Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2 1.3 и 1.5), что пространство <С [О, Ц, «1,>— полное, а пространство <С [О, Ц, «1«> — нет. Пример с пространствами (е и е«подсказывает, что нужно сделать, чтобы неполное метрическое пространство Х превратить в полное.' Нужно просто расширить пространство Х, добавив к нему «все возможные пределы последовательностей Кошки. Исходное пространство Х в таком случае будет плотным в объемлющем пространстве Х в смысле следующего определения.
Вернемся теперь к функциям, изображенным на рис. 1.2. Легко видеть, что при а~т расстояние «1 (у„, у ) =1, так что у„не есть последовательность Коши в <С[0, Ц, 4> и, следовательно, не может сходиться по метрике е(,. Итак, йоследовательность (у„) сходится в пространстве. <С[0, Ц,е(,>, но не сходится в <С[0, Ц, «1,>.
Хотя, как мы видели, каждая сходящаяся последовательность есть последовательность Коши, следующий пример показывает, что обратное не верно. Пусть «1 — множество рациональных чисел с.обычной..метрикой (т.е. е((х, у)=~х — у1), и пусть х' — любое иррациональное число (т. е. х* ~ й'~0). Найдем последовательность рациональных чисел х„, сходящуюся в е«к х*, Тогда х— последовательность Коши в «е, но она не может сходиться в Ю ни к какому рациональному числу у (ибо если бы х„- у в Я, то х„- у в е«, и мы имели бы у=хе).
2. Меновичеасие и нормированные линейные лиоенинвненвеа 19 Огзрвделвнпв. Множество В называется плотным в метрическом пространстве М, если любой элемент н«~М является пределом последовательности элементов из В. Конечно, если заранее не известно большее полное пространство, содержащее исходное неполное пространство (в отличие от случая Ю и в«), то неясно и каковы «все возможные пределы последовательностей Коши». Тот факт, что «пополнение» все же возможно, составляет содержание теоремы, которую мы вскоре сформулируем, но сначала дадим несколько определений. Олрвдвлвяпв. Функция г из метрического пространства <Х, Н> в метрическое пространство <У, р> называется непрерывной в е точке х, если 1(х„) — ~(х), когда х„- х.
Мы уже встречались с примером последовательности элементов ~, ев е, в пространстве С 10, Ц, такой„что Г„-'- О, но ~„ть О. Эго, в частности, означает, что тождественное отображение пространства <С 10, Ц, в(в> в пространство <С10, Ц, б,> не непрерывно, но тождественное отображение из <С10, Ц,«1,> в <С(0, Ц,е(в> непрерывно. Опрвдввзвгепв. Биекция й из <Х, б> в <Т, р>, сохраняющая метрику, т. е. такая, что р(й(х), Ь(у)) д(х, у), называется изометрией.
Она автоматически непрерывна. Если такая изометрия существует, то говорят, что пространства <Х, д> и <У, р> изометричны. Изометричные пространства неразличимы по своим"метричес- ким свойствам; любая теорема, касающаяся только метрической структуры пространства <Х, й>, будет выполняться и во всех изометричных ему пространствах, Теперь мы точно сформулируем, в каком смысле неполное пространство может быть расширено до полного. Творема Е.З. Если <М,е(> — неполное метрическое пространство, то существует полное метрическое пространство М, такое, что М изометрично плотному подмножеству в М.
Набросок дохазавпеньснма. Рассмотрим последовательности Коши 1х,) элементов из М. Назовем две последовательности (х ) и (у 1 эквивалентными, если 1пп е((х„, у„) = О. Пусть М вЂ” семейство классов эквивалентных последовательностей Коши. Можно пока- зать, что для любых двух последовательностей Коши (х ), (у ) предел 1ппб(х, у„) существует и зависит только от классов Д П редея рисиееьнвн сведения эквивалентности этих последовательностей.. Этот предел определяет метрику на М, в которой М оказывается полным метрическим пространством. Наконец, отобразим М в М, сопоставляя каждому элементу х постоянную последовательность (х = х). Легко убедиться в том, что такое отображение л плотно вкладывает М в М и является изометрией, ° Завершая наше обсуждение метрических пространств, мы хотим ввести еще два понятия — определить открытые и замкнутые множества.
В качестве образца читателю следует при этом иметь в виду открытые и замкнутые множества на вещественной прямой. Оаределемае. Пусть <Х. с(> — метрическое пространство. (а) Множество (х(х б Х, с((х, у) < г) называется открытым шаром В (у; г) радиуса г с центром в точке у. (Ь) Множество Ос Х называется открытым, если (1гу б О) (яг > О) В(у; г)сО. (с) Множество ФсХ называется окрестностью точки убФ, если В(у; г)сФ при некотором г > О. (б) Пусть ЕсХ.
Точка х называется предельной точкой множества Е, если (1гг >0)В(х; г)О(Е'~(х))чьО. Иначе говоря, х — предельная точка множества Е, если Е содержит точки, оепличные ош х,' но сколь угодно близкие к х. (е) Множество РсХ называется, замкнутым, если Р содержит все свои предельные точки. (1) Пусть Ос=Х; то пса хбО называется внутренней точкой множества О, если Π— окрестность точки х. Для себя читатель может самостоятельно доказать следующий набор элементарных утверждений: Теорема 1.4.
Пусть <Х, с() — метрическое пространство. (а) Множество О открыто тогда и только тогда, когда множество Х",О замкнуто. (Ь) х„х тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сч' точки х существует натуральное число М, такое, что х ЕМ для всех сп>М. (с) Множество внутренних точек любого множества открыто. (б) Объединение множества с семейством всех его предельных точек замкнуто.
(е) Множество О открыто тогда и только тогда, когда оно является окрестностью каждой своей точ1ки. Одно из главных применений открытых множеств — проверка с их помощью сходимости на основе свойства (Ь) в теореме 1,4, в частности проверка непрерывности функции с помощью следующего крс(теряя, доказательство которого мы оставляем читателю в качестве упражнения: е.
Мвтривеснив и нсииированнвт еинейане нространстеи 21 Теорема I.А Функция 1( ) из метрического пространства Х в метрическое пространство у непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого открытого. множества Ов=)е множество 1 '101 открыто в Х. Наконец, мы хотим предостеречь читателя, что в неполном метрическом пространстве замкнутыемножества часто на первый взгляд могут показаться незамкнутыми. Например, множество ~1/2,1) в пространстве (О, 1) с обычной метрикой замкнуто.
Мы завершим этот раздел обсуждением двух центральных понятий функционального анализа: нормированных линейных пространств и ограниченных линейных преобразований. Оаредвлеееие. Нормированное линейное пространство — это векторное пространство У над полем К (или С) вместе с функцией 11 11 из 1' в к (нормой), удовлетворяющей условиям: (1) 1~ о 11 ) О для всех о из У; (11) о11=0 тогда и только тогда, когда о О; (ш) ~взо11 =1ев111о(1 для всех о из У и ев из к (или С); (1и) )о+вв11(11о'11+1)иг11 для всех о и вв из К. Оврвделвавзе. Ограниченное линейное преобразование (ограниченный оператор) из нормированного линейного пространства <У„~НЦ> в нормированное линейное пространство <К„~).~~в>— зто функция Т из У, в е'„удовлетворяющая условиям: (1) Т(сво+()гв)=ееТ(о)+()Т(ва)(ево, вв~Р)(Уа, 1) ~К или С); (ц) 11То11в =С11о)~, при некоторой константе С„нО, не зависящей от вйбора о~К. Наименьшее из таких чисел С называется нормой оператора Т и обозначается через (~Т11, или 11Т11в,в Таким обрааом, 11 Т 11= зпР 11 То'11в.
Исав=в Поскольку ниже мы подробно изучаем эти понятия, мы не будем приводить здесь много примеров, а отметим только, что Кн с нормой 1~ <«, ..., «н>11=$/1«в+. + «1в и С10, 11 с любой из норм 1 ~~~~~„- зцр 1)(«)~ или ~~~~~,=~~~(«)1е(« являются нормированными линейными пространствами.
Отметим также, что любое нормированное линейное пространство <У, 11 11> есть метрическое пространство с расстоянием, заданным функцией е( (о, в) =1(о — в 11. Таким образом, в <1~, 11 ° (1> переносится понятие непрерывных функций, которое в случае линейных функ- д Предвариглельвае сведения ций реализуется ограниченными линейными преобразованиями. Доказательство этого факта мы оставляем читателю. Теорема Ле). Пусть Т вЂ” линейное преобразование между двумя нормированными линейными пространствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
