Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 53
Текст из файла (страница 53)
с теоремой У1.11.) 88. (а) Предположим, что Т вЂ” оператор на Л'(Яз), такой, что если х« —.-«х, !! 0 то Тхз Тх. Докажите, что Т ограничен (так что Тх„= Тх>. Ю й 0 И. Ограничением операюоры (Ь) Опишите непрерывные линейные отображения л«(Я~) в себя, если и область определения, и область значений наделены слабой топологией. дб. Донажите пункт (Ь) теоремы Ч1.
!2, когда Х =у — гильбертово врос!!ранство, используя пункт (с) теоремы Ч1.!2 и полярное разложение, у87. Докажите пункт (с) теоремы Ч1.!2. бб. Пусть Р и !с — ортогональные проекторы на подпросгрансгва «41 и ф' в гильбертовом пространстве Яв. предположим, что Рсг =йР. (а) Докажите, что 1 — Р, ! — Я, РЯ, Р+ !) — РЯ и Р+!) — 2Р!г — ортогональные проекторы.
(Ь) Как области значений проекторов из (а) связаны с «41 и ))т «йр. Пусть Р и !) — ортогонзльные проекторы на яодпространства «41 и Д' в гильбертовом пространстве Я~. Докажите, что з-!!ш (РЩ' существует л « и есть ортогональиый проектор на «заП «)Г. «40, Пусть 0 — равномерно (т. е.
по норме (( )() замкнутый идеал в .2'(Я~), 0 Ф О. Докажите, что Сош (Яр) ~ 2, показав. что любой оператор конечного ранга лежит в 2. Замечание. Как мы увидим далее (задача 3! гл. ЧП). в случае. когда Я~ — сепарабельиое пространство, единственными равномерно замкнутыми идеаламн являются (О». Сош(йб). й(Я~). 41. Найдите неортогональный проектор, действующий на мз. 42. Пусть АЕМ(Х).
Докажите, что множество таких Л, что ),~п(А), ио не является собственным значением, а 1!ап(Л1 — А) замкнута, но не совпадает со всем Х, открыто в С. 48. Пусть М и У вЂ” такие подпросгранства банахова пространства Х, что М+У=Х и МПУ (О». Пусть Р— проектор пространства Х на М. Докажите, что Р ограничен тогда и только тогда, когда и М и У замкнуты.
44; (а) Определим числовую 'область значбннй' У(Т) ограниченного оператора Т на гнльбертовом пространстве Я~ соотношением У(Т) = =((ф ТЯ(ф ~ Яб, Ц фЦ=!». Докажите, что а(Т) с-У(Т). (Указание. Сначала покажите, что Д У(Т), если й — собственное значение Т или Т«; затем докажите, что в случае, когда ),Ео(Т). но й не есть собственное значение Т или Т', можно найти такую последовательность ф„~у~, что !1(Т вЂ” 2) ф„(( О.) (Ь) Найдите пример оператора, у которого область У(Т) незамкнута и а (Т) Ч- У (Т). с) Найдите пример оператора, для которого п(Т) Ф У (Т) =У(Т). ечплие. Глубокий результат Хаусдорфа утверждает, что У(Т) — выпуклое множество. 4б.
(а) Пусть (Ф«»„т — ортонормированный базис в гнльбертовом пространстве Я~. Пусть А †так оператор, что зпр ()Аф() — О при л — со. Ве(вы .. ' ее) п«и 1 Докажите, что А — компаятный оператор. (Ь) Пусть (»ьа)а ! — ортонормнрованный базис в гнльбертоеом пространстве Яь й А — компактный оператор. Локажнте. что ' зпр )( Атр (( — »О прн л — » со. О е (ви " ' аа)~ (а) Пусть А — иомпактный оператор н А )О.
Локажнте, что А!!» — тоже компактный оператор. (Ухлзание! используйте задачу 45.) (Ь) Пусть О~А~В. Локажнте, что А — компактяый оператор. если В компактен.. (Ухпятлле! с помощью задачи 45 и пункта (а) докажите. что компактен оператор АЫ».) Пусп Яь н Я~' — два гнльбертовых пространства. Если Т вЂ” ограниченное линейное отображение нз Я' в Я~', ю определим Т ! Яб' — » Я~ равенспюм (Т»ть Ф)ж —— (тр. ТФ) '. Оператор Т называется ояералюром Гил»берта —.Шмидта, если Т»Т: Яб уб — оператор со следом.
Пусть Т вЂ” оператор Гнльберта — Шмидта. Локажнте, что существуют вещественные числа Ха > О н ортонормнрованные множества (Фа)а-! ~Яь Ф н (три)а !~Я", такие, что ТФ=,~ Яда(йа а) тра. а 1 Пусть Яг н Яб' — два гнльбертовых пространства н О» (Яь, ух') — множество операторов Гильберта — Шмидта нз Ях -в Яь'. (а) Локажите, что множество Оа(Яб, Яб"), снабженное внутренним пронаведеннем (В,Т)=тг 4УТ), тк есть гнльбертово пространство.
(Ь) Лля заданных трЕЯ', ФЕЯг' н любого !ЕЯх» зададим отображение ! (тр, тз)Е Ю»(Ят'», Яь!).равенством /(»р, тз) тии! (тр) Ф. Локажите, что отображение Ю, переводящее тр®Ф в ! (тр, »з), определено кооректно н продолжается до нзотмтрнн между Я~(тОЯьр н Оз(Яь», Яб ). (с) покажите, что для заданного ттфЯб ®Я~' существуют выпественные числа )! > О и ортонормнроваиные множества (Фа)а ! с= Я~ и хт (»Ри)а ! с 'Яь ' с конечным нли бесконечным йт, такие, что зт тт Х();('-~(О(~' ° Х й.о.ЕО.- ). а ! и ! УП. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА т с, 'ал тверда и прозрачны и поддаютсп лично самой строгой логике.
джон локк, «втоэои отввт впископи Вуствэскомъъ ЧП. 1. Функциональное исчисление непрерывных функций В этой главе мы обсудим спектральную теорему в ее многочисленных обличьях. Эта структурная теорема дает конкретное описание всех самосопряженных операторов. Есть несколько на вид различных формулировок спектральной теоремы, но в каком-то смысле все они эквивалентны. Мы предпочитаем ту из них, которая утверждает, что каждый ограниченный самосопряженный оператор есть оператор умножения.
(Здесь подчеркивается слово «ограниченный», так как неограниченными самосопряженными операторами мы специально займемся в следующей главе. Для них также имеет место спектральная теорема, которую мы обсудим в 5 Ч111.3.) Это означает, что для любого ограниченного самосопряженного оператора на гильбертовом пространстве 'ЯГ можно найти меру 1ь на пространстве с мерой М и унитарный оператор 'У: Ж вЂ”.1.*(М, Щс), такие, что (У АУ-'~) (х) = Р (х) Цх), где Р— некоторая ограниченная вещественнозначная измеримая функция на М.
Очевидно, чтоэто — обобщениеконечномернойтеоремы, утверждающей, что произвольная самосопряженная лхв-матрица приводится к диагональному виду, или в абстрактной форме: для любого самосопряженного оператора А на и-мерном комплексном пространстве Ч существуют унитарный оператор У: Ч- С" и вещественные числа А„ ..., Х„, такие, что (УАУ 7)е=ХД для любого 1=<1„..., ~„) в Сп. Практически множество М будет объединением какого-то числа экземпляров вещественной прямой К, а Р будет совпадать с х, так что решающим моментом доказательства окажется построение оютветствуюших мер. Этчз будет проделано в $ ЧП.2 при помощи теоремы Рисса — Маркова.
Сейчас мы выясним смысл выражения 1(А), где 1 — непрерывная функция. А в следую- д фу»»Чин»О»«нОО иО«не»«нн« нелр«О«Овны» фуннциа 247 щем разделе рассмотрим меры, порождаемые функционалами 1> («Г, 1(А)ф), где ф — заданный вектор из Ж Пусть дан оператор А. Для каких функций 1 можно опреде- лить 1(А)? Предположим сначала, что А — произвольный огра- ниченный оператор. Прежде всего желательно, чтобы в случае, когда 1 — полипом, т. е.
когда 1(х)= ~ а„хл, выполнялось ра- л=О венство 1(А) = ~ а А". Далее, если 7(х) представляется в виде л=О степенного ряда )(х) = ~ с„хл с радиусом сходимости 11 и если л О для нормы оператора А выполняется неравенство ЦАЦ<Я, то л ряд ~ч~~ с„А" сходится в .х«(Я), и естественно положить 1(А) = л=О Ю ~с«А«. При этом, очевидно, функция 1 аналитична в области, включанхцей весь спектр п(А). И в общем случае можно дать разумное определение величины 1(А), если 1 аналитична в неко- торой окрестности спектра оператора А (см. Замечания). Функциональное исчисление, о котором мы говорили до сих пор, применимо в случае любого оператора в произвольном банаховом пространстве.
Специальное отличие самосопряженных операторов (или, более общо, нормальных операторов; см. за- дачи 3, 5) состоит в том, что ЦР(А)Цлл зир ~Р(Л)~ для любого »«ООП полинома Р; это позволяет пользоваться теоремой об ограничен- ном линейном отображении для расширения функционального исчисления на непрерывные функции. В этом разделе наша главная цель — доказать следующую теорему: Теорема У11.1 (функциональное исчисление непрерывных функ- ций). Пусть А — самосопряженный ограниченный оператор на гильбертовом пространстве Я'. Тогда существует адинапаенное отображение Ф: С(о(А)) — У(М) со следующими свойствами: (а) отображение ф есть алгебраический «:-гомоморфизм, т.
е. Ф(1а)=ФВФЖ Ф(Л1) '=ЛФО Ф(1) = 1. ФО =-Фй', (Ь) отображение ф непрерывно, т. е. ЦФЩЦ~,в, СЦ1Ц; (с) если 1(х)=», то ФЩ А. Кроме того, ф имеет ряд дополнительных свойств: (б) если вектор «рцЯГ таков, что Аф=Л«Р, то ф(7)ф 1(Л)ф (е) п[фщ]=(1(Л) ~ Лбп(А)) (теорема о спектре отображения); (Е) если 1= О, то ФЩ-«О; (й) Цф())Ц=Ц1Ц (усиление свойства (Ь)). УП. Сиааан(альнал аа(аРама В дальнейшем, чтобы подчеркнуть зависимость отображения Ф(1) от А, мы вместо Ф(1) иногда будем писать Флф или 1(А). Идея приводимого ниже доказательства весьма проста.
Свойства (а) и (с) однозначно определяют значение Ф(Р) для любого полинома Р(Х). По теореме Вейерштрасса множество полиномов плотно в С (а (А)). Таким образом, главное в 'доказательстве— проверить равенство (( Р (А) ~~ к, — — (( Р (х) ~~с<а<ли — — зпр ~ Р (Л) ~. .ьаа(л( После этого существование и единственность отображения Ф будут следовать из теоремы об ограниченном линейном отображении, Для доказательства этого важного равенства мы предварительно докажем один частный случай свойства (е) (справедливый, однако, для произвольных ограниченных операторов).
Лемма 1. Пусть задан полипом Р (х) = ~~~, 'а„х", и пусть Р (А) = а=а и = ~~'., а,А ". Тогда и (Р (А)) = (Р (Л) ~ Л Е а (А) ). Доказал(ельсомо. Пусть Лба(А). Так как х=Л вЂ” корень поли- нома Р (х) — Р (Л), то существует поливом Я (х), такой, что Р (х) — Р (Л) = (х — Л) Ц (х). Следовательно, Р (А) — Р (Л) = (А — Л) () (А). Так как оператор (А — Л) не имеет обратного, это же справедливо и для Р(А) — Р(Л), т. е.
Р(Л)~о(Р(А)). Обратно, пусть ран(Р(А)),.и пусть Л„..., ˄— корни полинома Р(х) — р, т.. е. Р(х) — )(=а,(х —,Л,) ...,(х — Л„)., Если Л„..., Л„(а (А), то существует оператор (Р (А) — р) '=а '(А — Л,) ' ... (А — Л„) ', что противоречит исходному предположению. Таким образом, некоторые Л( принадлежат а (А), т. е. существуют такие Л б а (А), что р=Р(Л). ° Лемма 2. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор.
Тогда (<Р(А)(<= р ~ Р(Л) !. ьаа<л> доказал(ельс(пес. (< Р (А) ((а = (( Р (А)' Р (А) <( = = <( (РР) (А) (( = (по теореме У1.6) = зир (Л1= ьаа«д ((лп (по лемме 1) ( (РР) (Л) ( ° ~ Р (Л) (~а ° ьаа(л( ~ьаа (л( к функциональное иочиононио нонуоунонин функций 249 Доказательство теоремы УП.1. Положим ф (Р) = Р (А). Тогда 1!Ф(Р)!!.и<я,='!1Р!~со~<хи так что отображение ф имеет единственное линейное продолжение на замыкание множества полиномов в С (о (А)).
Так как полиномы образуют алгебру, содержащую единицу, замкнутую относительно комплексного сопряжения и разделяющую точки спектра, то такое замыкание по теореме Стоуна — Вейерштрасса для комплексного случая (теорема 1Ч.10) дает все пространство С(о(А)). Свойства (а), (Ь), (с) и (й) очевидны. Если некоторое отображение Ф удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с), то оно совпадает с Ф на полиномах, а тогда, по непрерывности, и на С(о(А)).
Свойство (д) выводится также с помощью непрерывности из равенства ф(Р) ф= Р(Л) ~. Чтобы доказать свойство (1), заметим, что если ~~)0, то ~=йь, где и — вещественная функция и НАЕС(п(А)). Отсюда ф(1)=Ф(й)ь, где оператор Ф(и) — самосопряженный, а значит, Ф(1) ~) О. Доказательство свойства (е) мы оставляем читателю (задача 8). ° Прежде чем обратиться к примерам,'сделаем несколько замечаний. (1) ФЩ'=»0 тогда и только тогда, когда ~)0 (задача 9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
