Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 62
Текст из файла (страница 62)
По теореме Ч111.2 (А+«) ' и (А — 1)-«коммутируют. Равенство ((А — Е) «Р, (А+ 1) -' (А +1) «р) ((А — 1)-' (А — 1) «Р, (А+ 1) «р) и тот факт, что Кап(А ~- «) Яз, показывают, что ((А+«)-«)а = =(А — Е) '. Таким образом, (А+«) ' нормален. Теперь используем несложное обобщение спектральной теоремы для ограниченных самосопряженных операторов на ограниченные нормальные операторы. Доказательство этого обобщения вынесено в задачи 3, 4 и 5 гл. Ч11. Тогда заключаем, что существуют пространство с конечной мерой <М, и), унитарный оператор У: рз — 1.З (М, 4«) и измеримая ограниченная комплексиозначная функция п(т), такие, что (У (А+ «)-' У-««р) (т) =д(т) р(т) для всех фб1.*(М, 4з).
Так как множество Кег(А+Е)-«пусто, то л(т) чьО п.в. по мере р., так что функция ~ (т) = л(т)-« — Е конечна п.в. по мере р«. Предположим теперь, что «Р~Р(А). Тогда «Р=(А+1) «ф для некоторого фЕЖ и У«р пУф. Из ограниченности ф~заключаем, что«(У«р) ЕЕ*(М, 41) Обратно, если ~(У«р) Е 1.'(М, 41), тосуществует такое «рЕЮ, что У«р (1+1) У«Р. Таким образом, дУф = =у(~+«)у«р=у«р, так что «р (А+1)-'«р, т. е. «р~1)(А). Это доказывает (а). Для доказательства (Ь) заметим, что если «р Е17(А).
то ф=(А+1)-««р для некоторого фЕЖ и Аф=«р — 1«р. Поэтому (УАф) (т) = (У«р) (т) — «' (У«р) (т) = =(«7(т)-« — «)(У«р) (т) = 1(т) (У«Р) (т). Наконец, если 1ш1> О на множестве ненулевой меры, то существует ограниченное множество В в верхней полуплоскости, ИП. Нооораэиченные оооратори такое, что Ю=(х~~(х) бВ) имеет ненулевую меру. Если у — хаактеристическая функция множества 5, то ~хЕ Р(М, Нр) и т(т, ~Х) > О. Это противоречит тому, что оператор умножения на ~ самосопряжен (так как он унитарно эквивалентен А). Следовательно, Г вещественнозначна.
° Только что доказанная теорема дает естественный способ построения функций от самосопряженных операторов. Для заданной ограниченной борелевой функции И на К положим по определению Л(А)= и- Т„,„и, где Т„,л — оператор на С'(М, 4л), действующий как умножение на функцию Л(~(т)). При таком определении из теоремы Ч111.4 легко получается следующая Теорема )гОЛВ (спектральная теорема в терминах функционального исчисления).
Пусть А — самосопряженный оператор в Я~. Тогда существует единственное отображение э ограниченных борелевых функций на Й в Я'(Ж), такое, что (а) ф — алгебраический о-гомоморфизм; (Ь) Ф непрерывно по норме, т. е. 114(И)~~я, ())И))„; (с) если «Л (х)» — последовательность ограниченных борелевых функций, такая, что Л„(х) — х для каждого х и )Л„(х)~(~х) для всех х и п, то 1пп ф (И,) ф = Аф для любого ф б В (А); Л ~Ф (б) если И,(х) Л(х) поточечно, а последовательность 11Л ~! ограничена, то э(И„) — Ф(И) сильно. Кроме того, ' (е) если Аф=Лф, то +(И)ф=Л(Л)ф1 (1) если И ~ )О, то э (Л) ) О.
Функциональное исчисление очень полезно. Например, оно позволяет определить экспоненту епа и' легко доказать многие ее свойства как функции от г (см. следующий раздел). В случае когда А ограничен, для определения экспоненты не требуется функциональное исчисление, поскольку она может быть задана сходящимся по норме степенным рядом. Функциональное исчисление используется также для построения спектральных мер и теории спектральных кратностей, аналогичной соответствующей теории для ограниченных самосопряженных операторов. Вектор ф называется циклическим для оператора А, если множество (й(А)$ ~йЕ С„(Р)) плотно в Ю.
Если ф †циклическ вектор, то Ж можно представить как Ь*(м, дрэ), причем так, чтобы А перешел в оператор умножения У. Саасиральиая люрема на х. Здесь рэ — мера, удовлетворяющая соотношению ~ й (х) с(нч(х) =(ф, я(А) ф). В общем случае М разлагается в прямую сумму циклических подпространств, поэтому пространство с мерой М в теореме У1П.4 можно представить как объединение некоторого количества экземпляров К. Как и в случае ограниченных операторов, мы можем ввести о„(А), о„(А), а,ы (А) и соответствующим образом разложить Яг. Наконец, нз функционального исчисления' легко вывести спектральную теорему в терминах проектор нозначных мер.
Пусть Рп — оператор Ха(А), где Хп — характеристическая функция измеримого множества Я с= м. Семейство операторов (Ро» обладает следующими свойствами: (а) каждый Ра — ортогональный проектор; (Ь) Р = О, Р, „ , = Г; (с) если И= () я, причем й„() И =я при пчьгв, л 1 то Рп=э-!пп ~ Рп ° «-~м а ! (б) Рп,Рп, =Ра,оп, ° Такое семейство называется проекторнозначной мерой. Эго определение обобщает понятие ограниченной проекторнозначной меры, введенное в гл. Ч11, поскольку мы требуем только, чтобы Р< , „> = 1, вместо Р< , ~ = 1 для некоторого .и. Для ~р4Я'.
среднее (<р,' Рпф) †коррект определенная борелева мера на к, которую мы, так же как в гл. Ч11, обозначим через д(~р, Р„~р) Комплексная мера д(у, РрЯ определяется поляризационным тождеством. Итак, для заданной ограниченной борелевой функции я мы можем определить й(А) условием (<р, й'(А)<р)= ) к(х)д(<р, Рх<р). (У1П.4) Нетрудно показать, что это отображение я ь й (А) обладает свойствами (а) — (б) теоремы Ч1П.5, так что я(А), определенное по (У111.4), совпадает с й'(А), данным в теореме Ч111.4. Предположим теперь, что я — неограниченная комплексноэначная борелева функция, и пусть Тогда область Ра плотна в гг, и оператор я(А) определен на Рк формулой (р, К(А) р)= $ йР)~!(р, РЛ). Как и в гл.
ЧП, мы будем использовать символическую запись я(А) = ) й(Х) ЕР». В частности, если <р, 4>ЕО(А) то (~р, Аф)= ) !»И(Ф, Р»ф). Ф Если я вещественнозначна, то оператор я(А) самосопряжен на В . Наши построения резюмирует Теорема ЧШ.6 (спектральная теорема в терминах проекторнозначных мер). Существует взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами А и проекторнозначными мерами «Рп) на ЯГ, задаваемое равенством Ф А ) Х6Р». В Если я(.) — вещественнозначная борелева функция на м, то оператор я(А) = ) й (Х) 4Р», Ф определенный на Р (см.
(ЧП!.5)], самосопряжен. Если функция я 'ограничена, то я(А) совпадает с Ф(я) теоремы ЧП1.5. В заключение сделаем несколько замечаний. Во-первых, формула Стоуна, данная в теореме ЧП.13,связывает резольвенту и проекторнозначную меру любого самосопряженного оператора. Доказательство проходит так же, как и в ограниченном случае. Спектр неограниченного самосопряженного оператора — неограниченное подмножество вещественной оси.
Можно определить дискретный и существенный спектры, и они по-прежиему характеризуются теоремами ЧП.9, 'ЧП.10 и ЧП.11. Теорема ЧП,12 (критерий Вейля) также выполняется, если потребовать, чтобы векторы Щ лежали в области определения А. Наконец, отметим, что пространство с мерой в теореме Ч1ПАг всегда можно выбрать так, чтобы было применимо предложение 2. 4.
Теорема Сшоома Предложение 3. Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Рс. Тогда пространство с мерой <М, 1л> и функция '1 из теоремы Ч111.4 могут быть выбраны так, что 1 Е Ее(М, д1л) для всех р, удовлетворяющих неравенству 1(р < оо. Доказаопельство. Из теоремы ЧП1.4 мы знаем, что А унитарно эквивалентен Т~ на некотором пространстве с мерой <М, т> с т(М) < оо.
Пусть )л — мера, заданная соотношением с(р = е-рс(т. Тогда Тт на Е'(М, 4л) унитарно эквивалентен Т на ЕО(М, с(т), и эта унитарная связь осуществляется оператором У: Е*(М, е(т) ЕО(М, д)л), который задается равенством Уц(т) =(е+~'~*й) (т). Более того, ТЕЕг(М, б)л) для любого 1(~р < оо. а У1Н.4. Тео(эема Стоуна В этом разделе доказывается теорема Стоуна, которая, подобно спектральной теореме, играет важную роль в квантовой механике.
Предположим, что А — самосопряженный оператор в ЯГ. Если А ограничен, то экспоненту от А можно определить при помощи ряда пл ~Ч~"' йт) А" о=о поскольку он сходится по норме. Если оператор А самосопряжен, но неограничен, то использовать степенной ряд непосредственно нельзя, однако для определения епл в этом случае можно использовать развитое' в предыдущем разделе функциональное исчисление. Теорема УШ.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
