Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть Т вЂ” сохраняющее меру преобразование на пространстве с мерой <И, 1е>. Тогда для любого 1й1.«(И, 4е) к-~ !пп — ~>' 1(Т х) к л «О существует поточечно п. в. н есть некоторая функция 1о й 1,е (ье, е(р), удовлетворяющая условию 1" (Тх)=1е(х).
Если р((е)(оо, то ~ «» (х) Нр, (х) ~ 1(х) ~()е (х). в Я 7б П. Гальбзракмм арасшраисжаа Далее, если 1» эргодичиа и р(ьа) =1, то м-1 -!у 2" Пт х) „' 1 1 (у) др (у) а и при почти всех х. Эта теорема ближе к тому, что требуется для обоснования статистической механики, чем теорема фои Неймана, и модно говорить, что теорема фон Неймана для статистической механики ие годится. Нам кажется.
что это преувеличение. Имей мы только теорему фон Неймана, мы бы и с нею прекрасно прожили. В типичных ситуациях начальные условия нельзя измерить точно, поэтому можно было бы связать начальные условия с мерами Я», такими, что 1(»()» 1, и в этом случае теоремы фои Неймана достаточно.
Однако теорема Биркгофа, к счастью, выполняется, и, конечно, удобнее пользоваться именно еюдля обоснования утверждения, что средине по фазовому пространству совпадают со средними по времени. Наконец, остается вопрос, эргодичныли на самом деле классические механические потоки иа поверхностях постоянной энергии. Об этом интересном, но трудном вопросе мало что известно. Однако, как показал недавно Синай, газ из твердых шариков в ящике является эргодической системой.
замечания .б ПЛ. Хорошим справочииком по гильбертовмм простраистаам может слу- жить первая глава киыги П. Халмоша: Рап! На!пюз, !п1гобпс1!оп 1о НПЬег1 Зрасе, СЬе1«еа, Вгопх, !Че«г Уо«Ь, 1967. Его книга: Гни»бартова пространство в задачах, «Мир», М., 1970, состоящая ыз задач с указзииями и решеииями, трудыа, ио очеиь полезиз читателю. уже приобретшему опыт.
Стаидартвмй З,:, к с Ф. Рисса и Б. Секефальвы-Надя, Лекцыи по фуикцыоиальиому аиалызу, , М., 1954, содержит приложения к ыытегральимм уравыеивям. б П.2. Лемма Рисса била доказзиа иезависымо Ф. Рыссом (Р. ц!езз, Бог пйе езресе бе йеоше1г!е апа!упепез без зуз(Ьшз бе 1опс1юпз зопппаЫе, С. !«. АсаА Зс!. Рагм, 144 (!907), 1409 — 141!) и Фреше (М. РгбсЬе», Бпг !ез епзшпЫез без !опсгюпз е1 !ез орбгз1!опз Нпба!г«а, С.
)7. Ас««(. Зс». Раста, 144 (1907), !414 — !416). Леммой Рысса можыо воспользоваться длв короткого доказа- тельства существоваиия сопряжеиыых операторов в слу«ае гыльбертова про- страиства. Общее определеиве сопряжеиия в смысле баиаховмх простраиств даио в гл. Ч!. б П.8. Может показаться иемиого стрзиимм. что (.«(О, 11 сепарабельио.
хотя фуикции прииимают зызчеиия в иесчетиом множестве точек. Но зты зиачеиыя ие произвольым. так как фуикцыи ызмеримм — зто уже сыльиое ограиичеиие, а вдобавок мм отождествляем те фуикции, которме различаются лишь ыа мыожестве пулевой мерм. Изучающих фувицвовальыый апалйз часто ставвт в тупак следующий вопрос. Еслв все бесиовечыомериые сепарабельвые гильбертовы пространства одивавовы (вэоморфыы 1»). зачем вообще говорить о паху С папой стзтв специально заывматься Ьз(Йч, а[1»), если как гвльбертово прострзиство оыо пзоиорфво !»Р Ответ в том.
что вас часто ввтересует ие само простраистзо, во иаиве-то другие структуры, например ыепоторые ограивчеяиые операторы па этом простраистве. Правда, при пэоморфпзме зтв операторы переходят в огрзвпчеыиые операторы ыа !з, во может случитьса, что их струзтуру легче изучать ва Ьз (Е". б!»). Такая ситуация очень характериа для фувкцвональиого анализа: мы стараемся подобрать такое представлеыве рассматрвваемых струк-' тур, с иоторым легче работать.
В качестве совсем простого примера пусть чытатель вспомиыт теорему о главимх осях (спептральыую теорему) для С": для дэяыого саиосопрюкеывого преобразования можно выбрать ортоыормироваииый базис в С" так, чтобы матрица преобразования в этом базисе была двагопальыой. Зто езвачает, что если мы вмберем правильный взоиорфный мгземпляр С" (замена базиса), то оператор стаиет особенно простым. Ках чвтзтель увидит, этот пример — лишь первая ыотз довольио длвиыой сиыфоиыы. Первое доказательство сходвмосгы радов Фурье для широкого класса фуиицый дал'в !829 г. Дырихле.
Хоропме руководство и по классической теорвы и по совремевыому подходу — кввгз И. Кациельсона: Т. Ка1зпе1зоп, Ап !п!хобцсНоп !о Наппоп1с Апз!узи, %!1еу, Нем ТогЫ, 1968. Недавво Кзрлсоп доказал поразительный результат: ряды Фурье фуяиций аэ Ьз[0, юс) сходятся поточечво п. в. (Оп !Ье Сопчегйепсе зпб Охом!Ь о! РаН!а1 Зцпм о! Роцпег Зег!ез, Ас!а Мп!Л., 116 (1966), 135 — !57). Хаыт распростраиил этот езультат вз рззлвчыые пространства ЬЭ (Е. Нцп1, Оп Гпе Сопчегйепсе о! оцг!ег Зег!ез, !п »Ог1Ьойопа! Ехрап»1опз зпб !Ье!г Со 1!пцоцз Апа!ойцез» (О.
Нз1пю, еб.), Зоц!Ьегп ПВоо!з 1)п!ч. Ргезз, !968, рр. 235 — 237). 5 (Ь4. Конечные теызориые произведеввя гыльбертовых простравств первызш описала фоы Нейман в Мур рей (у. чоп Нецшзпп,Р.Мштзу, Оп Я!пйз о1 Орега!огз, Алл. Ма!Л. (2). 37 (1936), 1!6 — 229), хотя теиэорыые произведения коиечиомерных простраыств были взвествы уже задолго до того. Совремеиыую трактовку тевзорпых произведений локально выпуклых пространств см. з визге: Р.
ТНчез, Торо!ой!са! Уес1ог Зрасез, О(з!г!Ьц11опз зпб Кегпе1», Асзбеш(с Ргезз. Нем Тогй, 1967. То теизорвое провэведеыые. хоторое мы определвлв, соответствует и-провзведеиию Трева. Определеыве пространств, которые мы ыаэывзем пространствами Фова, восходит х орвгвыальиой стзтьео™Ч.
Росй, Коп!!йцгзг!опзгацш цпб 2»че!!е Оцап1е!цпВ 2. РЛуз., 76 (!932), 622 — 647 (перепечзтаио з сбориике: В. А. Фок, Работы по кваитовой теорыи поля, Издательство ЛГУ, Л., 1957, стр. 25). В гл. Х пространство Фока будет использоваыо для построевыя свободного поля — полевой теории, удовлетворяппцей аксиомам Вайтмава. 5 11.5.
Изложеиве териодыиамвкв с иестзтвстической точкы зрепыя, т. е. кзк вачхи в осиовиом эмпирической, см. в кыиге: А. В. Р!ррагб. ТЬе Е!егпеп!з о1 С)ам[се! ТЬегшобупзп11сз, СашЬгЫйе ()п(ч. Ргезз, 1.опбоп алб Йем Тогй, 1957. Обсуждевые разлпчяых точек аревия ыа нулевое начало териодивамвкы. пе включающих зргодвчесхую теорему, см. у Л. Д. Ландау в Е. М. Лившица, Стзтвствческая фвзикз, аНвупа», М., 1964, гл. 1, илв в работе Р. З(госсЫ, ЛИсгозсор!с апб Масте»сор!с Яцап1!Ьчез 1п 3!а11з1!са! МесЬзп!сз. !! !»попо С!лмл!о, 65В (1970), 239 — 265.
Доказательство теоремы Лвуввлля см. в хвыгах: Г. Гоядстайы, Классическая мехаиика, Гостехтеорвэдат, М., 1957, стр. 266 — 268, ылв Е. АЬгаЬзш. РоцпбаВопз о! МесЬап!сз, Веп)аш1п,'Нем Торс. !967, р. 108. Идея вспользоваиыя методов гкаьберговых пространств для изучения систем классической механика впервые выдвинута з работе: В.
О. Каор»пап. Нзш!1!оп!ап Зуз!ешз апб Тгапз1оппа1юпз 1п Н1!Ьег1 Зрассз, Ргос. !»аг. Аслб. ,Ю. (ЫЗА), 17 (1931), 315 — 318. 1/. Гилэбвртавы проса«ранства 78 Эргсднческая теорема фоы Неймана впервые доказана в работе: 3. топ Хешпапп, Ргоо( о( !Ье Оиаз!егйоб(с Нуро1Ьеяз, Ргос. Ха(. Ааи(.
Зе!. (4)3А), 18 ( 1932), 70 — 82. Прнведенное довазательство принадлежит Ф. Рнссу (Р. Е(сзх, 3иг 1а !пеппе егйоби)ие, Савин. Мазй. Наго., 17 (1945), 221 — 239). Эргоднческав теорема Быркгофа доказана в работе: О. В. В)гЫюИ, Ргоо1 о1 !Ье Егйнйс ТЬеогеш, Ргос. 1УаГ: АсаХ. Зс!. (133А), 17 (!931), 656 — 660. Ф. Рнсс в цитированной работе предложил другое, более простое доыазательство, основанное на «ыаксвмальной эргоднческой теореме» Винера (Х, 19!снег, ТЬе Егбоб!с ТЬеогеш, Вийе Магд. У., б (1939), ! — 18) н Касыды н Каыутанн К. УозЫба, 3. Ка)«и!ап1, В1гЫюИ'з ЕгйогИс Тйеогега апд !Ье Мах(гаа! Егйоб!с Ьеогеш, Ргвс. 1тр, Аса«(. Тойуо, 1б (1939), 165 — 168).
Лальнейшее упрощенве доказательства максимальной эргоднчесыой теоремы см. в работе: А. М. Овгз(а, А 3!шр1е Ргоо! о1 Е. НорГз Махина! ЕгйогИс ТЬеогеш, «. Магд. Мвсй., 14 (1965), 38! — 382. Прекрасное наложение математической стороны эргоднческой теории можно найти в книге П.
Халмоша, Лекции по эргоднческой теории, ИЛ, М„ 1959, а нсторнческый обзор предмета — в статье: Р. Е. На1пюз, Меазига)«!е ТгапзЫппаИопз, Ви11. Атвг. Ма!й. Звс.. 55 (1948), 1015 — 1034. Обсужденне статнстичесыой эргодвческой теоремы в рамыах банахова пространства (включая ьл-статнстнческую эргоднческую теорему при! < р < «е) см. в книге: Е. )югера, 3рес1га! Т1иогу, Ох$огд ()п)т. Ргез«, ).опбоп аиб Хе«г Уогй, 1962, рр. 54 — 56. Существуют глубокие связи между попятными теории информации и эргоднческой теорнн,' простое н хорошее ызложенне см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
