Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Покажите, что Т эргодычио тогда ы только тогда„ когда 9 иррацыоыален. П. Гилэбертааы вросжраасама 2). Пусть Я вЂ” компактыое метрическое пространство с метрикой р ы неко-. торой мерой р. Пусть Т вЂ” сохраняющее меру эргодвческое преобразоваыые с дополввтельным свойством р(Тх, Тр)=р(х, р). (Например. отображеиве Т задачи 20 с иррациональным 6.) Покажыте, что еслы ) — ве- 1 Ф-1 прермаиан фуикцыв иа Я, то йТ ~~>~~ ) (Т«ю) раанамерно сходится «О к ~ /нр.
[Увангниа. Ловажвте, что семейство 1 Ф-1 (М.тЛ(ю) г ~~у )(Т'ю) «о разномерно раавостепеыно вепрермаыо, а потом воспользуйтесь статистической эргоднческой теоремой ы теоремой Аскезы.] «22. Пусть (т]«)„— множество вектороа а гильбертоаом пространстве Яр. таках, что а„м=](«)«, Пм)! есть матрица (а естественном базисе) оператора А иа 1э( — с«, е«).
Локавппе, что ."Е (Ч. ц )]1~!]А]]]]П]4 л -« длн любого )ЕМ. 28. Пусть 8« — оператор, определеыиый а примере 2 4 4. (а) Локажыте, что З„ве завысит от базиса (фа). (Ь) Локажвте, что 8«~ —— 8«и 8«=3„. (Ухпзавнс: покажвте, что о«=о-э.) (с) Проделайте (а) и (Ь) для А„. «24. Пусть гМ, Я, р> — пространство с и-конечной мерой. Пусть чу« =(ХЕб)! р(Х) < со!. Будем ыазывать Х, У~бйр экаывалентыммв тогда и только тогда, когда р(ХЛг)=0, где ХЛ1' (Х~У)()(г ~Х).
Пусть Яр — семейство классов зкаыаалевтиоств Яр по этому отношению. (а) Локажыте, что р(Х Л'г) завысит только от классов эквыаалеытвссти" Х ы Т з Яр. (Ь) Локюкыте, что Ян с функцией р (Х, 1') =р(Х Л Г) есть метрыческое пространство. (с) Локажвте, что ьэ(М. бр) сепарабельыо тогда в только тогда, вогда Яр с метрыкой р — сепарабельвое метрическое пространство. «2б. Найдите конечное простраыстао с мерой (т. е. такое (М, Я.
р), что (М) «в), чтобы ьа (М, бр) было весепарабельыым. (Указание. оэьмнте несчетное декартово произведеыые множеств эыда (О,1].] уб. Локажвте, что утаерждеыые (с) теоремы П.10 следует вз утаерждеивй (а) в (Ь). 27. Локажвте теорему о проекции, пользуысь существованием ортонормыроваинмх базисоа. !И. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА йейисао ай адеигйит — острейшее оружие матемавиош. Это гамбит гораздо болев тонкий, вем шахматнийг шахматист макет иожериюсеатг неиссой или даже фигурой, но математик иредлагает в жертву всю иартию. Г.
Х, ХАРДИ !!!Л. Определения и примеры В 51.2 мы определили нормированное линейное пространство. Поскольку нормированные линейные пространства суть пространства метрические, они могут обладать свойством полноты. Олроделемпе. Полное нормированное линейное пространство называется банаховым пространством. Ванаховы пространства обладают многими свойствами к»: это векторные пространства, норма в них определяет понятие асстояния 'и всякая последовательность Коши имеет предел.
ообще говоря, норма не порождается внутренним произведением (см. задачу 4 гл. 11), поэтому банаховы пространства не являются непременно гильбертовыми и не обладают многими хорошими геометрическими свойствами последних. Чтобы познакомить читателя с типами банаховых пространств, которые чаще всего встречаются, обсудим подробно 'несколько примеров. Прплгер ! (1."(В) и его подпространства). Пусть 1."(В) — множество (классов эквивалентности) комплекснозначных измеримых функций на В, таких, что ~)(х)~(М почти всюду по мере Лебега при некотором М < оо (1 я означает )(х) я(х) почти всюду). Пусть й 1 ~~„— наименьшее такое М. Легко показать (задача 1), что 1." (В) — банахово пространство с нормой )К~„.
Ограниченные непрерывные функции составляют подпространство С(В) в Ь" (т), и сужение нормы ! '!„на С(К) есть обычная зпр'-норма, относительно которой С(В) полно (поскольку равномерный предел непрерывных функций непрерывен). Таким образом, С(!!) — замкнутое подпространство в Ь" (К). Рассмотрим множество я(К) непрерывных функций с компактным носзйелем, т. е. таких непрерывных функций, котбрые равны нулю всюду вне некоторого замкнутого интервала. Это нормированное линейное пространство с нормой ! д„, но не полное. Пополнение и(К) не совпадает со всем С(К); например, если функция 1 всюду равна единице, ее нельзя аппроксимировать никакой функцией нз м(В), поскольку ! 1 — В~~„ «) 1 для 111. Бамаамм аааоааааоааа всех 2~и(К).
Пополнение х(к) есть в точности С„(В) — множество непрерывных функций, стремящихся к нулю на ~оо (задача 5). Некоторые из самых мощных теорем функционального анализа (теоремы Рисса — Маркова, Стоуна — Вейерштрасса) это обобщения свойств С(В) (см. $ ГЧ.З и 1ЧА). Пример 2 (1У-пространства). Пусть (Х, р) — пространство с мерой и р>1. Обозначим через Аг(Х, 4ь) множество классов эквивалентности измеримых функций, удовлетворяющих условию ~~~~~,оа ~1(х) ~~бр(х) (оо.
Две функции эквивалентны, если они отличаются лишь на множестве меры нуль. В следующей теореме собраны многие из стандартных свойств пространств ьг. Теорема П1.1. Пусть 1~ р < оо; тогда: (а) Если 1, 2Е1У(Х, Ир), то 11~+2~1,~ ~~1~~,+1!2~~, (неравенство Минковского). (Ь) 1У(Х, Ир) полно (Рисс — Фишер). , (с) Пусть р, а и г — положительные числа, удовлетворяющие условиям р, а, г)1 и р '+а '=г '. Предположим, что ~ба/(Х, 4ь), 2~1.а(Х, 4а); тогда ф~Е.'(Х, 4в) и !!М1!.~!!Л !!21~а . (неравенство Гельдера), Доказательства этих неравенств не содержат ничего особенно поучительного, так что мы их опустим (ссылки см.
в Замечаниях), Неравенство Минковского говорит о том, что 1У (Х, йр)— векторное пространство и что ~~ ~~р удовлетворяет неравенству треугольника. В сочетании с (Ь) это показывает, что сг(Х, бр) есть банахово пространство. Мы доказалн (Ь) в случае, когда р = 1, Х =к и р †ме Лебега; доказательство общего случая совершенно такое же. Прамер 3 (пространства последовательностей). Существует хороший класс пространств, который легко описать и которым мы будем часто пользоваться для иллюстрации различных понятий.
В следующих ниже определениях а= (а„ф., .1. Оэрвдиеиии и примера всегда обозначает последовательность комплексных чисел: 1„= ) а ) )) а )) „= зпр ) а„) < оо ); с,= (а~))ша„=О); 1р= а )а)рии ~~.",)а ')р < оо, з=)а)1)шпра„=О для всех положительных целых р); 1 )и ~ю' (а) а„=О для всех, кроме конечного числа а1. Очевидно, что ~~=зт1рас,с1„. Пространства 1„й с, суть банаховы пространства с нормой )Н); 1р — банахово пространство с нормой )).))р (заметим, что это следует из примера 2, так как 1р=1.р(К, йр), где р — мера с единичной массой в положительных целых точках и нулевой массой во всех других точках). Как мы увидим ниже, з — пространство Фреше ($ Ч.2). Одна из причин, почему удобно иметь Дело с этими пРостРанствами, та, что 1 плотно в 1р (по ноРме )Н)р, р< оо) и плотно в с, (по норме )).)) ).
Кроме того, множество элементов 1, состоящих лишь из рациональных чисел, плотно в 1р и в с,. Поскольку это множество счетно, 1, и с, сепарабельны, Пространство 1„не сепарабельно (задача 2). Пример 4 (ограниченные операторы). В 5 1.3 мы определили понятие ограниченного линейного преобразования или ограниченного оператора из одного нормированною линейного пространства Х в другое У; будем обозначать множество всех ограниченных линейных операторов из Х в У через .У(Х, У).
Можно ввести норму в .Я', положив Эту норму часто называют операторной нормой. Тасгрема Ш.2. Если У полно, то Я'(Х, У) — банахово пространство. Доказательспыо. Поскольку любая линейная комбинация ограниченных операторов есть ограниченный оператор, .2'(Х, У)— вейторное пространство. Легко видеть, что )) )) есть норма; так, например, неравенство треугольника доказывается простым вычислением: р ))"*)) + р ~~~" ~~ -)) А))+))в)). *р О )!Х)) и Фо Нх)) псл щ ц и Покажем, что .У(Х, У) полно.
Для этого надо доказать, что если 1А„»," ! — последовательность Коши по операторной норме, те существует ограниченный линейный оператор А, такой, что 11 А„— А 11 О. Построим А следующим образом. Для любого х~ Х последовательность (А х»„" ! есть последовательность Коши в г . Тзк как г полно, А„х сходится к некоторому элементу у ~ г . Положим Ах у. Легко проверить, что А — линейный оператор. Из неравенства треугольника вытекает, что » 11 А„11 — 11 А»~! ( ~~ А„— А 11, и, значит, ЯА„11»„" ! — последовательность Коши вещественных чисел, сходящаяся к некоторому вещественному числу С. Итак, ~! Ах~~г= 1пп ~~ А„х~~, ~11ш ~» А„~»~~х~~х — — С~»х»~х, и А' — ограниченный линейный оператор. Надо еще показать, что А А по операторной норме. Так как 11 (А — А )х11 = =1пп ~!(А — А )х~), то т-» ю !!и:-ыэ!.< в ! л — л ! 11хй откуда следует, что 11 А А»» зпр 1 (4 4~ х11 ~ 1 ~~А л!О 11х! ' щ где правая часть произвольно мала при достаточно больших и.
Неравенство треугольника показывает, что норма А йа самом деле равна С. ° Важно иметь критерии .для определения полноты иормйрованных линейных пространств. Такой критерий дает следующая теорема (доказательство которой составляет задачу 3). Последовательность 1х»„", элементов нормированного линейного пространства Х называется абсолютно суммируемой, ' если ФФ я ~~!! ~~х,)~ < оо. Она называется суммируемой, если 2', х, схоа 1 в ! дится к хчХ, когда У- ао, Теорема Ш.8. Нормированное линейное пространство полно тогда н только тогда, когда каждая абсолютно суммируемая последовательность суммируема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
