Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 14
Текст из файла (страница 14)
С микроскопической точки зрения, пожалуй, удивительно, что любая система должна приближаться к равновесию, поскольку микроскопически нет никакого стационарного состояния и, следовательно, никакого равновесного состояния. Тем не менее любая попытка микроскопического обоснования термодинамики должна объяснить, почему нулевое начало макроскопически выполняется. Среди физиков далеко нет общего мнения по поводу того, что именно составляет обоснование нулевого начала, но мы не хотим вдаваться в обсуждение всех рго и соп1га многих различных подходов, которые предлагалясь (см., впрочем, Замечания), Подход, которым мы ниже пользуемся, в общем прйнимается большинством физиков. Первая основная идея состоит в том, что термодинамические системы подвержены.
флуктуациям (см. задачу 17). Иными сло- то П. Ги»»бертоаа щюсл«»анс»««а вами, в силу самой своей прнроды законы термодинамики †э не абсолютные утверждения о системе в некий фиксированный момент времени; онн относятся к намерениям, проведенным за отрезки времени, длинные по сравнению с некоторыми характер'ными периодами, напрнмер временем столкновения нлн временем релаксации. Таким образом, термодинамика имеет дело с измерениями наблюдаемых величин, усредненными по некоторому периоду Т. Поскольку времена столкновений н т.
п. зависят от динамики, то можно надеяться доказать термодинамические утверждения лишь в отношении предела прн Т вЂ” ««». Как велико должно быть Т, чтобы среднее по интервалу Т было приближенно равно предельному значенню, †вопр мнкродннамнкн, но в некоторых специальных случаях можно надеятся кое-что доказать. Пусть состояние классической механической системы нзображается точкой в некотором фазовом пространстве Г.
Для каждого момента времени г существует отображение Т;, Г- Г, где Т,х — состояние, которое возникает к моменту т, + «из состояния.х в момент ««(мы предполагаем трансляционную ннварнантность по времени, поэтому г, не входит в качестве аргумента). Очевндно, что Т,+,— — Т,Т,. В классической механике такие наблюдаемые велнчнйй системы, как энергия нлн угловой момент, суть функции на фазовом пространстве. Итак, мы видим, что нмеет смысл изучать Вш — , '1ЬТ;) И. о Мы хотим показать, что этот предел существует, по крайней мере для непрерывных функций.
Обычно à — метрическое пространство, так что «непрерывность» имеет смысл. Но мы хотим, чтобы предел не только существовал, но еще н не зависел от начальной точки х, нлн по меньшей мере зависел только от нескольких «макроскопнческнх» наблюдаемых, которые мы можем связать с равновесным состоянием. Для систем, ннварнантных относительно сдвигов по времени, энергия — сохраняющаяся величина, так что средняя энергия совпадает с начальной. Следовательно, для каждой энергии Е мы рассматриваем поверхность постоянной энергии Из в фазовом пространстве н надеемся, что для каждого шб. Из н каждой непрерывной функции )' на Из т Вш — '~~(Т, )гм е существует н равен числу рЩ,.
не зависящему от ш. Тогда отображение ~» )«ф, очевндно, обладает такими свойствами: о. Эреодииеоиия ииория. Веедеиие ?1 (а) р (1) = 1, (Ь) И лннейно, (с) р Й=в О; еслн ~;з.б. Со временем мы увнднм $ 1Ч.4), что такое р всегда связано с некоторой мерой р на Ил, нормнрованной условнем р(1ея) = 1, так что Ий=) 1(еи)4 ( ). ая Впредь мы будем обозначать линейный функцнонал р н меру р одной буквой р.
Подведем нтог: мы показали, что если Вщ Т ~1 (Т4») лс о существует для каждого фнкснрованного еи н не завнснт от ее~ йл, то существует мера р на йи, такая, что т и — '~1~т, ~и= 1~~ие„~ ~. аю Мера р обладает одннм очень важным свойством. Пусть фнксн- ровано некоторое о, н пусть т„ — характернстнческая функцня нзмернмого множества Р~ йл. Тогда т т ~1х...(т )а-т)х,[тте)а. о так что если существует 1пп, то р (Т,-'Р) =р(Р), т.
е. эта мера т .и' ннварнантна. Илн, ннымн словамн, Т сохраняет меру. Класснческне механнческне снстемы наделены естественной ннварнантной мерой: еслн Г= Гое» (Ф вЂ” чнсло частнц), то мера Ые»до(е»р, как нзвестно, ннварнантна относнтельно гамнльтонова потока (теорема Лнувнлля). Суженне этой меры на йя формально задается формулой р (Р)=~б(Н(р,Ю вЂ” Е)б ?б р, где Н вЂ” гамнльтоннан. В явном анде, еслн мы выберем снстему ортонормнрованных локальных коордннат в х Е Ил, скажем (),,".,(). „° Фри= Сл'»- Е,~~ йгаб Н!.
11. Гиеебертсеее эссссеиистав Постоянная С выбирается так, что рв(ьев)= 1. Таким, образом, задача обоснования-нулевого начала сводится к тому, чтобы рассмотреть т (Рдг1)Ю= Т ~1(Т, ) и с и доказать, что в каком-то РазУмном смысле фУнкциЯ (еИг1)(ю) сходится при Т- ас к постоянной функции со значением ) 1(')4 ( ). Яв Заметим, что если бы это удалось, то доказано было бы значительно больше: не только, что измерения за большие периоды времени не зависят от начальных условий (кроме энергии), но также и то, что равновесное состояние описывается мерой в фазовом пространстве и эта мера есть б (Н (р, д) — Е) белре(ела — так называемый емикроканонический ансамбль».
Методы гильбертовых пространств — настолько мощный инструмент, что, коль скоро мы уже имеем меру, возникает желание попробоватьпереформулировать всюзадачувтерминахЕР(йв, Ырв). Итак, если1~Е*(1е», 4ев), определимотабражение У,:1~ 1оТ,, т. е. (ие1)(ю)= 1(Т( ). Лемма (лемма Купмана). У, есть унитарное отображение. 1Р (Ив, 4ев) на ЕР (Йв, 4ев) . Долавелпвльство. (Уе1, Уел)= ) 1(Т,в) гг(Трв) 4ев(в) ов - ~ Юйь)4;(Т;у)- пв = ~ 1(~) й (У) 4~в Ы = (1, й), ов где мы воспользовались инвариантностью меры рв. Так как УеУ е Ус=1, то У обратим и, значит, унитарен. 5 Мы хотим изучить т —,'~(У,1)()4 (), а 5.
Эреооачаиоае онорио. Вееоенае но проще рассмотреть дискретный аналог этого выражения Ф-1 Ца1 о Следующий элегантный результат решает вопрос о сходнмостн в дискретном случае. В задаче 18 результат с дискретного случая распространяется' на непрерывный. Теорема 11.11 (статистнческая эргоднческая теорема, нлн эргоднческая теорема фон Неймана). Пусть У вЂ” унитарный оператор на гильбертовом пространстве М. Пусть Р— ортогональный проектор на (~р~4>бМ, У$=ф. Тогда для любого 163~ И-1 11ш ~ (1 е~ Р~ «=О Докажем сначала элементарную техническую лемму.
Лемма. (а) Если У уннтарен, то У1=1 то~да н только тогда, когда У'1=1. (Ь) Для любого оператора на гнльбертовом пространстве М' (Кап А) х = Кег А'. Долазательспию. Чтобы доказать (а), заметим, что оба условия эквивалентны тому, что 1= 11-'~. Перейдем к (Ь). Включение ф~ Кег А' равносильно тому, что' (Ч>, А'Ф)= О для всех ~р из Я'. Но ~рЕ(Кап А)х означает, что (А<р, ф) О для всех <рЕЯГ. Теперь (Ь) следует нз определения сопряженного оператора. ° Доииатееьство сталшстической вргодической теоремы.
Положим сначала ~=у — Ул, т. е. )'Ейап(1 — У). Тогда !)~ ~ич(! 1 ' (е-и е)~(-'~'-'-о прн М- оо. Далее, з/3-прием дает ,') (1 "~ О л о в ° ~ее и — ии н* „,у, (Д (1 — и)).=К (1 — (1)=(р~(1-~р= ц)=(р1ир= И. Следовательно, Р1= О тогда и только тогда, когда 1~ Кап(1 — У).
74 У. Гильбортови лоаолзмлолао Допустим теперь, что Р«= 1. Тогда ясно, что и-~ Ул1 л о сходится к 1 Р1. Значит, предельное утверждение выполнено на цап(1 — У) и на Кег(1 — У'), а следовательно, и на множеонт — о~як и — и~, ~ л в силу теоремы о проекции и утверждения (Ь) леммы. ° Какие же функции из Е*(1оз, 4аз) удовлетворяют условию У~~ =1 в непрерывном случаеР Очевидно, что постоянные функции инвариантны. Оиределеиие. Преобразование (поток) Т, называется аргодическим, если единственные функции из Е.л(йю брл), которые удовлетворяют условию 1(Тро) =1(ю) почти всюду, суть постоянные функции. Из непрерывного аналога статистической эргодической теоремы (задача 18) вытекает такое Следапегое.
Пусть То эргодичен. Тогда для любого 1~ Е.л (ъоз,4~ ) 1'- Вт ф~р(тра)а '~ )Ыпр Ы ° (П.4) Дояазателоспмо. В этом случае «ф «Уф ф) одномерно. Следовательно, Рф есть константа С; причем С (1, ф) = ) ф (в) др (э). ° оз Заметим, что если выполнено (И.4), то Рф — константа, так что То должен быть эргодичным; таким образом, эргодичность есть необходимое и достаточное условие выполнения (П 4). Иногда бывает полезно выразить свойство эргодичности в терминах меры. Лредлаженгзе. Поток Т, эргодичен тогда и только тогда, когда для всех измеримых множеств Р~йз из равенства ТТ'Р=Р при всех Ф следует, что рл(Р) =О или рз(Р) =1. Доказателоспию.
Допустим, что Т, эргодичен и ТТ'Р=Р при всех 1. Тогда 1 у„— инвариантная функция и, значит, )(,. есть константа п. в., откуда следует, что 14(Р) =О или р(Р) =1. Обратно: допустим теперь, что выполнено второе условие. Тогда «в«1(в) < а) инвариантно относительно То, так что 1(ю) <а Ю. Зреедеееоеое теорие. Зеедекие п. в. нлн ~(еэ) ~»а п.
в. Так как это верно для всех а, то 1(ео) есть константа п. в. ° Условие, что нз Т,-'Р Р следует рв(Р) =0 нлн рв(Р) =1, называют иногда метрической транзнтнвностью. Итак, что же мы доказалн? Мы вывели условие на поток. Т„ необходимое н достаточное для того, чтобы предел 11пч — ~ ЯТРв) ~И был именно такнм, как мы хотели, но не в смысле сходимссгн г прн каждом и«; вместо этого мы получили, что —, 1(Тееэ)Ж ! г сходится в смысле 1.' к постоянной функции ,) У(ю) 4 (ео). ов Это н не удивительно, так как поточечная сходнмость — чуждое 1.е понятие. Пользуясь методами гильбертова пространства, мы потеряли возможность доказать, что сходится поточечно для каждого еэ прн Т- оо. На самом деле поточечный предел тоже существует, но это доказывается совсем иными методами. Мы сформулируем этот результат. Теоревеа 11.12 (нндивндуальная эргоднческая теорема, нлн эргоднческая теорема Бнркгофа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
