Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Пусть Ср (Х) = к%Х =«1бС(Х)~1 вещественнозначна). Тогда С(Х) есть комплексное . банахово пространство, а Ср (Х) — вещественное банахово пространство. Теорема о плотном семействе, которую мы сформулируем, обобщает классическую теорему Вейерштрасса, утверждающую, что любая непрерывная вещественнозначная функция на интервале [О, 1] есть равномерный (на [О, 11) предел полиномов (см. задачи 19 и 20). Заметим, что в Ср(Х) определено естественное умножение (~й)(х)=~(х)й(х). Подалгебра в Ср(Х) есть, подпространство, замкнутое относительно умножения. Теорема 1У.У (теорема Стоуна — Вейерштрасса).

Пусть  — подалгебра в Ср(Х), замкнутая по норме 11 ~~„. Мы говорим, что алгебра В разделяет точки, если д«1я любйх данных х, уб Х можно найти такую ~ЕВ, что 1(х)чь1(у). Если В разделяет точки, то либо В=Ср(Х), либо В=«ЦЕСр(Х))1(х)=0) при некотором х,бХ. Если 1ЕВ и В разделяет точки, то В=Ср(Х). Поучительное доказательство 'этой теоремы, основанное на теории решеток, мы отнесем в дополнение к этому разделу. То, что мы имеем дело с Ср (Х), а не с С(Х), имеет решающее значение (см. задачу 15)', однако, добавив еще одно предполо~ жение, легко распространить теорему 1Ч.9 на комплексный случай. Теорема 1У.10 (теорема Стоуна — Вейерштрасса для .комплексного случая).

Пусть  — подалгебра в С(Х)„обладающая тем свойством, что если 1Е В, то и комплексно сопряженная функция ~ЕВ. Если В замкнута и разделяет точки, то В='С(Х) или В «111(х) = О) для некоторого фиксированного х. Дополнительное условие о комплексно сопряженной функции играет решающую роль.

Пусть, например, Р— замкнутый единичный круг в комплексной плоскости. Функции, аналитические внутри Р и непрерывные на всем Р, составляют замкнутую подалгебру на Р, содержащую единицу и разделяющую точки, но отличную от С(Р). Однако она не замкнута относительно комплексного сопряжения.

Как пример применения теоремы Стоуна — Вейерштрасса, а также как иллюстрацию того, в сколь мощную силу могут складываться разные теоремы функционального анализа, мы докажем одну теорему о продолжении для функциИ из С(У), когда /У. Тот><><овоиские л>мса<»<>«с<>м<> У <= Х, причем Х компактно, а У замкнуто. Фактически теорема верна и тогда, когда Х только нормально (задача 18).

Теорема Л<.П (теорема Титце о продолжении). Пусть Х вЂ” компактное пространство, и пусть У <= Х замкнуто. Пусть 1 — любая вещественнозначная функция на У. Тогда существует такая ЯСа (Х), что 1(у) =1(у) для всех у ~ У. Доказа<вельс>пас. Рассмотрим отображение р: Ср (Х) — Са (У), заданное формулой р(1)=1!У. Теорема равносильна утвери<де,иию, что р сюръективно: Очевидно, что йап р-есть подалгебра в Са(У) и 1бйапр.

Более того, по лемме Урысона йапр разделяет точки. Если удастся показать, что йапр замкнута ио норме !!.!!с<г>, то мысможем завершить доказательство, воспользовавшись теоремой Стоуна — Вейерштрасса. Пусть 1= Катр. Тогда 1 замкнуто в Ся (Х), так что мы можем построить банахово факторпространство .Ср (Х)/1, При помощи элементарных алгебраических операций р «поднимается» до биекции р: Са (Х)11 — йап р.

Если бы можно было' теперь показать, что )!р(Щ)((с <г> =))Щ!!с <х»<, то йапр будет банаховым про-' странством и, следовательно, замкнутой подалгеброй. Ясно, что !!рЩ!!с„п> <!!~))с,<х>. поэтому )!р9])!!са<ю< (!![Д!!са<х>~<. Значит, достаточно'показать, что при заданном у~ йап р мы можем найти такое 1~ Са (Х), что у= р (1) и !! й !!си о > =. !! 1 !!си <х> (вспомните определение факто рнор мы(). Так как Ыч йап р. то Ю=,р(1>) для некоторого 1«, сСа(Х). Положим 1>.=ш1й(!)и!(с,< >, 1>',); тогда Р(1<~)=к н 1>~(х)~!!у!!ся<г> при всех х. Пусть 1>, = шах ( — !! й)! с я<х>, 1>,). Тогда !! 1>з !! с <х> = !! у !!са<г> и р (>>>,) = й. Это завершает доказательство. ° Допонненне н й 1ч.З. Теерема Стоуна — Вейерштрасса В этом дополнении мы докажем теорему 1>1.9 для случая,' когда 1 ~В.

Общее доказательство мы оставим в качестве самостоятельного упражнения. Любопытно заметить, что первым шагом будет доказательство классической теоремы Вейерштрасса (которая является частным случаем общей теоремы!). Лемма, 1. Множество всех полиномов плотно в Са(а, Ь1 при любых конечных вещественных а, Ь. Деемлюии к Э Л~.з. ТеоРема Свауне — Веаерштдасов ' 121 Доказал1ельолмо. См. задачи 19 и 20.

Теперь можно воспользоваться этим результатом и доказать, что  — решетка. Олрадвлегеае. Подмножество Я ~ Са (Х) называется решеткой, если для всех /, у~ Я нижняя грань / Л у= пни 1/, у) и верхняя грань /'~ я=шах(/, у) лежат в 5. Лам.иа й. Любая 'замкнутая подалгебра В из Са(Х), такая, что 1ЕВ, есть решетка. Доказалмльолмо. Покажем, что если /ЕВ, то и ~/~ Е В. Тогда 1 1 результат будет следовать из формул / 1/ у — (/ — у~+-!/+у~, / Л у= — [( — /) ~/ ( — у)1. Не теряя общности, допустим, что ~~~~~„~1.

По классической теореме Вейерштрасса можно найти последовательность полиномов Р (х), равномерно сходящуюся к ~х( на [ — 1, 11 и такую, например, что ~ Р (х) — (х~ ~ < 1/л для всех х Е [О, 11. Так как ~~ Ц„~ 1, то отсюда следует, что ~~Р (/) — (~Ц~„<1/л, т.

е. ~~~ 1пп Р (/). Но алгебра В содержит 1, поэтому Р (/) Е В. Поскольку В замкнута, ~~~~ В. ° Наконец, полная теорема Стоуна — Вейерштрасса вытекает из леммы 2 и следующей теоремы, которая интересна и сама по себе: Творилпз Л/.И (теорема Какутанн — Крейна). Пусть Х вЂ” компактное хаусдорфово пространетво.

Любая решетка .У' ~ Са (Х), являющаяся замкнутым подпространством, содержащая 1 и раз- . деляющая точки; совпадает со всем пространством Са (Х) Доказалмльсл1ео. Пусть ЬбСа(Х), н пусть задано некоторое е. Будем искать такое /чЯ, что (~Ь вЂ” /~~ < е. Предположим, что можно показать, что для любого хЕ Х существует такое ~„Е Я, что /„(х) = Ь (х) и Ь ~ /„+ е. Тогда для каждого х найдется его открытая окрестность (/„, такая, что Ь(у))/„(у) — е для всех у~(/„ (в силу непрерывности Ь вЂ /„). Такие (/„ покрывают Х, и йусть (/ „ ..., У вЂ некотор конечное подпокрытие. Тогда /=~,, Д ... /~ / удовлетворяет условию /(у)+е ш(п(/ .(у)+е)>Ь(у).

Более того; так как любой у~(/„, при с некотором 1', то /(у) — еч 1 1(у) — е<Ь(у). Значит, 1~~ — Ь11„< е. Остается найти /,„с нужными свойствами. Так как .У разделяет точки и 1ЕЯ, то при любых х и у из Х можно найти такую / ~.У, что ~,„(х)=Ь(х) и / „(у)=Ь(у). Для любого у можно найти его открйтую окрестность У, такую, что /„„(г) + + ееЬ(г) для г~У .

Из них можно выбрать конечное йокрытие 1/ „.:., У„. 1)влагая /„=/ „, ~/ ... ~// „, получаем ! У. Толологичлские ирастралства !22 Тл(х) Ь(х) и для произвольного гЕХ' Г,(г)+э= шах (Тл„,(г)+е))й(г). Это завершает доказательство. ° 1У.4. Теория меры нв компактных н(эострвнстввх В этом разделе мы рассмотрим некоторые специальные аспекты теории меры на компактных пространствах. В частности, мы увидим, что сопряженное к С(Х) пространство можно интерпретировать как некоторое пространство мер (теорема Рисса— Маркова). Так как доказательства в теории меры по большей части мало поучительны, мы не станем приводить здесь доказательства всех теорем. Первый вопрос, который возникает,— как выбрать а-поле измеримых множеств.

Начнем с минимального семейства. Разумеется, мы хотим, чтобы непрерывные.функции (~С(Х) были интегрируемы. Это наводит на мысль, что следует считать измеримыми все замкнутые (и открытые) множества, однако в этом нет необходимости. Онределемне. Сэ-множество — это множество, являющееся счет- ным пересечением 'открытых множеств.' Предлтажемаи. Пусть Х вЂ” компактное хаусдорфово пространство, и пусть ТбСя (Х).

Тогда Т '((а, оо)) — компактное бэ-множество,, Докагатехьсэмо. Множество Т '((а, ио)) замкнуто и, стало быть, компактно. Так как Ю Т '((а, оо))= Д ~ '((а — 1/и, ео)), л 1 то оно есть 6э-множество. ° Итак, для интегрируемости непрерывных функций довольно того, чтобы а-поле содержало компактные бкмножества. Онределение. а-поле, порождаемое компактными бэ-множествами в компактном пространстве Х, называется семейством боровых множеств. Функции (: Х К (или С), измеримые относительно этого а-поля, называются бэровыми функциями.

Характеристики

Список файлов книги