Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следующие условия эквивалентны: (а) Т непрерывно в одной точке; (Ь) Т непрерывно во всех точках; (с) Т ограничено. Оврвде венце. Будем говорить, что пространство <У, ~~ ° 11> полно, если оно полно как метрическое пространство в метрике, индуцированной нормой. Если <Х, 11 А )1> †нормированн линейное пространство, то Х как метрическое пространство по теореме 1.3 имеет пополнение.
Используя факт плотности Х в Х, легко увидеть, что Х только одним естественным способом можно превратить в нормированное линейное пространство. Все сказанное прекрасно иллюстрируется следующей важной теоремой и ее доказательством. Теорвлцз У.У (об ограниченном линейном отображении). Пусть Т— ограниченное линейное преобразование из нормированного линейного пространства <г", (1 ~~,> в полное нормированное линейное пространство <У„ ((- 11,>.
Тогда Т единственным образом может быть расширено до ограниченного линейного преобразования (с прежней нормой) Т из пополнения пространства К, в <У„(( $>. Доказагпзльсеао. Пусть У,— пополнение У,. Для каждого х из Ч, существует последовательность (х„) элементов из У„ такая, что х„ — х при а- оо. Поскольку (х„) сходится, она является последовательностью Коши, и поэтому для заданного е можно найти такоеча, что 1(х„— х„~(~(з ~~Т)~, если и, т> У.
Тогда оценка 11 Тх„— Тх ~~, = 'ц' Т (х„— х ) ((, ( ~~ Т (! ~~ х„— х )(, ( е доказывает, что (Тх„) — последовательность Коши в У,. Так как У, полно, то' Тх„. сходится к некоторому уЕУ,. Положим Тх=у. Прежде всего нужно доказать, что это определение не зависит от выбора последовательности (х„), сходящейся к х. Если х„- х и х„' х, то последовательность х„х,', х„х'„... х, и в силу уже приведенных аргументов Тх„Тх„'...
— у для некоторого у. Но в таком случае Ит Тх„'= у= 1пп Тх„= у. Более того, можно и ю л-~.яЕ показать, что определенный так оператор Т ограничен, ибо ~~ ~Тх ~~1, = 11ш )( Тх„~), ( (см. задачу 8) л-~ю ( 1гш С~(х,)[,= (см. дополнение к 5 1.2) = С)(х)),. 2. Метричесние и нор«ори«аннет «инсан!ее лространстаа 23 Доказательство линейности и единственности мы оставляем читателю. ° С помощью доказанной теоремы можно дать весьма элегантное определение интеграла Римана. Пусть РС[п, Ь) — семейство ограниченных, непрерывных справа (т. е. таких, что !1ш1(х) =1(у)), «еу кусочно-непрерывных функций на [а, Ь1, обладающих тем свойством, что 1пп1(х) существует для всех у и равен 1 (у) для всех у, «зу' кроме конечного числа.
Наделим РС[о, Ь1 нормой зпр (~(х)~. «е(е. Е) Пусть х„..., х„— разбиение отрезка [а, Ь1, хе =а, х„Ь. Пусть Хе(х), е=1, 2, ..., и — 1,— характеристическая функция полу- интервала [х; „х!), а у„(х) — характеристическая функция отрезка л [х„„х«1. ФУнкцию на [а, Ь1 вида ~~~~ ~э!У!(х) с вещественными з; ! ! называют ступенчатой функцией (чтобы понять почему — нарисуйте график). Множество всех ступенчатых функций для всех возможных конечных разбиений является нормированным линейным пространством с нормой ! л ~ ~~~~ з!)(; (х) Й = яер ~ ~ч~~~ зеу! (х) ~ = гпах ~ з! ~. ~! ! ц ««е!а, е!! ! ! !....,л Обозначим это пространство через 3 [а, Ь1. Хорошее упражнение (задача 10) — доказать, что 3[а, Ь) плотно в РС[п, Ь1. Для любой л ступенчатой функции ~ з,у„в согласии с интуитивным понимает! кием интеграла ) Д~~ аз!у! (х)1 е(л мы полагаем по определению / л л 1 [ ~~.'~ зете(х) ) = ~~.'~ з;(х; — х;,).
Тогда 1 — линейное преобразование из 5[а, Ь1 во множество вещественных чисел, а из оценки ! ,е л л 1 Я з!Хе )~= ~,"Язе(х! — х,,)~~(шах ~зе!,~~ (х! — х! «)~~ ! ! е=! ~~~ч~~~зд„.~~ „(Ь вЂ” а) видно, что 1 — ограниченное линейное преобразование. Поскольку множество вещественных чисел полно, 1 можно однозначно продолжить на 3 — пополнение 3 (теорема 1.У). Это расширение, 1. предваэшпвюньи с«»д««ия суженное на РС(а, Ь1, называется интегралом Римана и обозн»- чается ь 1 (1) = ) 1 дх. Несмотря на то что этот способ не выглядит наиболее прямой реализацией интуитивного определения интеграла Римана, поразмыслив, можно понять, что проведенное построение на самом деле представляет собой перевод «обычной» конструкции на язык пополнения и теоремы об ограниченном линейном отображении.
Оно иллюстрирует суть общего подхода функционального анализа: для того чтобы определить что-то иа нормированном линейном пространстве, часто удобно определить нужный объект на плотном множестве и продолжить его с помощью теоремы об ограниченном линейном отображении. Читателю следовало бы попробовать свои силы в построении интеграла Римана †Стильтье (задача 11). Используя такой же метод, можно определить интеграл Римана для непрерывных функций, принимающих значения в любом полном нормированном линейном пространстве, в частности для комплекснозначных функций.
Дололлоиме к й 1.2. Верклмй и омно»мй препоны Понятия верхнего и нижнего пределов могут быть незнакомы читателю, поэтому мы приводим здесь их определения и основные свойства. Определение. Пусть А ~  †бесконечн ограниченное множе. ство. Пусть ! пп р! (А) = (совокупность предельных точек множе- ства А!.
Тогда верхний предел множества А определяется так: 1ппзпр А =пгп А=зпр (х!ха!пир((А)1. Аналогично нижний предел равен ! 1гп ! п1 А = !пп А = 1п1 (х ! х ~ 1пп р! (А) ), Замечания. 1. Когда А ограничено, множество 1ппр1(А) по тео. реме Больцано — Вейерштрасса всегда непусто. 2. Если А не ограничено сверху, мы полагаем ПтА =+со. Если А ограничено сверху, но 1йп р1(А)= И, мы полагаем 1пп А = — оо. 3.
Фактически Пт А лежит в !пп р1 (А). Действительно, пусть Ь =! пп А, и пусть задано е > О. Можно найти такое а 6 11гп р1(А), что ! Ь вЂ” а ! < е/2. Поскольку а ~ !пп р! (А), можно ' найти а Е А, для которого !а — а! <е/2; в итоге по заданному е найдено г(ЕА, для которого !Ь вЂ” д! < е, так что Ьй!!гпр1(А). Верхний предел допускает другое весьма простое описание; доказательство мы оставляем читателю. Предложение. Пусть Ь =!пп А, Тогда для з > О множество АВ(а!а >Ь+з) конечно, а А()(а~а >Ь вЂ” е) бесконечно.
В случае последовательности 1а„) говорят, что ЬЕ йп р1!а„), если для всех й! и всех в существует такое п > У, что ! Ь вЂ” а„! < е; в этом случае полагают 1ипа„=зпр(Ь!ЬЕ!ппр1(а„Ц. Наконец, перечислим свойства 1пп (сформулированные для ограниченных'множеств; полезное упражнение — выяснить, какие из них переносятся на неограниченные множества). Прадлаж енин. (а) Йт (а„+ Ь„):с 1пп а„+ 1пп Ь„; (Ь) 1ппа Ь„<(!1ша )(1ппЬ„), если а„., Ь„~О; (с) 1пп (са„)=с)ппа„, если с>О; (б) !пп (са,)=с(ппа„, если с< О. 1.3.
Интеграл Лебеге Выше мы видели, что на С[а, Ь) существуют две вполне естественные метрики. В й !.5 мы увидим, что С[а, Ь) с метрикой б,(Г, а)= зпр 1Г(х) — а(х)~ кк!а, и! является полным метрическим пространством. С другой рассмот- и ренной нами метрикой б, (~, а) = !! à — й ~~ „где (~ Ь ~(, = ) ( й (х) ~ бх, пространство С[а, Ь] неполно. Чтобы убедиться в этом на примере С [О, Ц, рассмотрим функцию Г„, изображенную на рис.
1.3. А ° ф е Р и с. 1.3. График )„. 1. Предварит«я»нее« сведения Нетрудно понять, что в метрике !! ~)«такие функции р образуют последовательность Коши, которая, однако, не сходится ни к какой функции из С[О, 11; напротив, в некоем интуитивном смысле она «сходится» к характеристической функции отрезка [1!4, 3/4~ (которая, конечно, не лежит в С[О, 11!).
Пространство С[а, Ь) с метрикой !! !!, всегда можно пополнить, реализуя элементы пополнения как классы эквивалентных последовательностей Коши непрерывных функций, но эта' .реализация отнюдь не отличается прозрачностью! Рассмотренный выше пример наводит на мысль попытаться реализовать элементы пополнения как функции. Бсли бы это удалось, мы ь сумели бы определить интеграл ) ~1(х) 1«(х (просто как е(ь (1, О)!) а для любой функции из пополнения. Простейший путь такой реализации — попробовать действовать в обратном порядке.
Введем расширенное понятие интеграла на большем, чем С[а, Ь1, пространстве — назовем его Ь'[а, Ь1. Затем докажем полноту 1,'[а, Ь1. Тогда в соответствии с общей теорией замыкание С в г.' будет полным (причем окажется, что С- С.'). Как же можно расширить понятие интеграла Римана? В основе обычного определения риманова интеграла лежит разбиение обласлги определения ~ на все более. и более мелкие части.
Для т-т е!я-1 тя ев Рис. 1.4. Интеграл Римини (слева) и интеграл Лебега. «скверных» функций этот метод не подходит. Простейшее усовершенствование состоит в делении на все более мелкие части области значений ( (рис. 1.4). Такой метод чувствительнее к виду функций и потому в состоянии охватить большее нх многообразие. ' Итак, мы интересуемся множествами вида ~-»[а, Ь] и их размерами. Предположим, что у нас есть некая функция !ь, задающая размер множеств и обобщающая функцию !ь([п, Ь1)=Ь вЂ” а. Мы вскоре вернемся к этой функции н увидим, что не все множества обладают «размером». Поэтому мы ограничим тнп функций Г, требуя, чтобы множества )-! [а, Ь1 имели «размеры». Глядя на рнс. 1.4, для ~)0 положим по определению ~. (О - Š— „и (1 ' [ [ —, —,Я) ° Тогда Х „ф~Х„(Д, так что 1пп Е „([)=»ар(Е „(1)) существует -«л а л-ааэ * л (он может быть равен оо). По определению мы полагаем ) 1ох равным этому пределу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
