Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ч11.1. Действительно, ведь Т" здесь — «преобразование, сохраняющее форму»„а «необратимость» должна была бы приводить к тому, что соседние точки та и и перестают быть таковыми после многократных итераций Т. Р не. Ч11.1. Иллвстрацнн ннтувтнвноа нден о термодннамвчесном поведеннн в фазовом пространстве. Как описать тот факт, что какое-то множество М «равномерно» размазывается итерациямиР Следует, видимо, считать, что точка «забывает», в какой момент она начала движение из А, т. е. что вероятность нахождения одновременно в ТаА и в некотором другом множестве В стремится к не зависящему от п пределу.
Определение. Сохраняющее меру преобразование Т: й И на пространстве с мерой <Й, )а>, где р(1«) = 1, называется перемешивающнм, если для всех измеримых множеств А и В из й; ! пп )а (Т" А д В) = р (А) )а (В). 4. Си««а об эргодич««кой теории. Куималиэл Если Т зргодично, то по статистической зргодической теореме «-! и-! — „ч; р(Т-АПВ) = — „ч!'. (и- у„т,,) =(х,, !)(1, Х,) = 1 1 ьа па 0 = !! (А) !«(В).
Таким образом, зргодичность зквивалентна существованию перемешивающего предела в смысле Чезаро, так что перемешивание влечет за собой эргодичность. Можно убедиться в атом и непосредственно. Если Т!А!= А, то 1пп 1«(Т"А д А) =р(А), так «Ф что в случае перемешивания 1!(А)'=!»(А), т. е. 1«(А)=О или 1. Прежде чем сформулировать утверждение о том, что перемешивание имеет своим следствием эргодичность, введем одно промежуточное понятие.
Олределенне. Сохраняющее меру преобразование Т: й й на пространстве с мерой <Й, 1!>, где 1«(1«)=1, называется слабо перемешивающим,' если для любых измеримых множеств А и В из Й: «-! !пп — '~»' ~!«(Т А П В) — р,(А)р.(В)~= О. «а ьа Теперь очевидно следующее Предложение. Перемешивание => слабое' перемешивание => зргодичность. Рассмотрим сначала преобразование, которое, как мы вскоре покажем, является примером перемешивания. Мы увидим также, что преобразование примера 1 не перемешивающее. Пример 2 (преобразование пекаря). Пусть 11 — поверхность тора.
Положим <2х, у/2>, если 0 <х< 1/2, Т<х. у>= <2х 1, 1/2-)-у/2>, если 1/2<х<1 (рис. 1/11.2). Ясно видно, как Т «разрывает» и «разбрасывает по Й» части исходного множества. Слабое перемешивание н перемешивание имеют простое описание при помощи ассоциированного унитарного оператора «/. Теорема УИ.1е. Пусть Т вЂ” измеримое преобразование и (/— ассоциированный унитарный оператор. Тогда (а) Т вЂ” перемешивающее тогда и только тогда, когда ч!-!пп У =Р„ УУ. Сааиарааьнаа аяорема где Р,— проектор на константы, т. е.
тогда и только тогда, когда 11ш (1 Уей) = (1 ]) (1 д) (Ъ) Т вЂ” слабо перемешивающее тогда и только тогда, когда У не имеет собственных значений, отличных от единицы, причем единица †прост собственное значение. Р к с. У11.2. Преобрвзовакке кекарк. Доказаеельалмо. (а) То, что Т вЂ” перемешивающее, очевидно, следуИ"из Условия (1, У"л) — (1, 1)(1, и), ибо можно взять ~=ХА и л=т . Обратно, когда Т вЂ” перемешивающее, предельное равенство справедливо, если 1 и д — характеристические функции, а значит, и конечные линейные комбинации характеристических функций. Поскольку последние плотны, 11 У"11=1 и 11Р,))=1, отсюда следует результат.
(Ь) См. литературу, указанную в Замечаниях, ° Преобразование в примере 1 на перемешивающее, так как Уф=Ьр влечет за собой и-!1ш У фчьРДр при Хчь1. Существует спектральное условие на У, которое часто бывает полезно при доказательстве свойств перемешнваиия. Заметим, что спектральную теорему можно доказать для нормальных (а следовательно, н для унитарных) операторов (задачи 3 и 5), позтому имеет смысл понятие абсолютно непрерывногО спектра. Теопелпв Ч!1.16.
Пусть Т вЂ сохраняющ меру преобразование и У вЂ ассоциированн унитарный оператор. Тогда 4. Свми аб араадииааиа» ииаиии. Кииииииии 267 (а) если У имеет только абсолютно непрерывный спектр на (Ц-~, т. е. если Яо„=(~~Д, 1)=) ~До=0~, то Т вЂ” перемеши- вающее; (Ь) если (Цх имеет ортонормированиый базис фр,„ — аа < л< ио, 1<во < У+1, где Ф конечно или бесконечно, такой, что У<р„, =~р „, то У имеет на (Цх лишь абсолютно непрерывный спектр и Т вЂ” перемешивающее. Дохазагпельстао. (а) Легко видеть, что У" — Р, тогда и только тогда, когда (~, У"у) — 0 для всех ~, д~(Ц~.
Предположим, что У имеет только абсолютно непрерывный спектр. Тогда мы можем найти функции 1Р Я, и реализацию вектора ~Е(Ц~ в виде 1=<),(6), ..., ~ (6), ...>, такие, что и ои (1, У»у)=,'»', ~ ° Г (6)д.(6)Р (6) 16- и=~ а =~ а.4(6)б6, о где $ ) Я (6Ка(6< аи. По лемме Римана — Лебега, которую мы о докажем в 6 1Х.2, (1, У"д) — О. (Ь) На (Цх оператор У вЂ” это просто У экземпляров правого сдвига на пространстве 1,( — аи, ии).
Мы уже рассмотрели опе- ратор сдвига в примере 4 $ ЧП.2 и показали, что он имеет абсолютно непрерывный спектр. ° Ирпмер 2 (продолжение). Интуитивно вполне разумно допустить, что преобразование пекаря перемешивающее, но теперь мы рас- полагаем средствами для доказательства, что это действительно так. Дадим новое определение оператора Т.
Запишем <х, у> Е 11 в двоичной системе х=О,х,х, ..., у=О,у,у,, причем каж- дое х;=0 или 1 и каждое у; 0 или 1. Тогда Т: (О,х;х, ..., О,у,у, ...) — (О,х,х, ..., О,х,у,у, ...), т. е. если мы представим точку в й как (..., у„у„у„х,, х„...), то Т есть не что иное, как левый сдвиг. Предостережение: это совсем не то же самое, что сказать, что У вЂ” левый сдвиг1 Это подсказывает наши дальнейшие действия.
Определим функции т„(х,у) на й следующим образом: если п)О и х„О, то т„(х, у) = 1, а если х„1, то т„(х, у) = — 1; если п ( 0 и у „, = О, то у„ (х, у) = 1, а если у „ , = 1, то т„(х, у)= — 1. Если 1л;, ..., и ) — конечный набор целых чисел, положим (х, у) =Д у (х, у), УП. Слеющзиькая теорема Положим Хн= 1. Тогда (а) ХД,=Ха,~э, где АлВ=(А В) 11(В А); (с) в силу (а) и (Ь), Хл образуют ортонормированную систему; (б) если т, л, й и 1 — целые, такие, что О < гп ( 2", О ( й( 2~, то характеристическая функция множества может быть представлена как конечное произведение Д (1-~Х„) т ! 3В с некоторыми целыми аг, ..., а„; '(е) Хл образуют ортонормированный базис в ~.'(Я, дх®0у), поскольку линейные комбинации введенных в (д) характеристических функций плотны; (1) УХ( „„, )=у(„+ь, +~).
Таким образом, (Ц~- обладает ортонормированным базисом Ф„,, причем Уф =ф+, Параметр и пробегает счетное множество. Итак, отображение примера 2 перемешивающее. Эргоднчность, перемешивание и спектральные понятия важны не только в статистической механике, но и при исследовании других задач.
Пусть, например, <М, р) и <М, т> †пространства с мерой, и пусть Т: М М и Я: л1 У вЂ измерим, обратимые и сохраняющие меру преобразования. Когда они эквивалентны? Иными словами, когда существует такое отображение 4: М У, что Т=)?-'ЗВ? При этом"требуется, чтобы ?? ' было биективным почти всюду (т. е. р(х)Яу=Ях для некоторых у~я) =О и р(йГ',Кап)<)=О) и сохраняющим меру. Эта задача аналогична проблеме унитарной эквивалентности для самосопряженных операторов, которая решена теоремами о кратности, однако решена яе полностью. В задаче 29 мы построим различные отображения, эквивалентные преобразованию пекаря. Проблема унитарной эквивалентности для самосопряженных операторов была решена путем нахождения лалнозо множества инвариантов. Купманизм немедленно дает целое семейство инвариантов для сохраняющих меру отображений, поскольку если Т: М М и 3: л1 Ф эквивалентны, то индуцированные унитарные операторы унитарно эквивалентны.
Для заданного сохраняющего меру преобразования Т классы мер одной кратности ассоциированного унитарного оператора являются инвариантами, т. е. если 5 и Т связаны посредством Т=Я-'ЯЯ, то их классы совпадают. Поскольку эргодичность и перемешивание могут быть выражены в терминах индуцированных купмаиов- ских унитарных операторов, они не являются дополнительными инвариантами.
Образуют ли эти инварианты, ассоциированные с индуцированными унитарными операторами, полную систему? Иными словами, если индуцированные унитарные операторы унитарно эквивалентны, то следует ли отсюда, что существует такое )г, что Т-=гг-'ВЮ При некоторых дополнительных предположениях ответ утвердителен. Теорема нгз.гб (Халмош, фон Нейман). Пусть Т! М М и о ! й[ — А[ — сохраняющие меру эргодические преобразования, Уз и (1г — индуцированные унитарные операторы. Предположим, что Уз и Уг имеют только чисто точечный спектр. Тогда Т и 3 эквивалентны в смысле теории меры в том и только в том случае, когда Уз и 11г унитарно эквивалентны. С другой стороны, Колмогоров и Синай построили инвариант (называемый энтропией) для некоторого класса перемешивающих измеримых преобразований — так называемых К-систем. На (Ц1.
существует ортонормированный базис (чр,ь )", такой, что для унитарного оператора У, индуцированного К-системой, Уф„, =ф, . Таким образом, все унитарные операторы, индуцированные К-системами, унитарно эквивалентны. Тем не менее существуют К-системы с различной энтропией, .так что инварианты индуцированных унитарных операторов не полностью характеризуют все преобразования, сохраняющие меру. ЗАМЕЧАНИЯ 6 'гП.1. доказательство и обсуждение конечномерной спектральной теоремы см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
