Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Заметим, что для технических целей (т. е. для. доказательства теорем!) принимается другое определение; оно эквивалентно данному, но доказать это нелегко. Однако прн неформальных размышлениях лучше всегда иметь в виду определение' с помощью 1ипЕ, (~). Итак, мы свелн исходную задачу к проблеме расширения понятия размера. Прежде всего нужно решить, какие множества должны иметь размер. Почему не все? Существует классический пример (ем. также задачу 13), который показывает, что размер не может быть определен для всех множеств в Г««, если мы хотим, чтобы он был ннварнантным относительно вращений и переносов (н не был тривиальным, например нулевым для всех множеств): можно разделить единичный шар на конечное число экзотических кусков, передвинуть эти куски с помощью вращений н переносов н, собрав нх заново, получить два шара с единичным радиусом (парадокс Банаха — Тарского).
Таким образом, все множества не могут обладать размером, н потому лишь некоторое нх семейство Я будет семейством «нзмеримых множеств». Какими же свойствами мы хотим наделить Я? Желательно, чтобы н Г-«[[0, а)1, н Г-«[[а, со)1 были измеримы (~~0), следовательно, чтобы 8 обладало свойством: А ЕЗ влечет за собой К",А ~З.
Далее, когда Г непрерывна, мы хотим, чтобы Г '[(а, Ь)1 лежало в Я, следовательно, л) должно содержать открытые множества. Наконец (в согласии с нашим интуитивным пониманием размера), мы хотим, чтобы и „",А = Х,И(А.), если А„попарно не пересекаются, т. е, мы хотим, чтобы 11 А„ЕЯ, если каждое А„бй?. л=! Оиредел«!г«ае. Борелевы мно!кества прямой Г«образуют наимень- шее семейство множеств из Г«со следующими свойствами; /.
ПС!«З!инсиси«иьин«с«сдеиии (!) семейство замкнуто относительно дополнений; (В) семейство замкнуто относительно счетных объединений; (((!) семейство содержит каждый открытый интервал. Наи»сеньисве семейство с такими свойствами существует. В самом деле, если (Я„)и«А — совокупность семейств, обладающих свойствами (!), (В) и (си), то этими же свойствами обладает и П Яи. Таким образом, пересечение всех семейств со свойста«в вами (!) †((В) есть наименьшее такое семейство.
Теперь определим меру Лебега множеств из Ж вЂ” борелевых множеств в К. Определен!хе. Пусть Ю вЂ” семейство всех счетных объединений попарно не пересекающихся открытых интервалов (т. е. в точности семейство всех открытых множеств), и пусть l и )с~ () (а;, Ьс)~;» (Ь,— ас) ,с=! (допускается бесконечное значение). Для любого В ЕЯ положим по определению !»(В)= (п! р(1). с«з асс Это понятие размера имеет четыре'основных свойства: Теорема 1.В. (а) р(И)=0. (Ь) Если (А„)„" с~ Я и А„попарно не пересекаются (А„П А„= И с е ю при всех гпчьн), то р! 0 А„)= ",Е р (А„).
«и=! с»=1 (с) р(В)= (п! (р(1)!В с= 1, 1 открыто). (с$) !«(В)=зцр ()с(С)! С ~ В, С компактно). Бесконечная сумма в (Ь) содержит только положительные члены, поэтому она либо сходится к конечному числу, либо расходится к бесконечности, и в таком случае мы полагаем ее равной ии. Свойства (с) и (б) говорят о том, что любое боре- лево множество может быть приближено «снаружи» открытыми множествами, а «изнутри» вЂ” компактными.
Напоминаем читателю, что на вви«вственной прямой множество компактно тогда и толь- ко тогда, когда оно замкнуто и ограничено, В итоге мы расширили обычное понятие размера интервалов, и теперь понятно, как надо определить семейство функций, кото- рые мы будем рассматриватьс Онределемгге. Функция 1 называется борелевой функцией, если 1-с((а, Ь)1 — борелево множество для всех а, Ь. Часто удобно разрешать функциям принимать на малых множествах значения ~ оо; в таком случае мы требуем, чтобы ~-'Ц~ со)] было борелевым. Предложение. ~ — борелева функция тогда и только тогда, когда )'-'[В1ЕЯ для всех ВЕЛ (см.
задачу 14). Из этого предложения следует, что композиция двух борелевых функций является борелевой. Во многих книгах рассматривается несколько более широкий по сравнению с борелевым.класс функций. В них множество М называется измеримым, если справедливо равенство М() А, = В() А„где  — борелево и А; ~ Вн В, борелевы и удовлетворяют условию р(В;)=О (т. е, к боре- левым множествам добавляют и из них вычитают «несущественные» множества). Измеримая функция определяется как функция ~, для которой ~-'[(а, Ь)1 всегда измеримо. В таком случае ' из измеримости ~ и д уже не следует измернмость композиции ~'оу и возникает много технических проблем. Во всяком случае мы имеем дело «юлька с борелееыми множествами и функциями и нользуенся' словами «борелеео» и «измеримое» как синонимами.
Множество борелевых функций замкнуто относительно многих операций. Пред.еожаигее. (а) Если 1, у борелевы, то таковы же и ~+у, )у, шах((,у) и ш(п(Ц, у). Если у борелева и ХЕК, то и А~ борелева. (Ь) Если каждая 1'- борелева, н = 1, 2, ... и ~,(р) 1(р) для всех р, то г борелева. Поскольку ~~~=шах(Д, — Д, функция ~~~ измерима, если )' изме има. ак мы коротко пояснили выше, имея ~) О, можно определить интеграл ) 1".«Ы (для которого допускается значение со). Если ') ~ г ~ бк,'( со, мы пишем г Е Я' и по определению полагаем ) ~ «(х= ) ~ «(х — ) 1". «(х, где)+ — — шах (1, О); ) = шах ( — ~, 0). Через Я'(а, Ь) обозначается множество функций на (а, Ь), попадающих в У', если продойжить их на всю вещественную прямую, доопределяя нулем вне (а, 6).
Когда ~ Е.У' (а, 6), мы пишем ь ) г«(х= ') гак. Тогда справедлива а Теорема е.у. Пусть г и у — измеримые функции. Тогда (а) если ~, уЕ.У'(а, Ь), то этим же свойством обладают (+д и Х~ при всех ХЕ Е; (Ь) если ~д((~ и ~ Е.Я", то убей', ь . Пр«двитьиньвьььные и»ед»нин ( с) ) (~+ й) бх = ) 1 ох+ ~ й г(х, если 1 и я лежат в .Я", (б) ~ 1 1 «(х ~ < 111! д Г 6.2" (е) если 1<и, то ) 1бх<) них при условии, что 1, яЕ.Я"; ф если 1 ограничена и измерима на — оо < а< Ь < оо, то ) ~.У' и (ььь)~~ь — ~( р ~ьиь~) Эта теорема показывает, что ) обладает всеми хорошими свойствами интеграла Римана, хотя он и определен для более широкого класса функций. Вскоре мы определим очень важное для дальнейшего пространство 1.«; те свойства, благодаря которым оно полно, описываются следующими фундаментальными теоремами о сходнмости: Теорема 1.10 (теорема о монотонной сходимости).
Пусть функции 1, -.ь О измеримы. Предположим, что 1„(р) — 1(р) для каждого р и что ~,+,(р) )~~ (р) для всех р и а (в таком случае мы пишем 1,,ььД. Если ~~~,(р)~бр<С для всех л, то ~Е.2ь' и ( ~Яр) — 1„(р)~~г(р — О при а- оо. Теорема 1.11 (теорема о мажорированной сходимости). Пусть 1„(р) — ) (р) для каждого р; предположим, что ! 1„(р) ~ < б (р) для всех п и некоторой функции, бЕ.У'. Тогда ~~.Я" и ) ~~(р)— — Г (р) ~4> .О при и- последнем слу«ше мы говори~ ~ тельность 1„. Существование мажорирующей функции — решающее 1 обстоятельство.
Например, пусть 1„(х) = — тг,,ь(х).Тогда 1„(х) О для каждого х, но ) ~ ~„~ ььх= 2, так что ~ ~1„(х) ~ ах не стремится к нулю. Нетрудно понять, что в этом случае зцр)~„(х)~=6(х) н не лежит в .У'. Казалось бы, мы уже можем определить ьг' как метрическое пространство, положив р Д, е) = ) ~ 1 — л ~ Ых. Однако пока сделать это нельзя, ибо равенство ) ~ 1 — я ~ «(х = О не означает, что 1 = — я (например, 1 и е могут отличаться в одной точке). Поэтому объясним сначала, что означает термин «почти всюду» (п. в): Оаределеиае.
Будем говорить, что свойство С(х) имеет место почти всюду (и. в.), если (х~ С(х) ложно) есть подмножество множества меры нуль. 8. Интеграл еегбта Определение. Будем говорить, что две функции ~, й~.У' эквявалентны, если г(х) л(х) п.в. (т. е. ~ ~г — у~с(х=О).
Определанна. Множество классов эквивалентности в Я' обозначим через (.', Е' с нормой ((уйе = ) ~у ~дх есть нормированное линейное пространство. Таким образом, элементы 1.' — это классы эквивалентности функций, равных и. в. В частности, когда ~ ~ 1.'„символ )'(х) для конкретного х не имеет смысла. Тем не менее мы продолжаем писать )(х), но только в ситуациях, когда утверждения не зависят от выбора представителя класса эквивалентности..апрнмерр, утверждение' ~ (х) ~(х) дал почепа всех х — не зависит от представителей, выбранных для ~ и. у„.
С помощью такой замены по- точечной сходимости на поточечную сходимость почти всюду наши две теоремы о сходимости переносятся из .У' в Е'. Предупредив читателя о том, что для ~ Е 1Р символ у (х), строго говоря, бессмыслен, заметим, что в некопюрих слеп(иальних случаях он имеет смысл. Предположим, что ~.Е1.' имеет представитель ~ (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
