Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Пусть задано У, и пусть с1 = (З~,Р1Р б У1. Тогда сг обладает свойством й' Р;чьЯ в том и только том слус ! чае, когда Я не имеет конечного подпокрытия, и свойством 1-! Р~Я в том и только том случае, когда с1 не есть покрылся тие. Читателю предлагается пробраться через это двойное отрицание и завершить доказательство. 3 Несколько более глубокая эквивалентная формулировка такова: Теорема Л~.З (теорема Больцано — Вейерштрасса). Пространство 5 компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в 8 имеет сходящуюся поднаправленность. Доссазпспельслсво. Предположим, что каждая направленность имеет сходящуюся поднаправленность, и пусть Я вЂ” открытое покрытие. Допустим, что с1 не имеет конечного подпокрытня, и придем к противоречию.

Упорядочнм конечные подсемейства Ж семейства Ж по включению. Тогда Я будет направленным множеством. ДлЯ нсЯкого К=(Р„..., Р„1!а4Б выбеРЕм хяф 0 Р;. Согласно с 1 допущению, направленность (хя!с имеет точку накопления х. Так как с1 есть покрытие, мы можем найти то У !а%, для которого хб У. Поскольку хя часто лежит в У, можно найти конечное подсемейство И~Я, такое, что (У~<3 и хй~У. Так как 1У1($, то У~ 0 6; значит, хйЕ В 6, и мы пришли к противоречию.

0 с3 осв Предположим теперь, что 5 компактно, и пусть (ум!.с!в направленность. Если (у 1 не имеет точек накопления, то для 'любой хч8 существуют открытое множество У„, содержащее х, и такое !х„б1, что у„(У„прн а)сз„. Семейство (У„~х~Я есть открытое покрытие 3, так что можно найти такие х„..., х„, м что 0 У .=8. Так как! направлено, можно найти сх,)я, при с 1 1, ..., л.

Но у„,(У с при с =1, ...,и, что невозможно, так как В У» =8. Это противоречие показывает, что (у ~„,с облас ! !!6 дает точкой накоплении и, значит, есть сходящаяся поднаправ- ленность. ° Пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, компактны тогда и только тогда, когда всякая последователь-- ность в них содержит сходящую!:я подпоследовательность (это легко показать, рассуждая 'по образпу предыдущего доказательства). Пример 1.

Единичный шар в 1, не компактен в лаглрической толологии. Ни одна подпоследовательность последовательности ортоиормированных элементов не может сходиться. Пример л. Пусть З=Ца„) ~1»1!а„~ <Чп). Легко видеть, что последовательность элементов из 8 сходится в том и только том случае, если сходится каждая компонента. Пользуясь диагональным методом, заключаем, что всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательиость. Таким: образом, в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса, Я компактно.

Предостережение. В общем банаховом пространстве компактность — не то же самое, что замкнутость и ограниченность. В самом деле, единичный шар в банаховом пространстве компактен (в топологии нормы) тогда и только тогда, когда это пространство конечномерно (см. задачу 4 гл. т). Отметим два простых свойства компактных пространств, ко» торые «передаются по наследству» (см. задачу 38): Предло ясвмме.

(а) Замкнутое подмножество компактного пространства компактно в относительной топологии." " (Ь) Непрерывный. образ компактного пространства компактен. Слвдетвпе. Любая непрерывная функция на компактном пространстве С принимает максимальное и минимальное значения, Это рзначает, что существуют такие х~, что ~(х+)=зцр ~(») и ~(х )= 1п1 ~(х). «»с «ЕС Часто бывает полезной такая Теорема!УА. Пусть 5 и Т вЂ” компактные хаусдорфовы пространства, и пусть ~: Я- Т вЂ” непрерывная биекция.

Тогда ~ — гомеоморфиам. Для доказательства- нам потребуется следующая Лемма. Если Т хаусдорфово, а Я щ Т компактно, то 3 замкнуто, Доказательапво. Пусть. х ~-5. Можно найти такую направленность «лч),т в 5, что х — х, Так каки хаусдорфовых пространствах 117 предел единствен, то х †единственн точка накопления этой направленности.

Но, поскольку 8 компактно, данная направленность имеет точку накопления в 8. Значит, хц8 и, следовательно, 8 =8. ° Локааательаяию теоремы гУ.ч. Осталось только доказать, что ~ открыто, или (что то же самое, поскольку ~ — биекция) что )"[С) замкнуто, если замкнуто С. Но если Сш8 замкнуто, то С компактно. В силу приведенного выше предложения 1".(С) также компактно. Тенерь результат прямо следует из леммы. ° Предложеяые. Ясли (АД,", †семейст компактных множеств, л то произведение Х А» компактно в топологии произведения.

»=! Докажилельстэо. ПУсть 1х )„,г — йапРавленность в А = Х А„ к ь причем л„=(х'„, х*„, ...,х >. Поскольку А, компактно, можно найти такую поднаправленность (х„<сф,о„что (х'„ш) сходится. к х,ЕА,. С помощью конечной индукции можно найти такую подйапРавленность (х,.аъ)с',о, что (х4а1) сходитсЯ к х1б'А1 длЯ каждого 1.- Значит, (х„ю) сходитсЯ в А к х=(х„..., х„> и, следовательно, по критерию Больцано — Вейерштрасса А компактно. ° Это не очень глубокое предложение, но глубокий факт состоит в том, что оно остается справедливым и для произволь-' ного произведения компактных пространств. Теорема !У.б (теорема Тихонова): Пусть- (Аь),ю — семейство компактных пространств. Тогда Х А„компактно в топологии э»1 произведения 1т.

е. в слабой топологии). Поскольку доказательство этой теоремы довольно сложно и хорошо излагается в учебной литературе, мы отошлем читателя к книгам, которые перечислены в Замечаниях. Однако- сделаем и здесь несколько замечаний. Прежде всего отметим, что именно эта теорема подкрепляет ощущение, что слабая топология — это честественная» топология для Х А . Другой априорный кандиа дат — аящнчная топология», порождаемая множествами вида ХУч, где каждое У„открыто в А,. Но в этой топологии теорема Тихонова не имеет места. Во-вторых, заметим, что эта теорема существенно опирается на аксиому выбора (лемму Цорна).

На самом деле известно, что в теории множеств лемма Цорна следует из теоремы Тихонова. Наконец, отметим, что в частном случае счетного числа,латрическил пространств теорему 17.5 ыв ! у., То»о»огинесюи ло««»«ми«»ма можно доказать тем же способом, что и предыдущее предложение, с привлечением диагонального метода, описанного в $1.5. Займемся теперь функциями на компактных хаусдорфовых пространствах. Покажем сначала, что компактные хаусдорфовы пространства обладают сильными свойствами отделимости в том смысле, что замкнутые множества в них разделяются открытыми.

Затем мы воспользуемся этими свойствами отделимости, чтобы построить непрерывные функции. Теорема г'1г.6. Любое компактное хаусдорфово пространство Х нормально (типа Т,). Докаэательолыо. Сначала докажем, что Х регулярно (типа Т,). Пусть рЕ Х, к пусть С с Х замкнуто, причем р~ С. Поскольку Х хаусдорфово, прн любом уЕС можно найти открытые и непересекающиеся множества У„и У», такие, что у~У„и р~У». Множества ((Г»)„«с покрывают С, которое -компактно. Значит, л л Н„,, ..., Н„покрывают С. Пусть «г = 0 (Г„; 'г'= П У„..

Эти 3В с Н и У открыты и не пересекаются, причем СсУ и р~У. Это показывает, что Х регулярно. Пусть теперь С, Р замкнуты и не пересекаются. Заменяя в предыдущем' рассуждении р на Р и слова «так как Х хаусдорфово» на «так как Х регулярно», мы докажем, что Х нормально. ° Нормальные пространства в силу леммы 'Урысона всегда обладают богатым запасом непрерывных функций.

Теорема IУ.Т (лемма Урысона). Пусть С и Р— замкнутые непересекающиеся множества в нормальном пространстве Х. Тогда существует непрерывная функция )(х) из Х в к, удовлетворяющая таким условиям: 0(~(х)(1 при всех х; )(х)=0, когда хЕС, и )(х)=1, когда хЕР. Набросок докаэательсглэа. Пользуясь нормальностью Х, строим по индукции для каждого диадического рационального числа г (т. е. г=й/2"; й, л — целые, 0(й~~2") открытое множество Р„ такое, что Сс У,с (7,с У, с «г,с Х'~Р, если г < э, Далее с помощью У, определяем такую функцию ~, 'что 1(х) ( г тогда и только тогда, когда хб. У,.

Можно показать, что ~ непрерывна. Подробности см. в литературе, цитированной в Замечаниях. ° Ниже мы убедимся, что можно доказать и более сильные результаты, относящиеся к теории функций (теорема 1У.11). В качестве последнего результата об общих свойствах функций на Х мы докажем, что определенные семейства функций плотны в Ся (Х) — семействе всех непрерывных вещественнозначных 119 функций на Х. Сначала-отметим, что наше доказательство в 91.5 для С[а,' Ь1 проходит и для любого компактного множества. Теорема 1У.В. Пусть С(Х) — семейство всех непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусйорфовом пространстве Х, снабженное нормой «~1««„= зир 11(х7~.

Характеристики

Список файлов книги