Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2!! — 216, 223-2И. Хороший превер ' конкретного применения теоремы Хана — Бенаха можно „г„,„, „г,а, г~,г„,.т !гю а ас.г .Кур фю ~ ьу.К чрадявська пжолаэ, 1945~ 102 1!1. Баналоэи щюсюралслиа теоремы Хана — Банаха доказывается существованве функцви Грина для двумерной задачи Лнрихле.
НАД Теорема Бара была вм доказана для вещественной прямой: й. Ва1ге, иг !ез 1опс!гоп» бе чаг1аЫез гееПез, Алл. Ма!Л, 3 (1899), 1 — 32. Совремеяная версия доказана Курзтовсквм: С. Кота!о»гзй1, !а ргорг[ех(е бе Ва1ге бапз !ез езрасез п»е1Пдпез, Рияд. Ма(д, 16 (1930), 390 — 394. н Банахом: 8. ВапасЬ, Т!»еогещз зпг 1ез епзещ Ыез де р гет!егез са1ейог! е, Риа1. Ма 1Л., 16 (1930), 396 — 398. Теорема Бана«а — Штейнгзуза доказана в работе: 8. ВапасЫ Н. 31е!пйаиз, Зиг !е рг!пс)ре бе!а сопбепза11оп без з!пйо!аг!1ез, Ряю1. Магд., 9 (1927), 60 — 61. Обсуждение теоремы Бара и ее следствий есть в кинге Лорка (см. замечания к 6 П.б).
Провсхождевве термина «категорвя» следующее: объединение счетного числа нигде не плотных множеств называется множеством первой категория. Все остальные множест⻠— второй категоряя. Теорема Бара утвервгдает, что любое полнее метрическое пространство — второй категории. Дополнения к множествам первой категории иногда называют остаточными множествамв. Это множества, содержащяе счетное пересечение открытых плотных множеств. Из теоремы Бэра следует, что любое остаточное множество в полном,метряческом пространстве плотно в нем (задача 21). Если в метрическом пространстве какое-то утвержденве справедливо на остаточном множестве, то часто говорят, что оно «ямеет место почти всюду», следовательно, множества первой категорйи вграют роль «множеств меры нуль».
Некоторые занятные результаты относительно етого понятая «почти всюду» можно найти в княге Шоке: Сь Стояне(, 1ес1агез (п Апа(уз!з, т. 1, Веп[ащ1п, Не«ч Уо«1с, 1969, рр. 120 — 126. Предостережение: существуют множества Х с-[О, ![первой категорнв меры 11 Таким образом, два понятия«почти всюду» по Лебегу я по Бару совершенно различны. Существуют н другие топологические пространства, кроме полных метрических, обладающие тем свойством, что остаточные мкожества плотны в них; такве пространства называют пространствами Бара:Напрвмер,любое локально компактное пространство есть пространство Бара.
Дальнейшее обсужденве см. в книге Шоке на стр. 196 †1. ЗАДАЧИ [А Локажвте, что «. (И) — банахово пространство. Т2. (а) Докажите, что 1р и с» сепарабельяы, а 1 — нет. ([») Докажите, что з с= 1р при Эсех р. [3. Докажите. что нормированное лвнейяое пространство полно тогда в только тогда, когда каждая абсолютно суммвруемая последовательность суммируема.
[Указание: чтобы доказать, что последовательность Коша сходится, достаточно показать, что сходятся какая-либо ее подпоследовательность.[ »4. докажите, что все нормы в гс» эквивалентны. [уяизомя«г воспользуйтесь тем, что едияичвая сфера компактна в евклидовой топологви.[ )5. Докажите, что С (В) есть пополяеиие м(В).
б. Докажите, что если [ла)а «Е!д, то линейный функционал на с«, заданный формулой » А([аэ)д «) = ~~!' )»эаа. 3 ! имеет норму ~~~~ [Лз[. Задачи з 7. Докажите, пользуясь теоремой Хана — Банаха. что 1 1„но 1 ~ 1ы 8. (а) Докажите, что существует линейный функционал на 1."(Е), равный нулю ва С(В). (Ь) Докажите, что существует линейный функционал д на 1.
(Й), такой, что Д(1)'=7(О) для всякой 1ЕС(К). 9. Пусть. Я' — гильбертово пространство и л — ограняченный линейный функционал на подпространстве ею, не обязательно замкнутом, Опишите непрерывные расширения Х. (1О. Докажвте третье следствие теоремы Хана — Банаха. 11. Докажете, что на 1 (Й).существует такой линейный функцвонал ь, что 11шаи~й((аи)«г) 1ип а„; и Ф « ~Ф 1.,(В) = (а 1 а Е 1„, а„ Е В при всех «). )12. Докажите утверждение првмера в конце з 4.
18. Воспользуйтесь принципом равномерной ограниченности, чтобы получать другое доказательство теоремы Хеллиигера — Теплица. е14. Пусть Х вЂ” баиахово пространство. Приведвте пример всюду определейного, но разрывного линейного функцвонала ?» Докажите непосредственно„ что ь не замкнут. 1Ю. Пусть уб — сепарабельное гвльбертово пространство с ортонормированным базисом (х„)и-г Пусть (у«) †последовательнос злементов уб. Дока?кате, что следующие два утвержденвя зквввалентны: (а) (х, у„) — О Ух ~ ~; «Ф (Ь) (х, у„) — О прв каждом ла=1, 2, ..., и (11 уз Ц~„, ограничена.
18. Подмножьство 5 в банаховом пространстве называется слабо ограниченным, елин зир ) ь(х) ) < оз прв всех ь Е Х» Ю называется сальво ограхел иичениым, если зир )) х1) < ео. Докажите. что множество сильно ограхел ннчено тогда и только тогда, когда оно слабо ограничено (см. 4 т?Л). 17. Докажите. что раздельно непрерывный полилвнейный функционал на баиаховом пространстве непрерывен, 18. Распространите теорему Хеллянгера — Тепляца на'пары операторов А, В, удовлетворяющих равенству (Ах, у) (х, Ву). 19.
Пусть Х вЂ” банахово пространство относительно любой нз норм 1) ° )) д вли 11 ° )) з. Допустим, что 11 ° 1) г ж; С1! 1) з прв некотором С. Докажяте, что существует 1?. для которого 11 ° 11 за»1? 11 -!!». 20. Почему одноточечное пространство не нарушает теоремы Бара? *21. Докажите, что любое счетное пересеченве плотных открытых множеств в полном метрвческом пространстве плотно. 22. (а) Докажвте, что банахово пространство Х рефлексивно тогда я только тогда, когда рефлексявно Х». (Указа«лег если Х Ф Х», найдите ограниченный линейный функцвоиал на Хьь, равный нулю на Х.) (Ь) Докажите, что если Х ие рефлексивно, то и (... (Х')' ...)' 'не рефлексввно. ///.
Банахозы «рос«грана«ма 28. Пусть Х вЂ” гильбертово пространство н»зб — замкнутое надпространство. Покажите, что ограничение естественного отображения и: Х вЂ” «Х/еФ на ыв»- есть изоморфнзм между мб"- н Х/мб. 24, Пусть ! — линейный функпнонал на вещественном банаховом пространстве Х. Докажите, что Х/Кег! нзоморфно й с обычной нормой н что естественная проекция щ Х- Х/Кег !=К связана с ! соотнощеннем 1=~ 11!11и. 28, Банахово пространство называется равномерно выпуклым, если для всякого е > 0 существует такое 6 > О, что на 1[к 11=11811 =!и]1 ~/з(х+р) 11 > > 1 — 6 следует 11х — у[1 < з; зто означает.
что единичный шзр равно. мерно выпуклый. В задаче 16 гл. Ч мы убедвмся, что всякое равномерно выпуклое пространство рефлексивно.. (а) Докажите непосредственно, что (.т(й) и ь (К) не являются равномерно выпуклымн. (Ь) Докажите, что всякое гильбертово пространство равномерно выпукло. «(с) Докажите, что БР(Х, бр) равномерно выпукло при р~2. Ухазаниег докажите, что прн я, 11 ~ С [тз+])[Р+]а — 'р[Р»2Р-з(1 а[Р+1[)[Р), показав предварительно, что ([а+[)[Р+]а — [)]Р)г/Р» Р'2 (1а]»+1[)1»)з/~ ° Прин»чинил. 1.
ЕР на самом деле равномерно выпукло для всех 1 < р <»о, но доказательство для 1 < р <»о труднее; ср. С. Кб(йе, Торо!ой)са! Чесйог Зрасез, 1, Зрг1пйег, 1969, рр. 366 — 369. 2. Равномерно выпуклые пространства были введены в работе: Л. С7згкзоп, ()пйопп!у сопчех зрасез, Тгапз. АМ9, 40 (!936).
396 — 4!4. 3. М. Дей привел примеры рефлексивных банаховых пространств, которые не явлюотся равномерно выпуклымн: .М. Рау, Кейех!че ВапасЬ »расее по1 Вопюгр[йс 1о опйогю!у сопчех зрасез, Ви!!. АМЯ, 47 (!941), 313 — 317; см. также х. Ко1Ье, рр. 360 — 363. № (а) Говорят, что два банаховых пространства Х и У строга сопряжены, если существует отображение 1: Х У; являющееся нзометрней, п нчем нндуцнрованное отображение /»: У вЂ” Х» — тоже нзометрня. окажите, что если Х н У строго сопряжены и Х рефлексивно, то У = Х' н Х =У».
[Униза«нег воспользуйтесь теоремой Хана — Банаха.] (Ь) дойажите, по (Р(Х, Ир) н (.ч(Х, И)з) строго сопряжены, если Р-'+4 '=!. (с) Докажите„что /Р(Х, бр)'=Еч(Х, Н!з), если 1 < р'<»о и р-г+ + д-'= 1. [Ухазаниз: воспользуйтесь задачей 26 н задачей 16 гл. Ч.) '27. Докажите теорему Банаха — Шаудера! пусть Т вЂ” непрерывное линейное отобрюкенне Т: Е- Р, где Е н Р— банаховы пространства, Тогда лабо Т[А] открыто в Т[Е) для любого открытого Ас Е, либо Т[Е] первой изтегорнн в Т [Е] (см. замечания к 4 б, где определяется понятие категории).
28. (а) Докажите, что каждое факторпространство пространства !з по замк- нУтомУ подпРостРанствУ изометРнческн нзомоРфно лабо !з, либо Слг с некоторым !Ч. (Ь) Докажите, что !д топблогнческн не нзоморфно никакому факторпространству !з. 29. Пусть Х вЂ” сепарабельное банахово пространство. Пусть [хм ..., х, ...]— плотное подмножество в единичном пыре в Х. Определйм отображение Задачи !05 1а †»Х, полагая А: бзч ..., а» " > ~ ~~~, 'а»х».
»=1 (а) Докажнте, что А корректно определено в непрерывно. (Ь) Локажвте, что КегА замкнуто н что А»подннмается» до непрерывного отображеввя А: 1,/КегА — »Х. (с) Локажнте, что ДапА КапА есть все пространство Х. Ухаааниег при данном х с ][ х ]] = ! . выбервте рекурснвно хюп, требуя, чтобы х — ~~~~ й-г»ах„п, (б) Сделайте заключенне. что любое сепарабельное банахозо пространство топологвческв взоморфно какому-лабо нз факторпространств пространства 1ы (е) Заменяя в (с) число 2 на 3, 4, ..., покажете, что на самом деле А— нзометрвя. 80.
Пусть Х вЂ банано простраяство в )' †е замкнутое подпространство. Пусть г" в Х» определено формулой У -(1 Е Х']1)!'=О). Лля заданного огранячевного лвнейного функпвовала / на Х/у определвм л»(/) Е Х», полагая [и»(/)][х]=/([х]). Докажвте, что и» вЂ” нзометрвческвй нзоморфнзм (Х/г)» яа !' . »1.
(а) Пусть Š— бавахово пространство с сепарабельным сопряженным в <М, р> — такое пространство с мерой, что 1Р(М, Нр) сепарабельно для всех ! < р < а». Разработайте теорию пространсгв (Р (м, ыр; е), авалогнчную теорнн Ез(М, бр; Яб), обсуждавшейся в 4 11;! н 11.4. (Ь) Локажвте, что 1.Р(М Х 1»', яр® И~) в ЕР(М, йр; ЕР(а1, йт)) естественно язоморфны. »(с) Пусть Е»» — сепарабельвое бавахово пространство в !» р < о». Докажите, гго 1.Р(М, брд! Е)» естественно язометрнческв язоморфно 1Я(М, Ир; Е»). (Указание, Сначала покажите, что достаточно убеднться в том, что любое огранвченное линейное преобразованяе Т пространства Е в ЕГ(М, др) выест форму [Т(х))(т) [/(ач)](х) с какой-лнбо / Е (.г(М, Нр; Е*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
