормированное ли- нейное пространство У, Допустим, что для всякого хчХ мно- жества Я Тх~~г ~ Т~й!) ограничены. Тогда (~~ ТЦ ! ТйЕ) огра- ничено. Докалиэпельсгпво. Пусть Вл=(х ~ ~!Тх$~~и и при всех ТбК). По предположению каждый х принадлежит некоторому В и, значит, Х = 0 Вл. Более того, 'каждое Вл замкнуто (так как каждое Т л=! непрерывно).
По теореме Бара о категкэрии какое-либо Вл имеет внутренние точки. С помощью тех же рассуждений, что и в пред- л эа гез !1!. Баяаловю лсаатраисмеа . ложенни в начале этого раздела, заключаем, что все ~~ Т~~ равно; мерно ограничены. ° В качестве типичного применения этой' теоремы приведем такое следствие (см.
также задачу 13): Следствие. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, и пусть В(, ) — билинейное отображение из ХхУ в С, непрерывное по. каждой переменной в отдельности, т. е. В(х, ) для любого фикси-' рованного х и, В(, у) для любого фиксированного у есть огра- ниченное линейное преобразование. Тогда В (, ) непрерывно по совокупности переменных, т.е. если х„ - 0 и у - О, то В(х„, у„) — О. Дохаеательсамо.
Пусть Т„(у) =В(х, у). Так как В(х, .) непре- рывно, то всякое Т ограничено. Так как х„О и В(, у) огра- ничено, (~~ Т„(у) ~~) ограничено при всяком фиксированном у. Следовательно, существует такое 'С, что ~~Т„(у) ~~я;,С1~у~! при всех и. Значит, ~~В(х„, у„) ~(=(~'Т„(у )~~(С(~у„~~- 0 при. п — ао.
° Заметим, что даже в К* для нелинейных функций из непре- рывности по каждой переменной не следует непрерывность по двум переменным. Стандартный пример: г(х, у) = †,"",, если (х, у> чь <О, 0>, ).(О; 6) = 0; Второе применение теоремы Вара о категории приводит к сле-. дующей группе результатов. Теорема. Ш.Ю (теорема об открытом отображении). Пусть Т: Х 'У вЂ ограниченн линейное преобразование одного ба- нахова пространства Х яа другое банахово.пространство У.
Тогда если лт — открытое множество в Х, то Т[М1 открыто в У. Докалплмльслио. Сделаем ряд замечаний, которые упростят дока- зательство. Надо показать только, что для всякой окрестности М точки х множество Т[М) есть окрестность Т(х). Так как Т[х+М)=Т(х)+Т[М), то достаточно показать это лишь для х=О. Поскольку окрестности содержат шары, достаточно пока- зать, что Т[Вх|лВ~, для некоторого г', где В," =(хЕ Х ) )~х~~ < г).
Однако так как. Т[Вх)=гТ[В~~, нужно только показать, что Т[ВЯ есть окрестность.нуля при некотором г. Наконец, прини- о. Теорема Бора о ииоииории и ее аеедеидеии 99 мая во внимание метод сдвига, использованный в доказательстве предложения, достаточно показать, что Т(Вх1 имеет внутренние точки при некотором г. Поскольку Т сюръективно, У'= 0 Т~В 1 и какое-либо Т (В„"1 имеет' непустую внутренность. Теперь начинается трудная работа, так как нам нужно, чтобы Т(В д1нмело непустую внутренность. При помощи растяжения и сдвига можно добиться того, чтобы В, содержалось в Т~В~; мы покажем, что Т(Вд)с=Т'1Вд], и тем самым завершим доказательство.
Пусть у~Т~ВД. Выберем хд~Вд так,.чтобы у — Тхд~Вме< ~Т[В,л). Выберем теперь х, Е Вы, так, чтобы р — Тх,— Тх, ~ Веы. По индукции выберем х„Е Вод так, чтобы л у — ~~~, Тх1 ЯВе~е -ь 1 ! Тогда х ~ хд существует и лежит в В, и д д О у= ~~.'~ Тхд=Тх. д=д Значит, у~Т(В1. ° Теорема П1.11 (теорема об обратном отображении).
Непрерыв-' ная биекция одного банахова пространства на другое имеет непрерывное обратное. Доказадпееьсдпео. Поскольку Т открыто, Т-' непрерывно. ° Задача 19 дает пример применения этого результата. Одэределемие. Пусть Т вЂ” отображение нормированного линейного пространства Х в нормированное линейное пространство У. График Т, 'обозначаемый через Г(Т), определяется как Г(Т) =(<х, у> ~ <х, у> Е Х< У, у= Тх), Теорема 111.12 (теорема о замкнутом графике). Пусть Х и У— банаховы пространства и Т вЂ” линейное отображение Л в У. В этом случае Т ограничено тогда и только тогда, когда график Т замкнут. Дасазадпельслмо.
Допустим, что Г (Т) замкнут. Тогда, поскольку Т. линейно, Г (Т) есть подпространство банахова пространства Х®У 4~ 100 Ш. Банаховм щвсерансииа и, следовательно, является банаховым пространством с нормой )!<х, Тх> ~)=~)х)~+~!Тх$~. Рассмотрим непрерывные отображения П,: <х, Тх> — х, П,: <х, Тх> — Тх; Пг — биекция, и, значит, по теореме об обратном отображении. П непрерывно.
Но Т=П, о П, так что Т непрерывно. Доказательство обратного тривиально. ° Во избежание путаницы в дальнейшем подчеркнем, что в этой теореме неявно предполагается, что Т определено на всем Х. Позже мы будем иметь дело с преобразованиями, определенными на алгебраических подпространствах в Х (а не на всем Х); такие пре9бразовання могут иметь замкнутый график, не будучи непрерывными. Чтобы оценить, что реально может дать теорема'о замкну-' том графике, рассмотрим такие три утверждения: (а) х„сходится к некоторому х; (Ь) Тх„сходится к некоторому у; (с) Тх=у.
А рНоп', чтобы доказать непрерывность Т, следует показать, что из (а) следуют (Ь) и (с). Если же воспользоваться теоремой о замкнутом графике, то достаточно доказать, что из (а) и (Ь) следует (с). Еще одно следствие теоремы о замкнутом графике позволяет сделать важные для математической физики выводы. Следствие (теорема Хеллингера — Теплица).
Пусть А — всюду определенный оператор, на гильбертовом пространстве М! причем (х, Ау)=(Ах, у) для всех х, у из Ж Тогда А ограничен. Дохазательсглво. Докажем, что график Г(А) замкнут. Предположим, что <х„', Ах >- <х, у>. Достаточно доказать,что <х, у> Е Г(А), т.е. что у=Ах. Но для любого гЕМ (з, у) Ит (г, Ах„) =!(ш(Аз, х„) =(Аг, х) =(г, Ах). П ~" Ф Л ->Ф Следовательно, у=Ах и Г(А) замкнут. ° Как мы увидим, эта теорема причиняет массу технических осложнений, так как в квантовой механике есть операторы (подобные энергии), которые не ограничены, но должны в каком- нибудь смысле удовлетворять условию (х, Ау)=(Ах, у). Теорема Хеллиигера — Теплица утверждает, что эти операторы не могут быть определены всюду, Значит, они определены на подпространствах 0 (А) пространства Ж, и поэтому часто бывает 191 трудно сказать, что такое А+В или АВ.
Например, А+В а рпог! определено только иа области 0 (А) Пх)(В), которая может оказаться равной (О) даже в том случае, когдаЪ(А) и.0 (В) плотны. Мы вернемся к этим вопросам в гл. УП1 и Х. ЗАМЕЧАВИ Я 5 111;1. Банахозы пространства наэзайы. так з честь С. Банаха, который в течение 20-х. годов превел важные всследования нормированных лвнейных пространств, зазершенвем которых яввлась его книга: 5. Вапась! ТЬйог!е без ореганэпз .!!пйе!гез, Мопойга(!е Ма!., 1, Фагзхачга, 1932 '). Хорошим элементарным учебником по матервалу этой главы является кинга: А.
Рпебшап. Ровпданопз оГ Мобегп Апа1уэ!з, Нон, Нетг Тогй, 1970: Теорема 1!1.1 там доказана подробно, за исключением части (с), которая доказана лишь для г=1. Чтобы доказать общий случай, когда р-г+з-~=г-~, заметим, что ! 15!г=!11г! й!г в воспользуемся неравенством Гельдера для специального случая 1 1 — + — =1; (Р1г) (41г) получим (~ гэ(г)гю (~ е1г г1е вли Пусть Х вЂ” банахово пространство. Прв взученнн банахова пространства .В(Х, Х) операторов вз Х в само Х можно использовать тот факт, что оно представляет собой з то же время алгебру. Тогда для исследования его структуры можно применять такие алгебраяческве понятия, как идеалы в коммутаторы. Некоторые важные идеалы алгебры,о (Яб.
Я'), где уб — сепарабельное гильбертово пространство, взучаются з 5 У1.6. Общая теорвя операторных алгебр в ее применения вэучаюгся в следующих томах. ф 111.2. Доказательство того, что ((.Г)ч=уг, можно найти в кинге Ройдена (см. замечанвя я гл. 1), а можно доказать это непосредственно, пользуясь понятием равномерно выпуклого пространства (см. задачи 25 в 26 гл. ГН и задачу 15 гл.
11). В $ У1.6 обсуждаются сопряженные некоторых подалгебр алгебры Л'(гь. Уо). 111.3. Теорема Хана — Банаха восходят к работам Хелли: Е. НеПу, 0Ьег 1пеаге !ппй(1опа! Орегапопеп, 511эйззег. АЭ4эь Фг!ш. ИГ(ел, Мага.-!уат. Х1., 121 Па (1912). 265 — 297, и 0Ьег Буз(егае Ипеагег О!е!сьппдеп ш!! ппепб1!сЬ чйе1еп ()пье1сапп(еп, Моле!э. Магд. Р(зуз., 3! (!921), 60 — 91. Современная аерсяя првнадлежит Хану: Н. Наьп, 0Ьег Бпеаге О1е!сьппйззуыеше !п Бпеагеп Ваошеп, 1. геле аллин. МаГЬ., 157 (1926). 214 — 229, и' Банаху: 5, Вапась, Бпг 1ез !опсмопе1!ез 1~лба!газ, 1, П, 5!аз((а Ма(й., 1 (1929).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
