Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 66
Текст из файла (страница 66)
.Читателя подстерегают несколько ловушек. (1) Если А и  — самосопряженные операторы и 11(А) ш Е>(В), причем В)В(А) А, то А В. Однако может оказаться, что ц и Ь вЂ” замкнутые полуограниченные квадратичные формы и Ь1Я (а)хЯ (а)=а, но ачьЬ, (2) Пусть А — симметрический полуограниченный оператор. Пусть д — квадратичная форма д (<р, ф) = (~р, Аф), причем Я (д) = 11(А). Предположим, что д имеет замыкание (это всегда так, см.
$ Х.З) л, т. е. наименьшую замкнутую форму, расширяющую д. Тогда самосопряженный оператор А, порождающий д (по теореме У1П.15), может быть шире, чем , операторное замыкание А, т. е. А =~ А и А-,б*А. (3) Хотя общая квадратичная форма может не иметь замкнутых расширений, формы, порождаемые полуограничениыми операторами, веегда имеют замыкания, а, следовательно, полуограниченные операторы всегда имеют самосопряженные расширения (см.
$ Х.З).' Следующий пример демонстрирует первые два из этих явлений. Прплбер 3. Пусть АСв(0, Ц обозначает множество функций ) Е1,в(0, Ц, таких, что 1 дифференцируема, 1' абсолютно непре. рывна и ~'б1.'10, Ц. Положим В,=Ц~~бАС'~0, Ц, ~(0) ~(1)=О=~'(0) ~'(1)), и„, Я~ЕАС'~О, Ц, Р(О)+Г(О)=О=Ь|(1)+Р'(1Н, 11„, =Д!~ЕАС'10, Ц, 1(0) 0=1(1)), В=У!1~АС [О, Ц), и пУсть Т„Т„ю Т„„и Т вЂ” опеРациЯ вЂ” ~Р(пхв с областЯми определения соответственно 1)„В ы 11„, „и 11. Тогда (а) Операторы Т„Т, „, Т„„и Т замкнуты.
Оператор Т, симметричен, но не самосопряжен; его сопряженный есть Т. (Ь) Т„в( — оо <а < оо, — оо < Ь < оо) и Т„„суть различные самосопряженные расширения Т, (но есть и другие!). 'г «'«'«. Н««««рани««««««ме о«мр««тор»« (с) Если 1,(«Р, ф)~(«Р, Т»«Р) для «Р, фЕ0„то форма 1 имеет наименьшее замкнутое расширение 1,. Это расширение— форма, порождаемая оператором Т„, что иллюстрирует замечание (2). (д) Форма 1, „порождаемая Т„», имеет область определения Я (1„,), содержащу«о область определения (1 (1 ) формы 1 „, порождаемой Т „, и 1, «1Я (1 „) =1„„.
Это иллюстрирует замечание (1). Распространим, наконец, некоторые из этих идей на несимметрические формы. Термины «секториальная» и «аккретивная» используются ниже не совсем в стандартном смысле (см. Замечания). Определение. Квадратичная форма «1 называется строго п«-аккретивиой, если (1) «1 замкнута в том смысле, что если «Р„Е Я («1), «Р„— «Р и «1 («Рл «Рл~ «Р» «Рлв) = О~ и. е-~се то «Р ~ (;«(«1) и «1(«Р„— ~Р, «Р„— «Р)- О; (11) существует такое 9, О < О < и/2, что (агя[«1(«Р, «Р)1 ! «~ В для всех «Р ч ««(ч). Предположим теперь, что «1 строго т-аккретивиа. Определим новую квадратичную форму 1««формулой «с.
(Р ф) = 4 ) Йе [1(Р+ф «Р+ф)) — йе [«1 ( Р— ф* 'Р— «Р)1+ + —. й е [«) («Р + «ф, «Р + (ф)1 —. Я е [«1 («Р — (ф, «Р — 1«Р)] ) . « .. 1 Отметим, .что )Р«(«Р, «р) = Ке[«1(«Р, «РЯ, так что )~« — замкнутая положительная форма. Ее можно использовать теперь для построения шкалы пространств Я„сЯ~«=.9~ „как при доказа.
тельстве теоремы Ч111.15, и для нахождения отображения Т: ЯГ+« — Ж „такого, что [ТФ1(«Р) д (Ф, «Р). При помощи доказательства теоремы Ч111.15, выбирая Т как подходящее сужение Т, можно получить следующую теорему: Теорем«з У111.16. Пусть «1 — строго т-аккретивная квадратичная форма. Тогда существует единственный оператор Т в Ж, такой, что (а) Т замкнут; (Ь) 0(Т) «= (~ («1), и если «Р, фЕ0(Т), то «1(«Р, «Р) =(«Р, Т«Р); при этом 0(Т) — существенная область формы «1; (с) 0 (Т') «= «1 («1), и если «Р, «Р Е 0 (Т'), то «1 («Р, ф) (Тчр; ф).
Кроме того, 0(Т') — существенная область формы «1. б. Квадратичные корми Единственный оператор Т, определенный предыдущей теоре- мой, называется оператором, порождающим форму д. Естественно, Т называется строго пз.аккретивиым оператором. Спектральные свойства таких операторов определяются свойствами порождае- мых ими форм. Лемма. Пусть Т вЂ” сгрого т-аккретивный оператор. Тогда лю- бое Л, такое, что йеЛ<О, лежит в р(Т) и Ц(Т вЂ” Л) 'Ц~ (( — йе Л) '. Доказательство. Пусть Л= р+(ч и р (О.
Тогда Ц(Т вЂ” ЦфЦ =((Т вЂ” Л) р, (Т вЂ” Цф)= =(ЦТщЦ' — 2ч1юп(ф, Тф)+ч'ЦфЦ')— — 2р Яе(ф, Тщ)+ р. 'ЦфЦг=в ~р*ЦфЦ'» так как Ке(ф, Тф):) 0 и Ц ТщЦ- '— 2ч 1ш(ф, Тф)+ч'ЦщЦ' ) Ц Тщ Ц' — 2 ! ч ! Ц Тф Ц Ц ф Ц+ ч* Ц ф Цг ) О. В результате получаем, что Т вЂ” ) инъективно и Кап(Т вЂ” Л) замкнута, Аналогично, Ц(Т вЂ” Л) фЦ~р*Ц рЦ*, так что (Кап(Т вЂ” Л))ь = Кег(Т вЂ” Л)'=О. Итак, Т вЂ” Л обратим и Ц(Т вЂ” Л)- Ц<( — р)-. ° Прежде чем сформулировать теорему, несколько обобщаю- щую зту лемму, расширим понятие аккретивности.
Определение. Форма д называется строго гп-секториальной, если существуют комплексные числа г и е'", где а вещественно, та- кие, что г"'д+г строго т-аккретивна. Оператор Т, порождаю- щий д, также называется строго ш-секториальным. Отметим, что если о строго т-секториальна, то значения д(ф, щ) лежат в секторе Бч= (сз!8о(агй(оз — г) ~8„где !8,— 8о! (и); Я называется сектором формы д, Теорема УШ.17. Пусть д — строго т-секториальная форма„ 3 — сектор д и Т вЂ” порождающий оператор. Если Л(5ч, то ЛЕр(Т) и Ц(Т вЂ” Л)"'Ц([б)з1(Л, Зц)~ '.
Идея доказательства состоит в том, чтобы сдвинуть и повер- нуть Я, так, чтобы расстояние 6Ы(Л, 3,) было сколь угодно близко к вещественной части сдвига Л (рис. У111.3). З1а Ч1П. Неограниченные виратоаи Прнлтер 4. Пусть Н, и У вЂ” положительные самосопряженные операторы, такие, что область Я (Ь) = () (Н,) 11 () (У) плотна.
Для заданного ~~С'~( — оо, 0) положим Ь(~р, 'ф) (<р, НЯ+ + р (~р, И~). Тогда й — замкнутая и строго ш-секторнальная форма, так что для получения сведений об Н=Н,+РЧ можно использовать теорему ЧШ.17. Рас. Ч111.3. Ранее символ А+В понимался как операторная сумма, определенная на 0(А) 11 0(В), или, быть может, ее операторное замыкание. В. примере 4 плюс в Н,+~И означает оператор, порождающий сумму (рорм, определенную на (~ (Н,) 1) Я (г). В дальнейшем, в' тех случаях когда не может возникнуть путанипы, мы, будем писать А+В, не поясняя явно смысл знака +.
1г(Н.У. Скеа(нместь нееграннченнык енератерев Одна 'нз основных трудностей, связанных с неограниченными операторами, состоит в том, что онн заданы не всюду, а лишь на плотном множестве. Эта трудность особенно заметна, когда нужно ввести понятие сходнмости для последователыюстн А,— А неограниченных операторов, поскольку общая часть областей определения операторов А может состоять из одного нуля. Например, если А =(1 — 1/п)х на 1.*(К), то ясно, гго в каком-то смысле А — А =х, однако в качестве областей определения 0(А ) и 0(А) могут быть заданы области самосопряжекностн в существенном для этих операторов, а они не. имеют зп ненулевых общих векторов (задача 19). Конечно, в атом простом случае одну и ту же область определения имеют замыкания А„и А, во, вообще говоря, это не так, и вдобавок часто приходится иметь дело с областями самосопряженяости в существенном, поскольку замыкания операторов иногда трудно вычислить.
Вполне естественно считать самосопряжевные операторы «близкими», если «близки» некоторые огранячейные функции от них. Большая часть зтого раздела посвящена такому подходу. Кроме того, мы введем граф-пределы — понятие, разрабатываемое в дальнейшем в 5 Х,8.
Ощрлднллмие. Пусть А„, и 1, 2, ..., и А — самосопряженные операторы. Говорят, что А„сходятся к А в смысле равномерной резоаьвентной сходнмостй (или обобщенной равномерной схоинмости, или обобщенной сходимостн по норме), если Яь(А„)- Яь(А) равномерно при всех Х, для которых 1ш Хчьо. Говорят, что А„сходится к А в смысле сильной резольвентной сходимостн (или обобщенной сильной сходимости), если Рь (А,)- — Яь(А) сильно при всех 3„для которых 1т А~О. Мы не вводим понятие слабой резольвентной сходимости, поскольку слабая резольвентная сходимость влеяет за собой сильную резольвентную сходимосгь (задача 20), Следующая теорема показывает, что равномерная резольвентная сходимость— разумноеобабщение равномерной сходимости для ограниченных самосопряженных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
