Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 16
Текст из файла (страница 16)
в книге: П. Бнллннгслей, Эргодыческав теория н ынформаши, «Мнр», М.. 1969. Результат Снная об эргодычностн газа нз твердых шариков сформулнрован в статье: Я. Сымай, К обоснованию эргоднческой гипотезы для одной динамической снстемыстатвстыяеской механнкн, ЙАН СССР, 163 (1963), 1261— 1264. Набросок доказательства опубликован в статье: Уа. Япа!, Егбоб(с(17 о( Во!!зшапп'з Йзз Мобе!, 1п «Яа((з!!са1 Месйап(сз, Роипба!!опз апб АррИса11опз» (Т.
Вай еб.). Веи)аш(п, Хем Уог1«, 1967. В его доказательстве использованы важные ндеы Крылова, Колмогорова н Аносова г). Альтернатнвное ы эргоднчности свойство, приводящее к некоторым таким же следствиям, предложено Проссером (Е. Рг«мзег, 3рес(га) Апа1уяз о1 С)азз(са1 Сеп!га! Рогсе МоНоп, «'. Мащ. Рйу»..10 (1969), 2233 — 2239). Показано, что ндеальный гаэ без соударений обладает этим свойством. Длв многих целей требуется, чтобы термодинамнчесыые снсгемы обладали более сильным, чем эргодычность, свойством, которое называется перемешнваныем; оно выражает «необратимость» термодынамнческых систем, н именно зто более снльное свойство доказано Сипаем. Мы кратко вернемся к перемешыванню в гл. У11. Обсужденне нерархнн понятий, связанных с эргоднчностыо„см. в книгах: Ч.
1. Агпо14 апб А. Ачех, Егйоб)с Рп»)»!ешз о1 С!азз(са! МесЬап(сз, Веп)аш!и. Хе«г Уог1«, 1968; А. 3. %1951шап, 3!а1!зг!са! Месйап!с«апб Егйод1с Т)могу: Ап Ехрозйогу 1.ес(иге, )п «Яа1(з!!са! МесЬап(сз а1 1йе Тигп о( !Ие Веса«!е» (Е. Совдеп еб.), Опбаг, Хеч«уог1«, 1970. Мы, ыонечно, слишком решительно отнеслы целныом к мныродннамике вопрос о том, сыоль велико должно быть Т. чтобы значение Т Т- ~)( г)б1 о г) Позже Сннай опублиыовал полное доказательство для снстемы. состоящей нз двух частыц: Я.Синай, Дннамнчесыне системы с упругим отражением, УМН ХХУ (1970), 141 — 192.— Прим. лврзз.
Задачи было блызко к предельному. Для обпсей зргодической системы время достыжеыыя предела должно быть характервстичегкым «временем возврата>, т. е. характериствческым временем, иеобходямым для возвращения системы достаточыо блызко к ыачальному состояывю. Обычно для макроскопычесюпс систем это время астроыомическн велвко. Поз>ему зажыо решить зепросс какие свойства механической системы делают «время релаксации>, т. е. время уетаыовлеиия разыозесня, гораздо меньшим времена возврата. Хотя это, бесспорыо, вопрос микродвиайикы, ыо ясыо, что сушествует какой-то дополиительный мехаыкэм, благодаря которому это проысходыт, и очень хотелось бы этот мехаыызм повять.
ЗАДАЧ Н [1. (а) Пусть у — пространство с зыутревввм произведеквем. докажвте, что зто зыутреииее произведение моисыо расшырыть ыа Р. Сначала покажите, что если х, уЕР„х«, у«цу ы х„-х. у„— у, то (х„, у„) сходится. Определите. внутреннее пронзаедеыые формулой (х. у) = = Иш(х„, у„) и покавсвте, что ово ве зависвт ог выбора сходюцвхся последовательностей. Наконец, покажите, что (., ) обладает ыеобходымымы сзойстзамв. (Ь) Докажите утверисдеиже (а), дважды применяя теорему об ограниченном лынейыом отобрахсеииы. «2. (а) Простой функцией называется коиечыая лыыейиая комбинация характерыстяческых фуикцый непересекающихся измеримых мвожестз. Покажите.
что простые фуикцвв плотвы з Аз[а, Ь). (Ь) Покажите, что любая простая функция ыа [а, Ь) мопсет быть сколь угодно точно (з смысле 1з) аппроксимирозава ступеичатымв. (с) Покажыте, что любая ступенчатая фуикцыя может быть аппрокснмирозаыа сколь угодно точыо (з смысле 1>) ыепрерызиой функцией, ы заключите ыэ этого, что С [а, Ь) плотно в 1.>[а, Ь) по ыорме в Е>. 8. Докажите, что если (с> в уз †взаим сынгулярные меры Бореля ва и и Р=Р -(-Р, то 1„>(>с, д)с) естествеыыо вэомоРфыо 1.>(сс, д)с,)Щ(.> (Е,д)сз). [,гана>алас пУсть и — множество, длп котоРого 1>с (А) = О и [сз (сс ° А) = О; замепыте [ ыа <(1 — )(Л) [, )(Л[>.) 4. (а) Докажите, что зиугреиыее провзведевые можно выразить через парму с помошью велссрнэацыоыыого тождества (х, у) = — [(Ц х+ у Цз — Ц х — у Цз) — с (Ц х-(- 1у Цз — Цх — >у Ц>) ).
1 ° (Ь) Докажите, что иормвроваывое линейное пространство есть пространство с внутренним проыззедеывем тогда ы только тогда, когда норма удовлетворяет тождеству параллелограмма. Ю. Пусть У вЂ” простраыство с внутренним проызведеыыем ы «х«)я с — орто- Ф иормырозавыое множество. Докажете, что х — ~ц~~ с„х„ достыгает мыиымума пры с„=(х„, х). [б. Пусть «Ф — любое линейное подмыожестзо гильбертова простраыстза Яй. Докажите, что ~Я.~. есть замкнутое лыыейное надпространство ы аае =(есеФ ° П. Гилэбзрлимм щюсиралсяма уу. Докажнте утвержденна о едынствеввоств в теореме 11.3 ы предшествующей лемме. )8.
Завершите доказательство следстзвя леммы Рысев. 9. Пусть езб — подпростравство гильбертова пространства Я~. Пусть мб — с — лввейнмй функцвоыал иа м$ с верхней гранью с. Докажыте, что существует едныствевыое расшыренве / до непрерывного лывейыого фувкцыонана ва уб с той же гранью С. (Заметым, что часть этого зерждеввя, относящаяся к сущестзоззыыю, есть в точвоств теорема ана — Бенаха для гыльбертозмк простраыств, см. б П1.3.) 10.
Првмевыте процедуру Грама — Шмидта к функциям 1, х, «з,.зз з интервале [ — 1, !) с внутренним провзведением 1.з ы получвте такам образом первые четыре полиыома Лежандра (с точностью до постоянных множытелей). И. Докакыте, что /.з(й) сепарабельно. [Указание: см. задачу 2.[ )12. (Прымер б й 11.1.) Говорят, что векториозвачыая функцвя / из пространства с мерой (Х, (з> з сепзрабельыое гыльбертозо пространство рб" ызмерима, еслы (у, /(х)) ~ взмерыма для асах 9ЕЯ~'. ш (а) Покажите, что если /(х) в 9(х) — кзмеримие векторвозвачные фуыкциы, то ц/(х)1[з ~ и (/(х), л(х)) ~ взмерымм.
ш М (Ь) Пусть [~ра)з з — баяне з Я~'. Докэжвте, что еслы ((Е Ез (Х, Ир; Я~'), то М ~~~,(фа й(х)) ° фа — й. а з ш ы еслв /~с/.з(Х, щ яб'), то (/, й),'5, '~ (/(х), ~ра) ° (~рз. 9(х)) ° бр(х). а ~х (с) Предположите. что йз (Х, бр) сепарабельыо, в докажите, что йз(Х, Щ Яб/) сепарабельыо. 13. Пользуясь врямммы суммамв, постройте весепарабельыое гнльбертозе пространство н весчетыый ортоыормыроваывий базыс.
чИ. В этой задаче требуется показать, что ряд Фурье ыепрермвиой фуывцыы поточечыо суммнруем к / по Чезаро. Рассмотрвм [О, 2ц) как группу гел со сложйивем шодйы в запишем ~ как ф. Пусть /(В)~/з[0, 2я) ы с — (сСче/ У2ц, /) (а) Пусть Зу/= ~я~~ счзгее/ ~ 2к. Докажыте, что (Ь) Пусть (Ел/)(В)= — ~ь~~(ба/)(В) (сумма Чезаро). Докэжнте, что 1 о я вч- зкь~.8,.юиг9Б*ь Вн(М+ 1) У З(нз (х/2) 61 (с) Пусть э!пэ (()У+ 1)/2] к 2п (]у+ 1) э!н (л/2) Докажите.
что К,у(х) — «О равыомерно в [б, 2ы — 6] для любого б > О. (б) Докажите, что (Еж/) (Оэ) — /(Оэ), если / огранячена ы непрерывна в Оэ. (е) Докажите. что еслы / непрерывна и перыодвчыа, то (Е!ч/) (6) — /(9) авномерно по 9. (Уяаэалиа: вспомните, чго ыз непрерывности ! на (О, 2ы] следует ее равномерная непрерывность.] (!) Покажите, что ]]] — Би/]]ая ]]3 — Еп/]]э, и заключыте отсюда, что З,у/ — '«/, еслы / непрермвыа. ]/б. Предположвм, что /ЕСр(0, 2и] и с„=(е! /У2ы, /), Ья=(агяя/ Ухы, /' (л)). (а) Докажите, что ~~,'~] Ь„]э < се. в заключите отсюда, что.~~~~~за]с„]а< ае.
(Ь) Докажите, что ~ ]с„] < ао, (с) Докажите, что,Ясяагэз/У 2ы равномерно сходвтся нрн М-~. со. (б) Воспользуйтесь 14(1) для вывода, что аг'с аГЯЯ/Ьгйм равномерно сходятся к /. 16. Докажите, что едыннчымй шар в бесконечномерном гыльбертовом пространстве содержит бесконечно много нелереярьиаюн!лхся трансляций шара раднусом У2/4. Сделайте заключение, что не может быть нетривиальной трансляцыонно-инвариантной меры в бесионечномерном гнльбертовом пространстве. (У. Докажвте теорему Пуанкаре о возвращении. Дано сохрюшиицее меру отображение Т на множестве Я меры )э(Щ < ае. Тогда при любом нэме- $ имом множестве, В~И бесконечно часто Тэлс=Е для почты всех х~Е.
результат утверждает, что почти каждое состояние в процессе эволюции бесконечно часто возвращается произвольно близко к начальному состоянию (это показывает. что флуктуации не прекращаются). (Указание. Пусть г"=(х]ТялфЕ при любых л > 0». Покажите, что (Т™Р» ве пересекаются в что тем самым г" имеет меру нуль.) 18. Пусть Т! — однопараметрическая группа сохраняющих меру преобраэованый пространства с мерой <И.
]э). Примените дискретную статнстигг ческую эргодыческую теорему к а! /(Тзв) 8! и докажите статистическую эе эргодическую теорему для 1нн у» /(Тгю) б!. е !9. Пусть У вЂ” оператор ыа гыльбертовом пространстве, удовлетворяющий 1 ~ч М вЂ” 1 неравенству ]] Уя]]~С при всех л, Докажите, что — %' У"/ — «Р/ для У я.э л=е всех/~Я~, где Р— проектор (необязательно ортогональнмй) иа (/] У/ /». 20. Рассмотрите единичную оыружность (аЕС] ]х]=1» с мерой Лебега. Пусть Т(з)=е™з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
