Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мера на бэровых множествах называется бэровой мерой, если она еще конечна, т. е. р (Х) ( оо. Как и в случае конечных интервалов на вещественной прямой и лебеговой меры, имеет место 4. Теория мери на комшиоиньи ноостранснман шз Теорема 1У.13. Если ~ь — берова мера, то С(Х) ~ 1.н(Х, бц) при всех р и С(Х) плотно в 1.'(Х, др) и в любом 1.н-пространстве с р < оо (но не в Ь", за исключением патологических случаев, когда С(Х) уже есть все Ь" 1). Несмотря на то что бароны множества — это все, что нам нужно, читателю, несомненно, захочется разделаться с Оо-множествами и рассматривать все борелевы множества, т.
е. о-поле, порождаемое всеми открытыми множествами. На вопрос о расширении бзровых мер до борелевых„т. е. до мер на всех борелевых множествах, отвечают. следующие замечания: (1) Всякая бэрова мера автоматически регулярна, т. е. р(У) =1п1(р(0) »У ~ О, 0 открыты и бэровы» = =зир(р(С) 1 С ~ У, С компактны и бзровы». (2) Вообще говоря, барона мера обладает многими расширениями на все борелевы множества, но существует в точности одно регулярное расширение до борелевой меры. Борелева мера называется регулярной, если и (У) =!п1 (р(О) ~ У ~ 0„0 открыто»= = знр ~~ь (С) 1 С ~ У, С компактно и борглгво».
Итак, существует взаимно однозначное соответствие между бзровыми мерамн и регулярными борелевыми мерами. (3) Если р — борелева 'мера, то С(Х) плотно в Ь'(Х, с(ц) тогда и только тогда, когда.(л регулярна. Если р регулярна, то всякое борелево множество почти всюду бзрово в том смысле, что для.данного борелева множества У существует бзрово мно-. жество У", такое, что К тому же всякая борелева функция после изменения лишь на борелевом множестве меры нуль равна некоторой бэровой функции.
(4) В определенных случаях всякое 'компактное множество есть Оо-множество, так что бэровы и борелевы множества совпадают; Так будет в случае, когда Х вЂ” компактное метрическое пространство (см. задачу 30). Впредь, говоря о компактных множествах Х, мы будем пользоваться 'термином мера в смысле бэровой (или, что то же самое, регулярной борелевой) меры, если только специально не оговорено другое словоупотребление.
Пусть теперь Х компактно, и пусть р — мера на Х. Рассмотрим отображение С(Х) —. С, заданное формулой ~» 1„(~) ~) 1др. 124 1У. Тоиолоеи«еош«»юо«»цен«»<«а Очевидно, что 1„линейно и что !1„й!(1 У!Др(!У!!„И(Х), так что 1» есть непрерывный линейный функционал на С(Х). Фактическй !! 1» !!с<к<»» р.(Х), что сразу видно, если взять ) ° 1. Более того, 1» положителен в смысле следующего опре- деления. Оаредилемив.
По<южительиый линейный функционал на С (Х) есть (а рг1ог1 не обязательно непрерывный) линейный функцио- нал 1, такой, что 1(й ~ О для всех поточечно неотрицательных 1. Положительные линейные функционалы в более общем. случае появятся при изучении С'-алгебр; см. гл. Х'<111. Они обладают следующим приятным свойством (другие свойства, к которым ведет положительность, см. в задаче 37). Предложение.
Пусть 1 — положительный линейный функционал. Тогда 1 непрерывен и !!1!!с<х< =1(1) Доказательство.. Допустим сначала, что 1 вещественна. Так как — !! 7 !!„~1(!!1!!„, то — 1(1) !!1!!„<1(1) .«а„1(1) !!1!!„; значит, !!(1)!»-!))!!„1(1). Если !' произвольна, то 1Щ з<чг, причем г вещественно и положительно.
Отсюда !1 (й ! = 1 Я е 1« <«Я ( !! йе (е ««Л !! 1 (1) ( 1 (1) !! 1 !!„. ° Мы видели, что'любая бэрова мера дает пример положителв- ного линейного .функционала на С (Х); следующая теорема говорит, что иных н не бывает. Теорема Л~.И (теорема Рисса — Марком). Пусть Х вЂ” компакт- ное хаусдорфово пространство. Всякому положительному линей- ному функционалу 1 на С(Х) отвечает единственная бэрова ' мера 1< на Х, такая, что 1У)=) Г<(р.
Мы не хотим давать подробное доказательство, но давайте просто посмотрим, как р может быть восстановлена по данному 1». Подобный же процесс позволяет строить меру исходя из любого положительного линейного функционала, даже если мы не знаем наперед, что он имеет вид 1 . Так как р внутренне регулярна (т. е. 1«(У) зир (р, (С) ! С <= у, С компактно)), то, чтобы «восста- новить» 1<, мы должны лишь найти р,(С) для компактных С.
Мы утверждаем, что 1< (С) = 1п1 (1»(1) /1бС(Х), 1))<с). Поскольку )< положительна, очевидно, что 1<(С)(1»(1), если ~,~ус; зна- чит, достаточно показать, что прн данном е можно найти такое 1 ч С (Х), что Ус ~~1 и 1» (1) ~ Р (С) !- з. ПосколькУ ~ь внешне 4. Т«приз меры на юомлаиииих ээ««мразаива« шз регулярна, то при данном з можно найти такое открытое О, что р(0'~,С) < з и С с О. По лемме Урысона найдется такая ~ЕС(Х), что О~~а 1, ~(х)=1, если ЛбС, и 1".(х)=0, если хб Х",О. Следовательно, 1(Д <р (О) < р(С)+з, Так мы убедились, что р может быть восстановлена исходя из 1„, и потому не слишком удивительно, что из любого 1 можно построить некоторую меру. Теорема Рисса — Маркова — это обычный путь, на котором в функциональном анализе' возникают меры. Например, мы уже свыклись с тем, что меры на К ассоциируются с квантовомеханнческимй гамильтонианами, а эти последние в свою очередь получаются из некоторых положительных линейных функций при посредстве теоремы Рисса — Маркова (нли, точнее, ее рас; ширения .на локально компактные пространства, которое мы вскоре обсудим).
В общем случае поточечный предел направленности бэровых функций не является ни бэровой, ни даже борелевой функцией (задача 13). Однако если (Я««~ есть направленность непрерывных функций, возрастающая в том смысле, что ~.)Дзэ коль скоро ««>р, то 1=!пп1 =зпрД„есть борелева функция, по- Ф Я скольку множество 1-'((а, оЦ= () ~~«'~(а, еэ)3 открыто. Теорема о монотонной сходимости имеет следующее обобщение на направленности: Теорема УФ'.Ы (теорема о монотонной сходимости направленностей).
Пусть 1« — регулярная борелева мера на компактном хаусдорфовом пространстве Х. усть 11«) «г — возрастающая направленность непрерывных функций. Тогда (= Игп ~ Е а ~Х,«.(Х, «(р) в том и только том случае, когда зпр~~~«14 < оэ, Ф и и этом случае Игп~)~ — ~„((,=0. а Прежде чем расстаться с теорией меры на компактных пространствах, найдем сопряженное к С(Х). Разумеется, не всякий непрерывный линейный функционал на С(Х) положителен, но важный результат, к которому мы сейчас идем, состоит в том, что любой 1б Ся (Х)' есть разность двух положительных линейных функционалов.
В основе этого факта лежит простой результат «теории решетокэ, относящийся к Ся(Х). Лемма. Пусть 1, а~Се(Х) и 1, й~О. Предположим„что Ь ~Ся (Х) и О-ц,Ь« ~+у. Тогда справедливо представление Ь ° Ь,+Ь„в котором О~Ь«а=,г и 0<Ь,~й, Ь«, Ь,цСя(Х). Л/. Тооооогиоосиио ирососоансоиа Доказащельспию. Пусть Ь,=тп\п(Д, Ь). Тогда О~,Ь,(~, и если Ь, Ь вЂ” А„то-А,~О. Более того, если Ь,(х)=Ь(х), то Ь,(х) = 0(н(х), а если Ь,(х) =Е(х), то Ь,(х) =А(х) — 1(х) «.~~;)'(х) + 1-сс(х) — 1(х) =н(х), так что Ь,~й. ° Творима 1Ъ'.Ы. Пусть ЕЕСа(Х)'.
Тогда ! можно представить в виде Е = Š— Е, где Е+ и Š— положительные линейные функционалы. Более того, Е+(1)+! (1)=ЦЕЦ и Е„, 1 тем самым однозначно определены. Докавшмльанло. Для !~ С(Х)+ оо (Ц ~ С(Х) ~ 1 ~01 положим Е+(1) =знр(1(А) ~ЬбС(Х); 0:=,А~ЕЕ. Так как)Е(Ь) ~(Ц !ЦЦЬЦ„» (ЦЕЦЦЕЦ„, то эта верхняя грань конечна.
Очевидно, Е+(11) =. = 11 (1) йри любом ! ) 0 и 1 (1) с1(0)=0 для всех ~~С(Х)+. Пусть Е, дбС(Х), Тогда по лемме 1+ (1 + и) = зпр (1(й) ~ 0 <~ Ь < 1+ н) = =знр(1(Ьс)+1(Ь,)!О =Ь| = 7 0<Ь.(а) 1+ й+ Е+ (а). Для любого 1~ С(Х) положим ~+ — — 'тах11, О) и Е = — пйп(1, 01, так что ~=~~ — ''Е . Пусть Е+(~)=1.,(7+) — Е+(Е ). Легко пока- зать, что Е„линеен на С(Х).
По определению 1+ ()) ) 1(1), если '1= О, так что' 1. (~) =в!+(~) — 1(Е) — положительный линейный функционал. Итак, мы записали 1 в виде разности положитель- ных линейных функционалов: 1=1+ — Е . Докажем Теперь, что 1+(1)+Е (1)'=ЦЕЦ. Сначала заметим,, что Ц ! Ц -'6 Ц Е+ Ц + ЦЕ Ц =1+ (1) + Е= (4). Чтобы получить противо- положное неравенство, перепипевхг 1 симметрично относи- тельно 1+. Для ~~0 1 (Е) = знр (1(Ь) — 1(1) ! 0 < Ь о: Д = =зпр (1(Ь) ~ — 1(Ь ~ 01, где Ь =Ь вЂ” 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
