Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Таким образом, Т обязан быть неограниченным, потому что он имеет сколь угодно большие собственные значения. При изучении неограниченных операторов очень полезно введенное фон Нейманом понятие графика линейною преобразования. О/зределЕиезе. График Г(Т) линейного преобразования Т есть множество пар (<ф, Тф>~1фЕП(Т)). Следовательно, Г (Т) является подмножеством пространства Я'хЯ вЂ” гильбертова пространства с внутренним произведением (<ф «р«>.
<ф.. Фе>) =(ф ° фе)+(Ф ° фе)- Оператор Т называется замкнутым, если Г(Т) — замкнутое подпространство в М'хЖ Олределе//ае. Пусть Т«и Т вЂ” операторы в Ж Если Г (Т,) ~ Г (Т), то Т, называется расширением оператора Т; в таком случае мы пишем Т«=~Т. Иными словами, Т«~Т тогда и только тогда, когда В (Т,) о 0 (Т) и Т,ф = Тф для всех ф Е В (Т).
Олределе//ие. Говорят, что оператор Т допускает замыкание (замыкаем), если он имеет замкнутое расширение. Каждый замыкаемый оператор имеет наименьшее замкнутое расширение, называемое замыканием и обозначаемое Т. Естественно попытатвся построить замкнутое расширение' оператора Т путем замыкания его графика в Я'хЖ. Но здесь нас подстерегает опасность: множество Г (Т) не обязано быть графикрм какого-либо оператора (см., например, задачу 1).
Однако большей частью мы будем иметь дело с симметрическими операторами (вводимыми в З ЧП1.2), а они, как мы увидим, всегда имеют замкнутое расширение, Предложение. Если Т допускает замыкание, то Г(Т)=Г(Т). Дохазаеельса«зо. Предположим, что 3 — замкнутое расширение Т. Тогда Г (Т) с Г (8), так что если <О, ф> Е Г (Т), то ф = О. Определим оператор 1< на Р(е<)=1ф~<«р, ф>6Г(Т) для некоторого«о) формулой Рф = ф, где ф Е Яà — тот. самый вектор, для которого <ф, Ф> Е Г (Т). Отсюда Г Ц««) = Г (Т), так что 1< — замкнутое расширение Т.
Но Я~Я, где 5 — произвольное замкнутое расширение. Следовательно, Г< Т. $ 1. Об.аасв)и вар»два«гик, графики Следующий пример иллюстрирует только что введенные понятия. Пример 3. Пусть Ю=1.'(Гв), Р(Т)=СГ(й) и Р(Т,)=С',(к)— множество непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем. Пусть Тр 1Г (х), если 1ЕР(Т), и Т»1=11'(х), если 1ЕР(Т)), Тогда Т,— расширение Т. Покажем, что Г(Т)э -)Г(Т,). Тогда, доказав, что Т вЂ” симметрический оператор и потому допускает замыкание, мы получим, что Т расширяет Т,. Введем сначала «аппроксимативную единицу» Цв(х)). Пусть 1(х) — некоторая положительная бесконечно дифференцируемая функция с носителем на ( — 1, 1), такая, что ) 1(х))рх 1.
Положим 1»(х) =е '1(х/е). Для фЕР(Т,) положим р,(х) = 1 1,(х — 1)ф(1)М. Тогда ! фв(х) ф(х)! к» ~~ ув(х 1)! ф (1) ф(х) ~)11~» »1' зцр ~ ф.(1) — ф(х) ~) ( 1»(х — 1)г(1 = ~п) ) -) )св) зцр ~ф(1) — ф(х)~. ш )к-п<в) Поскольку ф имеет компактный носитель, она равномерно непрерывна, что .влечет за собой равномерную сходимость фв — ф.
Так .как носитель-фв лежит в фиксированном компактном множестве, то ф, ф в 7.в(к). Аналогично 1 —,ф,(х) = 11„— 1»(х — 1) ф(1))11= й )'. и' = ~ ( — ) — ',1,( — 1))ф(1) 11 = ) ~*~а) ') 1'в(х — 1)1 Гф(1)гИ вЂ” 1 — ф(х). Поскольку функция /,(х) имеет компактный носитель и бесконечно дифференцируема, фвЕСв" (к). Итак, ф ЕР(Т) при любом ьв Ш) св (а) а ) О.
Таким образом, выше показано, что ф, — ф и Тф, — Твф для любого фЕР(Т,). Следовательно, замыкание графика Т содержит график Т,. 'е'/П. Неограниченном операонэне Понятие сопряженного оператора можно распространить и на случай неограниченных операторов. Определекае. Пусть Т вЂ” плотно определенный линейный оператор в гильбертовом пространстве ЯГ. Пусть Р(То) — множество ф ЕЖ, для которых существуют такие и ЕЖ, что (Тф, ф)=(ф,п) для всех фЕР(Т). (Ч1П.1) Лля каждого фЕР(То) положим Тоф=е). Оператор Т' называется сопряженным к Т. По лемме Рисса ф ЕР(То) тогда и только тогда, когда ((Тф, ф)!«<С)(ф(! для всех фЕР(Т).
Отметим, что Зе=Т влечет за собой Тос8о. ,Отметим также, что для того, чтобы и однозначно определялось формулой (Ч111.1), необходимо, чтобы область Р (Т) была плотной. В отличие от случая ограниченных операторов область определения Т", как показывает следующий пример, может и не быть плотной. В частности, может оказаться, что Р(То)=(01.
Пример 4. Предположим, что 1 — ограниченная измеримая функция, не лежащая в1.е(К). Пусть Р (Т) =(фЕ 1.е(к) ~ ~~~(х) ф(х) (Нх< < оо). Область Р(Т) заведомо содержит все функции из 1Р с компактными носителями, так что Р(Т) плотна в 1.е(Р). Пусть фе — некоторый фиксированный вектор в 1,'(К). Введем Т, положив по определению Тф=(1, ф)фе для фЕР(Т). Предположим, что ф ЕР(Т*); тогда (ф, Т*ф)=(Тф, ф)=((Р, ф)ф„ф)= =(1 ф)(ф ф)=(Ф* (фе ф)й для всех фаей(Т). Отсюда Т*ф=(ф„ф)1. Поскольку ~(1.е(Р), имеем (ф„ф) =О.
Следовательно, любой фЕР(То) ортогонален к ере, так что Р(Т*) не плотна, В действительности Р(Т*) есть в точности множество векторов, перпендикулярных ф„и на этой области определения Т' — нулевой оператор. Если область определения Т* плотна, то можно ввести Т**=(То)*. Существует простая связь между понятиями сопряженного оператора и замыкания. Теорема $~Ш.Р. Пусть Т вЂ” плотно определенный оператор на гильбертовом пространстве Я~.
Тогда (а) Т замкнут; (Ь) Т допускает замыкание тогда и только тогда, когда Р (Т*) плотна, причем в этом случае Т= Т**; (с) если Т допускает замыкание, то (Т)* =Т*. Х Области ааределения, графики Доказаеемльолево. Определим на ЮхЯ унитарный оператор У: У<Ф. ф>=< — Ф Ф> В силу унитарности а' имеем: У[Ел-]=(У[Е1)1 для любого подпространства Е. Пусть Т вЂ” линейный оператор в Я~ и <ф, е)>Е ~Я~ <Ж Тогда <Ф, ч>ЕУ[Г(Т)1~ в том и только том случае, когда (<Ф, ц>, < — Тф, ф>) =О для всех фб.Р(Т), что выполняется тогда и только тогда, когда (ф, Тф)=(е), ф) для всех фЕР(Т), т.
е. тогда и только тогда, когда <Ф, т~>ЕГ(Т»). Итак, Г (Т») = а' [Г (Т)1л.. Поскольку У [Г(Т)1~ — всегда замкнутое подпространство в Жх,уа, отсюда следует (а). Чтобы доказать (Ь), отметим, что Г (Т) — линейное подмножество в Я~ха, так что Г (Т) = (Г(Т)х)х = =(РГ(Т) ) -'= = (а'(еГ (Т))х)х = = ()!Г(Т»))х. Отсюда с учетом доказательства пункта (а) при плотно определенном Т* следует, что Г(Т) †граф Т"*.
Обратно, предположим, что Р (Т») не плотна и что ф Е Р (Т»)х. Простое вычисление показывает, что <Оа'гр> Е [Г (Т»)~-~, так что е'[Г(Т»Я~- не является графиком (однозначного) оператора. Поскольку Г(Т)=(егГ(Т»))л., мы видим, что Т не допускает замыкания. Чтобы доказать (с), заметим, что если Т замыкаем, то Т» =(Т ) =Т»»» =(Т)*. ° Оюредегземие. Пусть Т вЂ” замкнутый оператор в гильбертовом пространстве Ю.
Комплексное число Х принадлежит резольвентному множеству р(Т), если оператор А! — Т является биекцией Р(Т) на Я' с ограниченным обратным. Если Хбр(Т), то Яь(Т)= =(Х1 — Т)-" называется резольвентой оператора Т в точке Х. Для того чтобы точка принадлежала резольвентному множеству оператора Т, должно быть выполнено несколько условий. Не все эти условия независимы. Например, если Х1 — Т вЂ” биекция Р(Т) на Яб, то по теореме о замкнутом графике обратный оператор автоматически ограничен.
Другие связи указаны в задаче 2, Определения спектра, точечного спектра и остаточного спектра для неограниченных операторов такие же, как и для ограниченных. Иногда мы будем говорить о спектре незамкнутого, но замыкаемого оператора. В атом случае всегда будет иметься в виду спектр замыкания. ИП. Неогранаееааие оаератори Теорема Уеее.2. Пусть Т вЂ” замкнутый плотно определенный ли- нейный оператор. Тогда резольвентное множество Т вЂ” открытое подмножество комплексной плоскости, на котором резольвента является аналитической операторнозначной функцией. Более того, Р,(ТИ) ~р(Т)1 — семейство коммутирующих ограниченных операторов, удов- летворяющих соотношению К» (Т) — К„(Т) ((е — Х) Р„(Т) Рь (Т).
(Ч111.2) Доказательство этой теоремы в точности такое же, как и в ограниченном случае (теорема Ч1.5). Читателю может показаться, что заботы об областях опреде- ления и замыканиях неограниченных операторов вносят техни- ческие неудобства, и нужно выбрать любую достаточно малую плотную область определения, на которой неограниченный опе- ратор имеет смысл, чтобы от них избавиться.
Однако выбор под- ходящей области определения часто тесно связан с физической сущностью описываемой ситуации (см., например, обсуждение в $ Х.1). Далее, многие важные характеристики операторов очень чувствительны к выбору области определения. Следующий пример показывает, что спектр — одна из таких характеристик. В этом примере мы используем понятие абсолютно непрерывной функции и соответствующую фундаментальную теорему анализа. Читатель, не знакомый с определением и теоремой, может найти их в За- мечаниях (см.
также задачу 20 гл. 1). Прекееер б. Обозначим через АС[0, Ц множество абсолютно не- прерывных функций на [О, Ц, производные которых лежат в Ее [О, Ц. Пусть Т, и Т,— операция (ей с областями определения Р (Т,) = (<р ! ~р Е А С [О, Ц ), Р (Т,) = (ф ! ср ~ АС [О, Ц и <р (0) = 01. Как Р'(Т,), так н Р(Т,) плотны в Ее[0, Ц, и соответствующие операторы замкнуты.
Однако а) спектр Т, есть С; Ъ) спектр Т, пуст. Доказательство замкнутости Т,'и Т,мы оставляем в качестве упражнения (задача 3). Чтобы убедиться, что спектр Т вЂ” вся плоскость, заметим, что (И вЂ” Т,) е-" = 0 и е-'~ Е Р (Т,) для всех А~С. Что касается Т„то оператор (5ь2)(х)=1) е 'ь" ад(е)еЬ 2. Симметрические и самосонреисеннме онераторы 281 удовлетворяет равенству (Ле' — Т,)5„=1, а 5х(Л! — Т,) — тожде- ственный оператор на Р(те). Более того, ! !! 5ха П = 1 ! (5хя) (х) !* с(= о ' < 1' зцр ! (5ки) (х) ! )' ( ~ке1о, 11 к е зцр ~ !е а""' "д (э)!сЬ ) ( ч,ке1о, 11 о и(- (1~- -се*а *. )~кьи")~ 'яе1о.
~1 ~ко // ч,ке1о, 11 о =С(Л)!!д!!;, так что 5х ограничен. В соответствии с замечанием, сделанным сразу после определения резольвентного множества, для доказательства ограниченности 5к достаточно показать, что Л( †Т,— биекция. Это позволило бы избежать предыдущих вычислений. ЧП!.1. Симметрические и самосонряженные операторы. Основной критерий самосонряженности Определение. Плотно определенный оператор Т в гильбертовом пространстве называется симметрическим (или армитовым), если Тс=.т', т. е. если И(Т)си(т*) и Тср= Т'ф для всех ф ЕР(т).
Равносильное условие: Т симметричен тогда и только тогда, когда (Тф, чр) =(ф, Тф) для всех ф, чрЕР(Т). Определение. Оператор Т называется самосопряженным, если Т = Т', т. е. тогда и только тогда, когда Т симметричен и и(т)=п(т). Симметрический оператор всегда допускает замыкание, поскольку Р (Тч) ~И (Т), а значит, область ИЦТч) плотна в Яо, Если Т симметричен, то Т* — замкнутое расширение Т, поэтому наименьшее замкнутое расширение Т" оператора Т должно содержаться в Т'. Итак, для симметрического оператора имеем Тс Т" с Т'. Для замкнутого симметрического оператора т = т" с т', а для самосопряженного оператора Т = Т'* = Т'. У1П. Нвкраниченные овераторм Отсюда видно, что замкнутый симметрический оператор Т самосоп яжен тогда н только тогда, когда Т' симметричен.
азлнчне между замкнутыми симметрическими операторами н самосопряженными операторами очень существенно. Именно для самосояряженных операторов выполняется спектральная теорема (см. й ЧП1.3), н только для самосопряжениых операторов могут быть построены зкспоненты, задающие однопараметрическне группы унитарных операторов (см. $ Ч111.4), описывающие динамику в квантовой механике. Изучению методов доказательства самосопряженности операторов посвящена гл. Х. Здесь же мы ограничимся доказательством основного критерия самосопряженностн. Введем сначала полезное понятие самосопряженностн в существенном. Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
