Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Мероморфность (1 — ) (г))-' и конечность рангов вычетов сле- дуют из явной формулы для «)„, известной из линейной ал- гебры. ° Эта теорема имеет четыре важных следствия. Следсигвал (альтернатива Фредгольма). Если А — компактный оператор на М', то либо существует (1 — А)-', либо имеет реше- ние уравнение А!р=!р. Доказал!альтию. Достаточно взять ~(г)= г А и применить по- следнюю теорему при г= 1.
° Теорема У1!.И (теорема Рисса †Шауде). Пусть А †компакт- ный оператор на 11з; тогда о(А) †дискретн множество, ие имеющее предельных точек, кроме, бьггь может, Х=О. Далее, любое ненулевое Або(А) является собственным значением ко- нечной кратности (т. е. соответствующее пространство собствен- ных векторов конечномерно). Доказпгпельсл!зо. Пусть 1(г) = гА. Тогда 1(г) — аналитическая на всей комплексной плоскости функция со значениями в множестве компактных операторов. Таким образом, «г«гА!р=!р имеет ре- шение !р~ О) — дискретное множество, и если 1/Х не лежит в атом дискретном множестве, то ! / ! (Х вЂ” А) '= — (У вЂ” А) х(, существует.
То что ненулевые собственные значения имеют ко- нечную кратность, немедленно следует из компактности А. й Тзорзлпз У1.16 (теорема Гильберта — Шмидта). Пусть А — само- сопряженный компактный оператор на М. Тогда в Яз существует Е. Комааииньи олерааори полный ортонормированный базис «Ф,», такой, что АФ„=Л„Ф и Л„- О при и — оо. Доказательство. Выберем в множестве собственных векторов, отвечающих каждому собственному значению А, ортонормированный базис. Объединение всех таких векторов «ф„» есть ортонормированное множество, так как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Пусть М вЂ” замыкание линейной оболочки «ф». Поскольку А самосопряжен и А: мй М, имеем А: ма~ М~.
Пусть А — сужение А на мкад. Тогда оператор А самосопряжен и компактен, нбо таков А. По теореме Рисса — Шаудера любое Л~О, лежащее в о(А), есть собственное значение оператора А и, значит, оператора А. Отсюда следует, что спектральный радиус А равен нулю, так как собственные векторы А лежат в М. Тогда из самосопряженнести А с учетом теоремы У1.6 вытекает, что А — нулевой оператор на М~-. Таким образом, М~-=«0», ибо если <р~ Ф~, то А<р=О, т.
е. ~рЕ я, Следовательно, Ф=Ж Тот факт, что ˄— О, есть следствие первой части теоремы Рисса — Шаудера, утверждающей, что каждое ненулевое собственное значение имеет конечную кратность, а единственной предельной точкой последовательности Л„может быть лишь нуль.
° Теорема 1г/.17 (каноническая форма компактного оператора). Пусть А — компактный оператор на Я~. Тогда существуют '(не обязательно полные) ортонормированные множества «~р„»л, и «Ф„»'», и положительные вещественные числа «Л»„" „такие, что А= ~ Л„($„, )ф„. (У1.6) Сумма в (У1.6), которая может быть конечной или бесконечной, равномерна сходится, Числа «Л„» называются сингулярными числами оператора А. Доказательство. Поскольку А компактен, таков и А'А (теорема У1.12), Следовательно, А А компактен и самосопряжен. По теореме Гильберта †Шмид существует ортонормированное множество «ф„ф „такое, что А'Аф„=р„~р„, где Р„~О, и такое, что А'А †нулев оператор на подпространстве, ортогональном к «~р„»я,. Поскольку А'А положителен, каждое р, > О. Пусть ˄— положительный квадратный корень из р„и Ф,=Аф„(Л,.
Короткое вычисление показывает, что Ф„ортонормированы и Аф = ~х Л (~Р„, ~Р) Ф„. ° е'1. Ограниченные оператори Это доказательство показывает, что сингулярные числа опе- ратора А — это в точности собственные значения ~А ~. Закончим этот раздел классическим примером. Пример (задача Дирихле). Главным стимулом к изучению ком- пактных операторов служит возможность использовать интеграль- ные уравнения при решении классических граничных задач математической физики. Мы кратко опишем этот метод.
Пусть Р†открыт ограниченная область в ке с гладкой граничной поверхностью дР. Задача Дирихле для уравнения Лапласа фор- мулируется так: задана непрерывная функция ~ на дР; найти функцию и, дважды дифференцируемую в Р, непрерывную на Р и такую, что Ли (х) = О, х Е Р, и (х) = ) (х), х Е дР. Пусть К(х, у)=(х — у, пе)/2и ~х — у~а, где по — внешняя нормаль к дР в точке у Е дР. Тогда К(х, у) как функция от х удовлет- воряет уравнению Л„К(х, у)=О во внутренности области, что наводит на мысль записать и как суперпозицию и (х) = ) К(х, у)ф(у)ИЗ(у), аР где ф(у) — некоторая непрерывная функция на дР, а еБ — обыч- ный элемент площади. В самом деле, при х~Р интеграл имеет точный смысл и ии(х) =-О в Р. Более того, если х,— любая точка в дР и х — х, изнутри Р, то можно доказать, что и (х) — ф (х,) + ) К (х„у) ф (у) йо (у).
ао Хотя зто и не очевидно сразу, но можно убедиться, что ) К(х„у)ф(у)Ю(у) ао существует и является непрерывной функцией на дР, если ф— непрерывная функция на дР. В доказательстве используется гладкость границы области Р, благодаря которой (х — у, п„) ж жс х — у~е для х,уЕдР при х- у. оскольку мы хотим, чтобы и(х) =~(х) на дР, весь вопрос сводится к тому, сможем ли мы найти такое ф, чтобы ~ (х) = — ф (х) + ~ К (х, у) ф (у) еБ (у), х ~ дР. ао Пусть Т: С(дР) С(дР) задано равенством (Тф)(х) = ) К(х, у)ф(у)45(у). ао Оператор Т не только ограничен, но и (как будет скоро показано) компактен. Следовательно, согласно альтернативе Фредгольма, либо Х =! принадлежит точечному спектру Т и в этом случае существует функция фбС(дР), такая, что (! — Т)ф О, либо — ! = (1 — Т) е обладает единственным решением для каждой функции ! ЕС(дР).
Но первое невозможно, поскольку в силу принципа максимума решение исходной задачи, если оно существует, единственно. Таким образом, имеет место второй вывод, т. е. компактность интегрального оператора и априорное знание единственности привели к доказательству существования решения. Идея доказательства компактности такова. Пусть (х — л э,) "'* *'-т* — -*1~ Если 6 > О, то ядро Кэ непрерывно и, подобно тому как это пояснялось в начале этого раздела, можно доказать, что интегральные операторы Тэ компактны, Для доказательства компактности Т достаточно установить, что ~( Т вЂ” Тэ ~~ — О при 6 — О.
Ввиду оценки ~(Тэ!)(х) — (Т!)(х) ~((~ !Ц )г (К(х, г) — Кэ(х, «) ~ЙЯ(з) дв для этого нужно лишь доказать, что интеграл сходится к нулю равномерно по х при 6- О. Разделим область интегрирования на множество, где ~х — г~)~е, и его дополнение. В первой области при фиксированном. е ядра сходятся равномерно. Вклад второй области благодаря интегрируемости К может быть сделан произвольно малым для достаточно малых е. Ч1.$. Олератеры се слелем н ндеал елератереа Гнльба)эта — Шмндта В предыдущем разделе мы видели, что компактные операторы обладают рядом привлекательных свойств и полезны в приложениях. По втой причине важно располагать эффективным критерием компактности заданного оператора или, еще лучше, общими утверждениями о целых классах операторов.
В этом разделе мы докажем, что интегральный оператор (Т!) (х) = ) К (х, у) ! (у) др (у) на !.'(М, др) компактен, если К(., -) б!.'(МхМ„. сна®др). Сначала мы разовьем понятие следа — вспомогательное средство, У1. Ограниненные оаератор»» представляющее и большой самостоятельный интерес. Теорема Ч!.
!2 показывает, что Сот (ЯР) — множество компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве Я'— образует банахово пространство. В конце раздела мы вычислим сопряженное и второе сопряженное к Сот(Я). Зти вычисления проиллюстрируют разницу между слабой банаховой и слабой операторной топологиями на .У(Я) и дадут первое представление о строении абстрактных алгебр фон Йеймана, которые мы будем изучать позднее. След †э обобщение обычного понятия суммы диагональных элементов матрицы, но из-за бесконечности сумм не все операторы обладают следом. Построение следа аналогично построению интеграла Лебега, когда сначала определяют ) ~4» для ~ ~ )О; в таком случае интеграл принимает значения на полупрямой 10, оо), включая оо. Затем определяют .Я" как множество тех ~, для которых ) ~г~4» < оо.
Оно оказывается векторным пространством, а )'~ ) !".4» †линейн функционалом. Подобным образом мы сначала определим след 1г( ) на положительных операторах; отображение А» 1гА тогда будет принимать значения в [О, со!. Затем мы определим класс операторов со следом Я» как множество всех А Е.У (М), таких, что 1г ~ А ~ ( оо. Наконец, мы покажем, что 1г( ) — линейный функционал на д» с правильными свойствами.
Теорема !гУ.Ж.. Пусть Яà —.сепара6ельное гильбертово пространство и «~р„)" » — ортонормированный базис в нем. Тогда для любого положительного оператора А ~ Я (Я) определим 1гА ~(~э„, А<р„). Число 1гА называется следом А и не завив !' сит от выбора ортонормированного базиса. След обладает такими свойствами: (а) 1г(А+В) =1гА+1гВ; (Ь) 1г(ЛА) =Л 1гА для всех Л ;.вО; (с) 1г(УАУ-»)=1гА для любого унитарного оператора 0; (6) если 0(Аа В, то 1гА»~,.'1гВ. Докааательсимо.
Для заданного ортонормированного базиса «ф )" » опРеделим 1гч(А)= ~ч.",(~Р, АУ„). Если «ф )" » — дРУгой а. Озераторь~ со сардак 231 ортонормированный базис, то Ю Ю 1г„(А) = )",(ф„,Аф.)= 2,')~Аы*ф„~~~= в / э / = Х(, Х ~(ф., Аоз .Н~~'= Х ~ Х И А * ф..ф.Н = л=1 т / м ~,и Ю ОЭ ~ч.", ~~ А из ф„Ц* =,%,' (ф, Аф ) = 1гч (А) шю! т 1 Перестановка порядка суммирования допустима, поскольку все члены положительны. Свойства (а), (Ь) и (б) очевидны. Для доказательства (с) заметим, что если (ф„» — ортонормированный базис, то и (Уф„)— тоже. Следовательно, 1г(УАУ-') =1г,оч, (УАУ-')=1г (А) 1г(А). ° Определение. Оператор А ~.У(Ж) назовем оператором со следом, если 1г~А~ < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
