Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Докажите, что ограниченные борелевы функции на [О, [[ образуют наименьшее семейство зг, которое включает в себя С[0, ![ и обладает таким свойством: если /„— ясюмдеп»икыяасэ»э равномерно ограниченных функций из ф, таких, что /„— »/ поточечио, то /цзг; «17. Докажите следствие теоремы 1.(2. [/б.
(а) Докажите, что для любого отярытого множества А в (О, !) функция ух есть 1.!.предел непрерывных функций. (Ь) Пусть  — борелево множество в [О, ![. Докажите, что дэ есть ьцяредел характеристических функций !(л открытых м!южеств А (нон Регулярность меры Лебега). (с) Докажите, что С [а, Ь) 1.'-плотно в 1.' [а, Ь).
»1Р. (а) ПУсть /з — »/ поточечно и /„непРеРывпы. Докажите, что /-» Иа, «е)[ является гэ-множеством (т. е. счетным объединением замкнутых множеств). (Указание! используАте задачу [ба.) (Ь) Докажете, что каждое борелево множество на вещественной прямоА равно п. в. (относительно меры Лебега) некоторому ге. а также равно п.в. некоторому ОЕ (т.
е. счетному пересечению открытых множеств). «20, Функция / называется функцией сяачков, если она монотонна и непрерывна всюду, кроме счетного числа точек (скачков), и если / кусочно постоянна на дополнении к этим точкам. Функция / назмвается сингу- /. Предеиризмльяые омделил лярвой, если Г существует п. в. и равна нулю п. в. Фувыцня 1 вазывзется абсолютно непрерывной, если для любого заданного а можно найти такое д, что для любого л в точен «е, х„..., «з .„, л е вз г,' [ хм+,— хы [ < б саедует~я~~ [ ~ (хмет) — 1(хз!) [ < з.
Х ! о Донажите, что любая монотонная функция а ва [О, Ц может быть (однозначно) представлена в виде арь+а,!е +азы гдеазр — фунпцвя скачков, аз!ив сввгуляриа и непрерывна, а а„абсолютно непрерывна. 22. Пусть а — монотонная функция. Предположим, что а' (к) существует и. в. ь Донажвте, что а(Ь) — а (и) ) ) а' (к) бх. Всегда ли имеет место равенстзог а )22. Докажите, что о-нольцо замкнуто относительно счетыых пересечений. 28. (а) Пусть !Т вЂ” семейство подмножеств в М. Докажите, что существует навмевьшее о-поле ф, содержащее 4'.
Говорят, что ~Т порох!дает у.. (Ь) Пусть Т: М вЂ” д(, причем ва М н д! заданы о-поля Я' н д . Пусть ер порождает ф. Докажите, что Т измеримо тогда в только тогда, когда Т-т [3] ~Я для всех 3~!Т. 24. Пусть р, т — дзе конечные меры; Докажите, что ч абсолютно непрерывна относительно р тогда в только тогда, когда (уз) (Зб) вз р (А) < б вытекает т(А) < е.
2б. Рассмотрим функцию 1(х, у) ва Ез, определенную равенствами 1, х>0, у>0, Ол х — у~1, 1(к, у) = — 1, к > О, у > О, 0 < у — хе~ 1, 0 в остальных случаях. р о е / ю Вычислите ~ ( '] 1(х, у)бу)бх в ) ( ~ 1(х, у)ух~бр и прономмев— Ф вЂ” о Ю тируйте теорему Фубвнн в теорему 1.22. 2б. Постройте последовательность непрерывных функций ге, поточечно сходящуюся ы функции 1, не леллюи!едся непрерывной.
Дайте прямое доказательство того, что: (а) сходвмость [„(х) — 1(х) неравномерна по х. (Ь) семейство ги не является разиостепепно непрерывным. 27. Используйте еДьп рвем для доказательства следующего утверждения. Пусть  — полыое нормированное линейное простраыство, в пусть ҄— последовательность лвнейных отображений Т„:  — ~ В с двумя сзойствамв: (!) Т„равномерно ограничены, по л, т. е. [[Т„[[л С. где С не зависит ст л; (!!) Т„к сходится для аеех х вз некоторого плотного в В множества В. Тогда Т„х сходится для каждого к ы предельная функция Тх задает ограниченное линейное отображение Т:  — В. . 28.
Постройте .последовательность 1„(к) ограниченных функций ва [О, 1], сходящуюся в (.т н нулю. но поточечыо ие сходящуюся ин в одной точие нз [О, 1]. Т29. Используйте з/3-прием для доказательства теоремы 1.26. 80. Мотрнчесяое пространство Х называется влолие огриличеллыл, есле для каждого е его можно покрыть нонечиым числом е-шаров. Докажете, что поточечно сходящаяся равномерно равыостепеиво непрерывная последц- вательиость функций на вполне ограниченном метрическом пространстве сходится равномерно.
(а) С помощью свойства Гейне †Боре донажите, что непрерывная ва [О, Ц фушщвя равномерно непрерывна. (Ь) Докажите. что рззностепенво непрерывное семейство функций на [О, Ц равномерно. разностепеиио непрерывно. Пусть Р(», У) — непрерывная функция на [О, Цх[0, Ц. рассмотрим отображение Я'; С[0, Ц вЂ” С [О, Ц, задаваемое формулой 1 (е 1) ( ) ~ (» У) 1(У) У.
Докажите, что ф7] ][1][ чц1) — равностепенио непрерывное семейство, тав что любая заданная последовательность ге, для котоРой ]] 1„]] ч» 1 прв всех и, содержит подпоследовательиость узы> с равномерно сходмцнмся образом Щ,ць За»инанне. Именно последяее свой3тао делает ф отображением, известным под названием компактного (вполне непрерывного) оператора (онн рассматриваются в $ У).б). Классическая фредгольмова' теория интегральных урввиенвй основана на том, что (г — иомпаязиый оператор. (а) Пусть Р— некоторая область на вомпленсиой плоскости. Пусть ив завес семейство аиалвтвчесинх функций иа Р, что для любого компактного множества С<:Р множество (] г(х) [ ]У~~, »~Су ограничено. С помощью интегральной формулы Коши докажите, что ф'— равностепенио непрерывное семейство.
(Ьу Денюните теорему Витали о сходнмости: если Р-связная область комплексной плосхостн н гз — послеДовательность аиалнтнческнх функций на Р. равномерно ограниченных. на номпахтвых подмио. жествах в Р, н если 1„(») сходятся поточечно дюг всех з нз некоторого подмножества в Р, имеющего в Р предельную тачку, то 1 сходится равномерно на компактных подмножествах х аналитической функции, [,Улаэалигг используйте задачу 4.] (с) Докажите теорему Витали с помощью ряда Тейлора н аналитического йродолжеиня. Зазмчаянз.
Обсужхзиие теоремы Витали с точнн зрения пункта (с) можно найти в хниге: Е. Титчмарш, Теория функций, Госгехиздат, М., 1951. и. гнльвнгтоаы пространства Госпооо, е гиегбартаеом простое мотне остоетса тме много места. с. маклнин ИЛ. Геометрия гильбертова пространства Конечномерные векторные пространства обладают тремя типами свойств, обобщения которых мы изучим в следующих четырех главах: линейными свойствами, метрическими свойствами н геометрическими свойствами.
В этой главе мы займемся векторными пространствами с внутренним произведением, которое представляет собой обобщение обычного скалярного произведения в конечномерных векторных пространствах. Геометрические свойства этих пространств связаны с понятием угла, заложенным в определении внутреннего произведения.
Олределелие. Комплексное векторное пространство У называется прост(танством с внутренним произведением, если существует комплекснозначная функция (:, ') на УхУ, удовлетворяющая следующим четырем условиям при всех х, у, г~У и а~ С: (1) (х, х) ) О, причем (х, х) = О тогда и только тогда, когда х = О; (й) (х, у+г) (х, у)+(х, г); (й() (х, ау) а(х, у); ()т) (х, у) = (у, х). Функция ( °, ) называется внутренним произведением.
Заметим, что из (И), (Ш) н (Гт) следует, что (х, ау+юг) а(х, у)+р(х, г) и что (ах, у) =а(х, у). Предупреждаем читателя, что в некоторых учебниках пользуются условием, отличным от ((Н), а именно определяют внутреннее произведение так, что оно линейно по первому вектору и сопряженно-линейно по второму. Пример 1 (Се). Пусть С" обозначает множество всех наборов л комплексных чисел. Для х = (х„... х„> и у= <у,., у„>.
из С" положим' по определению (х, у) ,'5~ха~. Л)ивмер л. Пусть С[а, Ь1 — множество комплекснозначных непрерывных функций на интервале [а, Ь~. Для Г, уЕС[а, Ь1 Л Геометрия еияоберяиии яроетрииетеи положим (Г, р) = ) Г" (х) д(х) бх. е Теорема ИЛ (теорема Пифагора). Пусть (х„ф,— ортонормиро- ванное множество в пространстве У с внутрейним произведением. Тогда для всех хбУ и.н - в ~и, *.и 4*-х ~*.. е*.~~'. я 1 Ц ям! Дохазалмльспию. Запишем х в виде х =,'Я (х, х) х„+ (х —,'Я (х, х) х„~), Короткое вычисление, основанное на свойствах внутреннего произведения, показывает, что ;5,' (х„х) х„ и х — ~ч~' (х„х) х„ ортогональны.
Позтому (х, х) =,'~ я(х„, х) х„+ — ~ч~~ (х„х) х = ~~.", ~(хт х))'+ х — ~„'(хт х)х„. ° Саидснзнае (неравенство Бесселя). Пусть (хе)~',— ортонормнрованное множество в пространстве У с внугрейним произведением. Тогда для всех хбУ йхйе~ )~ )(х, х„))'. Теперь мы введем те геометрические понятия, которые имеют смысл в любых пространствах с внутренним произведением. Онредееземае. Два вектора х и у в пространстве У с внутренним произведением называются ортогоиальиымн, если (х, у) =О.
Набор (хД векторов в У называется ортонормироваиным множеством, если (х„х,)=1 при всех ( и (хь х~) =О, если ) чь(. Введем сокращенное обозначение йх))=ре(х, х). Скоро мы увидим, что й ~~ является на самом деле нормой. !!. Гильберпиаы лросмраиеэма Следствие (неравенство Шварца). Если х и у — векторы в про- странстве У с внутренним произведением, то 1(х, у) ~(~~хв ~~~у~~. Доказажельсиию.
Случай у= О тривиален, поэтому положим уча О. Вектор у,'й у ~[ сам по себе образует ортонормированное множество, так что, применяя неравенство Бесселя к любому хну, получим ~(хг~нх, уЛЫГ=фФ, откуда следует ~(х, у) ~(~~х ~1 ~)у ~(. ° Еще одно полезное геометрическое равенство — тождество па- раллелограмма (задача 4): ~~ х+ у ~(*+ ~~ х — у ~~' = 2 ~~ х ~~'+ 2 (( у ~~'. В 2 1.2 мы определили нормированное линейное пространство и заметили, что всякое такое пространство является метричес- ким. Следующая теорема показывает, что всякое пространство с внутренним произведением есть нормированное линейное про- странство. Теорема П.х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
