Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Докажвте зто для частного случая. когда Е = 1д. Затем воспользуйтесь задачами зр н ЗО для рассмотрения общего сепарабельного банахова пространства Е.) »Юх. Пусть 5 — замкнутое линейное подпространство в /.г [О, !), Предположим, что нз / ~п 5 следует, что / !и ЬР [О, ]] пря некотором р > !. докажете, что тогда ее: (.Р[0, !] с некоторым р > !. ЪЧ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВ4 Всякий внаеою, что токов кривая, лака не виучио!ся натемаоивче настолько, что асонеи валутаеглся е бесчисяеннвсч искяюченияя. э.
кланы !Ч.1. Обэвме и!м!ятмн Абстрактные понятия предела и сходимости — это насущный хлеб функционального анализа. К сожалению, чисто метрических формулировок, которыми мы до сих пор пользовались, оказывается недостаточно, и возникает необходимость в более общих понятиях. Обобщение, называемое топологическим пространством. можно описать на языке только одной сходимости. но в результате получается ужасно неуклюжая конструкция. Вместо этого обычно определяют топологическое пространство, абстрагируя понятие открытых множеств в метрических пространствах.
При этом сходимость оказывается вторичным, выводимым понятием. Мы обсудим сходимость в $ 17.2. Эют раздел состоит в основном из определений, так как здесь вводится новый язык, нужный для описания топологических понятий. Мы очень советуем читателю учить его, возвращаясь к этому разделу по мере необходимости, а не просто вызубриватлч на память. Определение. Топологическое пространство есть множество 5 с выделенным семейством подмножеств 4Г, которые называются открытыми множествами и обладают следующими свойствами: (1) аГ замкнуто относительно конечных пересечений, т. е.
если А, В Е У, то А П В 6Х'; (11) Я замкнуто относительно лроизеольневк объединений, т. е. если А Е аГ" при всех и из некоторого множества индексов 1, то 0А бФ; аеl 1!1!) а 6 4Г' и Я Е Т" ,К называется топологией в 5. Иногда мы будем обозначать топологическое пространство символом <Я, 4Г). В отличие от борелевой структуры топологические структуры несимметричны по отношению к операциям пересечения и объединения и-включают не только счетные операции, но произвольные.
!. Общие понятия Первейший пример топологического пространства — это метрическое пространство, Открытые множества в нем — это те множества, которые обладают свойством (Ух Е М) (Вг ~ О) 1у! Р (х у) < < г) ш М. После обсуждения непрерывных функций мы опишем другое семейство примеров. Упомянем, однако, уже сейчас два тривиальных примера: семейство всех подмножеств данного множества Я есть топология'; она называется дискретной топологией. 4Г - (Ы, 3) также есть топология; она называется антидискретной. Семейство всех топологий на множестве 5 естественным образом упорядочено: Г,<4~„если 'Г, ~ 4Г, в смысле теоретико- множественного включения. Если УГ,<4Г„то мы говорим, что топология Ф; слабее топологии ФГ,.
(Слово «слабее» связано с тем, что в топологии К; сходится больше последовательностей, чем в 4Г„так что 4Г',-сходимость — более слабое понятие, чем 4Г '-сходимость.) Определение. Семейство З ш У называется базой топологии Х', если любое Тг=4Г имеет вид Т= иВ для-некоторого семей- а ства (В ) ш Ж. Например, семейство, шаров в метрическом пространстве всегда образует базу. Возьмем .теперь целый ряд определений непосредственно из теории метрических пространств. Оарвделемме.
Множество Ф называется окрестностью точки х топологического пространства 3, если существует открытое множество У, такое, что хЕ У ш М. Семейство Й' подмножеств топологического пространства Я называется базой окрестностей точки. х, если каждое М Е,М' есть окрестность точки х и если для любой заданной окрестности М точки х существует такое Уб4', что У ш М. Иными словами, М' есть база окрестностей точки х тогда и только тогда, когда (М ~)т' с='М для какой-либо )т' 4.я") есть семейство всех окрестностей х. Например, если Ю есть база топологии 4Г, то ()т'бЯ ~хЕ У) — база окрестностей точки х. Подчеркнем, что окрестности не обязаны быть открытыми. В метрическом пространстве базы окрестностей образуют залиснутие шары положительного радиуса.
Овределвтше. В топологическом пространстве Я множество С ш 5 называется замкнутым, если оно является дополнением открыгого множества. Свойства семейства всех замкнутых множеств выводятся из свойств Ф . Овределемае. йуать 3 — топологическое пространство и 'А ш Я. Замыкание Хмножества А есть наименьшее замкнутое множе- 1У. Топо»ооон«сосо воостронсоиа ство, содержащее А.
Внутренность А множества А есть наибольшее открытое множество, содержащееся в А. Граница множества А есть множество А~,А'=Ай(5"',А1. Существование наименьшего замкнутого множества, содержащего А, следует из замкнутости Ф относительно произвольных объединений. В качестве примеров рассмотрим некоторые топологии в ко.
Прпмер 1. Топология обычной метрики, называемая метричес: кой. Пример 2. Рассмотрим семейство множеств вида 1<х, у> (хб 0'1, где у фиксировано, а 0 — открытое множество в обычной топологии в Г«. Это семейство множеств образует базу топологии, в которой открытыми являются такие множества С, что для всякого уЕК множество 1х~<х, у> ч С1 открыто в К в обычной топологии. В интуитивном смысле, который мы вскоре уточним, эта топология есть «произведение» обычной топологии в одном сомножителе н дискретной топологии во втором.
Пример 8. Пусть Р состоит из пустого множества и всех множеств, содержащих <О, О>. База окрестностей для <х, у> в этой топологии есть единственное (1) множество 1<0, О>, <х, у>). Опыт обращения с метрическими пространствами подсказывает нам, что и теперь главную роль будут играть непрерывные функции.
Определение. Пусть <8, У > и <Т, Я> — два топологических пространства. Функция ~: 8 Т называется непрерывной, если . 1-' (А1 ~ «у при каждом А Е'ц, т. е. если прообраз любого открытого множества есть открытое множество, Функция 1' называется открытой,' если 1 "(В1 открыто для любого В Е4Г. Если 1 открыта и непрерывна, она называется взаямио непрерывной, Взаимно непрерывная биекция называется гомеоморфизмом.
Гомеоморфизмы — это изоморфизмы топологических пространств. Топологическое понятие — это такое пойятие (или объект), которое инвариантно относительно гомеоморфизма. Так, например, интервалы ( — оо, оо) и ( — 1, 1) гомеоморфны относительно гомеоморфизма х ~-ь х/(1+х«). Они отнюдь не изометричны в обычной метрике, и только один нз них полон. Это показывает, что полнота не есть топологнческое понятие. Однако большая.
часть метрических понятий, полезных в анализе, являются топологическими понятиями. Для задания топологии часто пользуются непрерывностью. Определение. Пусть М вЂ” семейство функций из некоторого множества Я в топологическое пространство <Т, Я>. Тогда 1. Обиим яояямия Ю-слабая (или просто слабая) топология на. 8 есть слабейшая топология, в которой все функции 1 ЕМ непрерывны. Чтобы построить Ю-слабую топологию, возьмем семейство всех конечных пересечений множеств вида 1-'[У], где Язс и У Е Я. Эти множества образуют базу ус'-слабой топологии.
Если Ю есть семейство функций на 8 со значениями в разных топологических пространствах, то- Ю-слабая топология определяется очевидным образом. Пример А Рассмотрим множество С[а, Ь] непрерывныхфункций на [а, Ь]. Топология поточечной сходимости на С[а, Ь] есть слабая топология, задаваемая семейством функций ) > 1(х). Именно, для каждой точки х ~ [а, Ь] положим Е (~) =1(х), так что Е„(.) суть отображения множества С[а, Ь] в К. Как мы убедимся ниже, топология поточечной сходимости есть такая топология на, С[а, Ь], в которой 1„ — 1 тогда и только тогда,' когда 1„(х)- у(х) при каждом х.
П)замер Я. Пусть Я' — гильбертово пространство. В этом случае слабая топология — это слабейшая топология, в которой ф> (ф, ф)м становится непрерывным при каждом ф из Я'. База окрестностей нуля в явном виде задается множествами У (ф„..., ф; з„, ..., з„) = (ф И (фо ф) ! ( е;, 1 = 1,..., л), где е~)0, ф„...,ф произвольны и а 1,2, .... Значит, окрестности в слабой топологии суть цилиндры во всех, кроме конечного числа, измерениях, т. е. существует подпространство М (ортогональное дополнение к ф„ ..., ф„), дополнение .которого Мх конечномерно и таково, что из ШЕФ, т)ЕМ следует ф+т1 Е У.' Прггмер 6. Рассмотрим такие отображения п„п; на к', что п1(х У) ' х и (х, у)=у.
Слабая топология,' определяемая функцйями и, и я„и обычная топология на К'.в качестве базы соответствующих открытых множеств имеют прямоугольники (а, Ь)х(с, и), и, значит, эта слабая топология' есть «обычная» топология на к'. Пример 7. С помощью слабой топологии можно топологизнровать декартовы произведения. Напомним, что если (8„),р— некоторое семейство множеств, то 8= Х 8,„ есть семейство всех айаг (ха]ияли где х ч8 ° Лля каждого а определено отображение па' 8 '8аэ именно па ((хз) зяб) =хи. Если каждое 8и наделено топологией Х;„, то мы определим тонологяю'произведения Х .7 або как.слабую топологию, порождаемую проекциями и .
1ю гу. Тополоаынахие лраслврансиюа Вернемся теперь к определениям и приведем классификацию пространств по тому признаку, насколько хорошо открытые, множества разделяют точки и замкнутые множества. Оаределеаае. (а) Топологическое пространство ' называется Т;пространством, если для всех х и у, хчьу, существует открьпое множество О, такое, что у 4 О, х $ О. Иными словами, пространство. относится к типу Т, в том и только том случае, когда (х) замкнуто для любого х. (Ь) Топологическое, пространство называется хаусдорфовым (или Т;пространством), если для любых х и у, хчьу, существуют открытые множества 0„0„, такие; что хбО„у~О, и 000, Я.
(с) Топологйческое пространство называется регулярным (нли Т;пространством), если оно типа Т, и для всех х и всех замкнутых С, таких, что х(С, существуют открытые множества 0„0„такие, что х~О„С ~ О, и 0,00,= Я. Эго равносйльно тому, что замкнутые окрестности любой точки образуют базу окрестностей. (б) Топологическое пространство называется нормальным (или Т;пространством), если оно типа Т, и для всех замкнутых ффтаких, что С,ПС,=Я, существуют открытые множества 0„0„такие, что С, ~ О„С,~= О, и О,ПО,=д. Имеет место очевидное Пред оэгееаае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
