Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Типичное приложение этой теоремы — конструкция факторпространств в $ П1.4. Заключим этот вводный раздел некоторыми определениями. ОвЧмделеиие. Ограниченный линейный оператор из нормированного линейного пространства Х в нормированное линейное 2. Соараееенневе и вторив соареаеенние аространства 87 пространство У называется нзоморфизмом, если он является непрерывной биекцией с непрерывным обратным. Если он к тому же сохраняет норму, то его называют изометрней. Например, в $ П.З мы доказали, что зсе сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства изометричны 1е. Два изометричных банаховых пространства могут рассматриваться как одно н то же, пока онн нас интересуют лишь как банаховы пространства.
На нормированном линейном пространстве часто бывают заданы две различные нормы. Ощмдеезимпе. Две нормы ~~ ~~, и ~~-~~е на нормированном линейном пространстве Х называются эквивалентными, если существуют положительные константы С и С', такие, что для всех х~Х СЙх~~,(~~~х~~е~<С'1~к~!,.
Например, эквивалентны следующие три нормы в К*: !!< е>ь Р'иГ+ТиГ. й <х, у> ~~, ~ х ~+) у ~, ~~<х, у>~~ =шах(~х~, ~у~). На самом деле все нормы в йв эквивалентны (см. задачу 4). Обычная ситуация, с которой мы будем встречаться,— это неполное нормированное линейное пространство с двумя нормами. Пополнения этого пространства по каждой из двух норм изоморфны тогда и только тогда, когда нормы эквивалентны. В качестве примера можно рассмотреть пространства последовательностей из примера 3. Пополнение'у по норме й.в есть с„ а его пополнение по норме ц З есть 1р.
Две нормы и' ~~е и ~~.$ на нормированном линейном пространстве Х эквивалентны тогда и только тогда, когда тождественное отображение есть изоморфизм между <Х, ~Я~,> и <Х, ц ~~,>. Н!.2. Сеприжениые и втепые сеепэяиееиные престраистве Выше было доказано, что множество ограниченных линейных операторов нз одного банахова пространства Х в другое г само является банаховым пространством; В случае когда У составлено из комплексных чисел, это пространство .У (Х, С) обозначается Х' и называется сопряженным к Х.
Элементы Х' называются ограниченными линейными функционалами на Х. В этой главе, говоря о сходимостн в Х', мы всегда имеем в виду сходимость по норме, Ш. Баяалаевс л»аспчизэс»ма указанной в теореме 111.2. Если хб Х', то ~]у„п= эир ~ х(х) ~. »ел, э «Ц~! В $1Ч.5 мы обсудим другое понятие сходимости в Х'. Сопряженные пространства играют важную роль в математи-, ческой физике. Во многих моделях физических систем, будь то в квантовой механике, статистической физике или квантовой теории поля, допустимым состояниям системы можно сопоставить линейные функционалы на подходящих банахьвых пространствах. Кроме того, линейные функционалы играют важную роль в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. По этим причинам, а также потому, что они интересны и сами по себе, сопряженные пространства хорошо изучены.
Два главных направления исследования таковы: определение сопряженных к отдельным банаховым пространствам или поиски общих теорем, связывающих свойстве банаховых пространств со свойствами их сопряженных. В этом разделе мы изучим несколько примеров, представляющих специальный интерес, и докажем одну общую теорему. Пример другой общей теоремы — теорема 111.7 ниже. Пример У (пространства Ь»).
Допустим, что 1 ( р ( ао н р-'+д-' 1. Если ГЕ1.»(м) и л~Ьч(м), то, согласнонеравенству Гельдера, ф лежит в 1Р(м). Значит, $ й(л) 1 (х) бл -в имеет смысл. Фиксируем йй(.и(К) и положим 6 ф= ) л(х) 1(х)дл для всякого 1~ 1.»(м). Неравенство Гельдера показывает, что 6( ) — ограниченный линейный функционал на 1.»(м) с нормой, меньшей или равной ~~йЦ; фактически эта норма равна йф~ .
Справедливо также обратное утверждение. Именно, всякий огра- ниченный линейный функционал на 1.» имеет вид б( ) с некото- рой л~э 1.ч. Далее, различные функции в Еэ порождают различные функционалы на 1,». Значит, отображение, которое каждому д б 1,ч ставит в соответствие свой линейный функпионал б ( ) на Ь» (м), есть (сопряженно-линейный) изометрический изоморфнзм между 1.э и (1,»)'.
В этом смысле Ье есть сопряженное к 1.», А так как р и д входят в выражение р-'+д-'=1 симметрично, то 1.»= (1э)'=((Ь»)')', т. е. сопряженное к пространству, сопряжен- ному к 1.», есть опять Б». 2. Соирялсенные и вторые сопреасенные иростронстеа зз Случай р=! особый. Сопряженное к 1.!(К) есть 1. (К), причем элементы Ь" (К) действуют на функции из 1,!(К) естественным образом, задаваемым приведенным выше интегралом. Однако сопряженное к 1."(м) не есть 1.! (К), но гораздо более широкое пространство (см. задачи 7 и 8). На самом деле, как мы далее докажем (гл. ХУ1), Ь! (т) не является сопряженным ни к какому банахову пространству.
Утверждения о сопряженности этого примера выполнены и для Б'(Х, с()е), где. <Х, )!) — общее пространство с мерой, за тем, однако, исключением, что Ье(Х) может быть сопряжено к Ь" (Х) лишь тогда, когда <Х, 1е) тривиально мало. Пример 2 (гильбертовы пространства). Если положить р=2 в примере 1, то !)=2, и мы получим, что 1.е(К)=1е(К)', т. е. 1.е(К) — сопряженное к самому себе. Фактически мы уже показали (лемма Рисса) в й П.2, что это верно для всех гильбертовых пространств. Еще раз предупредим читателя, что отображение, отождествляющее М с М', сопряженно-линейно. Если яЕЖ то линейный функционал, отвечающий я, есть 6 (1) = (д, 1). П1эчаеев)э 8 (1„= 1;, 1,= с,').
Допустим, что ()!оф., Е 1,. Тогда для всякого (а„)Г,бее сумма Л((ае) д= ~Й )!еле сходится, и Л( ) есть непрерывный линейный функционал на с, М с нормой, равной ~, '~)!е~. Убедимся, что все непрерывные лис=! нейные функционалы на с, порождаются таким путем. Пусть А~с'„г и пусть е* — такая последовательность в с„у которой все члень!, кроме единицы на й-м месте, равны нулю.
Положим )!е=)! (ее) с и 1! = ~~.", (~ )!е ~,~)!е) ее. Если какое-либо )!» — нуль, этот член в сумме е=! просю опускается. Тогда при каждом 1 имеем 1!Есе и 81!((т=1. Так как Х(1!)=Х ~)„! и !)!(1!)!«!~1!!!т!~) !!., то Д!)е!<11)!1,. Но это справедливо для всех 1, поэтому ~ ~)!е~ <оо и о=! Л ((аМ-~ = йее )!епэ о ! !1!. Баюакоюс лраемраосслва — корректно определенный линейный функционал на с,, Однако Х(.) и Л( ) совпадают на конечных линейных комбинациях е'. Так как эти конечные линейные комбинации плотны в с„мы заключаем, что Х Л.
Значит, всякий функционал из с; порож- дается некоторой последовательностью из 1т, и читатель может самостоятельно убедиться в том', что нормы в 1, и с,' совпадают. Следовательно, 1, 4. Аналогичное доказательство позволяет убе- диться в том, что 1 =1;. Так как сопряженное Х' к банахову пространству Х само есть банахово пространство (теорема П1.2), оно тоже имеет со- пряженное к нему пространство, обозначаемое Х".
Это Х" на- зывается вторым сопряженным, или бисопряжеииым, или дважды сопряженным к пространству Х.. В примере 3 1,— первое сопря- женное к с„а 1„— второе сопряженное. А рг(ог1 не очевидно, что Х' всегда ненулевое, и если Х'= [О[, то Х"=10) тоже. Однако такого не происходит; сопряженные пространства всегда содержат много линейных функционалов. Мы докажем зто в сле- дукицем разделе.
Воспользовавшись одним доказанным там же следствием, мы покажем, что Х можно естественным образом рассматривать как подпространство в Х". Теорема Иг.4. Пусть Х вЂ” банахово пространство. Для всякого хб Х пусть х(.) — линейный функционал на Х', который прй- писывает каждому А б Х' число Х (х). Тогда отображение 1: х —. х есть изометрический изоморфизм между Х и (возможно, собст- венным) подпространством в Х". Джааипельатмо. Поскольку [ х (Х) [ = [ Х (х) [ < [[ Х [[ ° [[х [[, х — ограниченный линейный функционал на Х с нормой [[х[[х-К ч: [[х[[„, Из теорем 1П.б и 1П.6 следует, что для данного х можно найти такое Х~Х', что [[ Х [[х 1 и Х (х) [[х [[х, Отсюда видно, что [[х [[х- = зпр [х (Х) [ ~ [[х [[х, хех', и я,вс ~ и, значит, [[х[[х. = [[х[[х.
Следовательно, 1 есть изометрия Х в Х". ° Ом)зидедеиае. Если отображение 1, определенное в теореме П1.4, сюръектнвно, то говорят, что Х рефлексивно. Пространства ЕУ (К) рефлекснвны при 1 < р < со, поскольку (1У)'* = (Щ'= Ьр, но Ь' Щ не рефлексивно. Все гильбертовы 8. Теорема Хана — Бенаха 9! пространства рефлекснвны. Пространство пе не рефлексивно, так как его второе сопряженное есть !„.
Теорйя рефлексивных пространств развивается далее в задачах 22 и 26 этой главы н в задаче 15 гл. Ч. 111.3. Теорема Хана — Банвха Прн работе с банаховыми пространствами часто приходится строить линейные функционалы с некоторымн определеннымн свойствами. Обычно это делается в два приема: сначала этот линейный функционал определяется на каком-нибудь подпространстве банахова пространства, на котором нужные свойства легко проверить, а затем привлекается (нлн доказывается) общая теорема, утверждающая, что любой такой функцнонал можно продолжить на все пространство с сохранением требуемых свойств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
