Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для того чтобы подчеркнуть, что некоторая функция ~ зависит от двух переменных, мы будем иногда писать ~(., ). Тогда символ ~(, у) обозначает функцию одной переменной, получаемую нз ~( , .) при фиксированном значении у второй переменной. Линейная функция'иначе будет называться оператором, нли линейным преобразованием. Все рассматриваемые нами функции всегда будут однозначными: функция из множества Х в другое множество К, обозначаемая любым из способов ~: Х У, I Х вЂ” У' или х~ у(х), на каждом элементе хб Х принимает одно н только одно значение из множества У. Если А~Х, то ((А« = Ц(х)«хЕ А» есть подмножество в У, а если В~У., то (-'(В~= «х«г(х)ЕВ» — подмножество в Х. Множество )'»Х» мы будем называть областью значений функции у и обозначать символом д Предварительннв сезэиэг Кап1.
Множество Х называется областью определения функции 1. Функцию 1 назовем ннъективной (или взаимно однозначной), если для каждого элемента уЕКап1 существует не более одного элемента х б Х, такого, что 1(х) = у; сюръективной (или отображением на), если Кап1=У; биективной (или цростобиекцией), если она одновременно н ннъективна и сюръективна. Сужение функции 1 на подмножество А ее области определения будем обозначать через г 1 А. Всли Х~А, то характернстическ»яэ функцию 1(л (х) мы определим формулой ( 1, если х ЕА, ул(х) =( '1 О, если х(А.
В дальнейшем нам понадобятся два теоретико-множественных понятия, несколько более содержательных, чем простые обозначения. Обсудим нх чуть подробнее. Назовем отношением Я на множестве Х любое подмножество Я декартова произведения ХхХ; если (х, у) б)с, то будем говорить, что элемент х находится в отношении Я (или в Р-отношении) к элементу у, и писать хну. Олределеиае.
Отношение 1с называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим требованиям: (1) (Чх б Х) хРх (рефлексивность); ' (11) (Чх, у~ Х) из хну следует уЯх (симметричность); (ш) (Чх, у, гб Х) из хну, у)сг следует х1тг (транзитивность). Множество элементов. нз . Х, находящихся в Я-отношении к заданному элементу х б. Х, называется классом эквивалентности элемента х и обозначается 1х). Легко доказать, что справедлива Теорема 11. Пусть Я вЂ” отношение эквивалентности на Х. Тогда каждый элемент хб Х принадлежит единственному классу эквивалентности. Таким образом, отношение эквивалентности естественным способом разбивает множество на непересекающиеся подмножества: Пример 1 (целые числа по модулю 3). Пусть 2 — множество целых чисел. Вудем писать хну, если разность х — у кратна трем. Это отношение эквивалентности разбивает ~ на три,класса эквивалентности: О = ..., — 6, — 3, О, 3, 6, ...», 1 = ..., — 5, — 2, 1, 4, 7, ...», и миажесоиа и функции Прамер 2 (вещественная проективная прямая).
Пусть Š— вещественная прямая и Х вЂ” множество ненулевых векторов в пространстве И=ЕхР. Для х, уЕХ будем писать хну, если существует такое а Е К, что х = ссу. Классы эквивалентности представляют собой проходящие через начало прямые (из которых выколота точка (О, О)). Обратимся теперь к обсуждению леммы Цорна. Определении.
Отношение Я на множестве Х, обладающеесвойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности (последнее означает, что хну и уРх влекут за собой равенство х= у), называется отношением частичного упорядочения (или просто частичным упорядочением). Если Я вЂ” частичное упорядочение, то иногда вместо хну мы будем писатв х(у, Щюимер 3. Пусть Х вЂ” набор всех подмножеств фиксированного множества У. Будем писать А(В, коль скоро АсВ.
Такопределенное отношение ( задает частичное упорядочение. Слово «частичныйэ в данном выше определении употреблено по той причине, что два элемента множества Х не обязаны находиться ни в отношении х(у, ни в отношении у(х. Если же для всех х и у из Х или х(у, или у(х, то множество Х называется линейно упорядоченным. Например, вещественная прямая Й линейно упорядочена обычным отношением (. Предположим теперь, что множество Х частично упорядочено отношением ( и У ~=Х.
Элемент р Е Х называется верхней гранью множества У, если у ( р для всех- у Е У. Если условия т Е Х, т(х ведут к тому, что х=т, то т называется максимальным элементом множества Х. Лемму Цорна, в зависимости от точки зрения, можно либо рассматривать как основополагающее предположение теории множеств, либо выводить из других основных постулатов (она, в частности, эквивалентна аксиоме выбора). Мы придерживаемся первой точки зрения как на лемму Цорна, так и на остальные факты теории множеств.
Теорема ЬЯ (лемма Цорна). Пусть Х вЂ” непустое частично упорядоченное множество, такое, что каждое его линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань. Тогда каждое линейно упорядоченное множество в Х обладает некоторой верхней гранью, которая является в то же время максимальным элементом в Х. Отметим, наконец, что мы будем пользоваться символом Халмоша ° для обозначения конца доказательства. 1.2. Метрические н нермнренаннме нннейные пространства На протяжении всей этой книги мы будем иметь дело с разнообразными множествами функций, операторов или других объектов и часто будем сталкиваться с необходимостью как-то изме- 6 ять расстояние между элементами рассматриваемого множества.
о этой причине разумно ввести обобщение понятия расстояния, обладакнцее наиболее важными свойствами обычного расстояния в К~. Оаре делен ан. Метрическое пространстве — это множество М вместе с вещественнозначной функцией д( °, ), определенной на М х М и удовлетворяющей следующим требованиям: (!) сК(х, у):О; (й) б(х, у) =О тогда и только тогда, когда х=у; ((1!) и(» у) =п(у «)' ((т) с6(х, г) ~ сК (х, у)+Ы (у, г) (неравенство треугольника!.
Функция о называется метрикой на М. Элементы метрического пространства мы часто будем называть точками. Подчеркнем, что метрическое пространство представляет собой пару, состоящую из множества М и метрики л; в общем случае данное множество Х можно превратить в различные метические пространства, задавая на ХхХ различные метрики. случаях, когда из контекста не ясно, о иакой именно метрике идет речь„.мы будем указывать ее явно, обозначая метрическое пространство -символом <М', б>. Пример 1. Пусть М=й". Евклидово расстояние между точками х <х„ ..., х„> и у= <у„ ..., у„> задается функцией б (х, у) = Р (х,— у,)*+...
+(х„— у )'. Пример й Пусть М вЂ” единичная окружность в К-', т. е. множество всех пар вещественных чисел <а, р>, таких, что а'+~' = !. Одна из возможных метрцк на окружности такова: И, (<а, р>, <а', р'>) = Другая возможная метрика получится, если положить Ы,(р, р') равным длине меньшей дуги, соединякнцей точки р и р' (рис. !.!). Пример 3. Пусть М=С(О, (! — множество непрерывных вещественнозначных функций, определенных на отрезке (О, (1. Любая с. Маовнааеслио и нормоооааннаи аинаянааа лоссолюнсоии !7 из двух метрик 1 й,Д, я) шах ~~(х) — у(х)~, На()', а)= ~~~(х) — й(х)~Нх,' на[0, 11 о превращает М в метрическое пространство. Рв с.
1.1. Метрики Еа в и*. Теперь, когда мы располагаем понятием расстояния, можно говорить о сходимостн. Определение. Говорят, что последовательность элементов (х„)„", метрического пространства <М, Й) сходится к элементу хЕМ, если й(х, х„) — 0 при а оо. Мы часто будем записывать это в 4 виде х х или Иш х,=х. Если х не сходится к х, мыбудем н >о писать х ~4.х. В примере 2 'мы 'имеем с(,(р, р')~(с(а(р, р') ~ (па(1(р. Р), нли а1 кратко б,(с(а(пс(,, Это приводит к тому, что р„- р тогда и аа только тогда, когда р р. Однако в примере 3 разные метрики порождают разные понятия сходимости, и, поскольку ба(б„ сходимость по метрике й, влечет за собой сходимость по метрике Н„но обратное не верно. Примером служит последовательность функций е„, изображенных на рис.
1.2, которая сходится к нулю по метрике й„но не сходится по метрике Н,. В этом легко убедиться при помощи важного иоиятия последовательности Коши. Определение. Последовательность (х„) элементов метрического пространства <М, Н> называется последовательностью Коши, если (Уз ) О) (ЗМ) из и, оа о М следует с( (х„, х ) < з. Предлалеемие. Любая сходящаяся последовательность есть последовательность Коши.
1. Предеаритееьные ееедениа 1З Доказалеельсепво. Пусть х„- х и е >О. Найдем такое Ф„что е((х„, х) <е(2 при а)Ф. Тогда при и, еп)й1 получим а (х~, х~) ев е((»„, х)+41(х' х~) яе 2 8+ 2 8 Ж е « иее ~в-~ 1 зи «.е Рис. 1.2. Грефик ее(е). Олредве«ялле. Метрическое пространство, в котором любая последовательность Коши сходится, называется полным. Например, К вЂ” полное метрическое пространство, а (е — нет. Можно доказать (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
