Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Пусть А — самосопряженный оператор; положим У(1)=в"'. Тогда а) для любого 1~К оператор У(1) унитарен и У(8+в) (8) У(в) при всех в, 1~К; (Ь) если ~рЕМ и ~- ге, то У(()<р- У(1О)~р; (с) для фЕР(А) имеем ~ ~ ~ — 1Аф при 1 — О; (б) если Вгп ()т т существует, то ф~Р(А). у(г)Ф вЂ” Ф Ф-~ О Доказательство. (а) немедленно следует из функционального исчисления и соответствующих утверждений для комплекснозначной функции е"л. Для доказательства (Ь) отметим, что )~втл<р <р~(з ) ~впл ] ~ед (Р у ~р) уСсс.
Неограниченные онеесансоры Поскольку ~есс" — 1~с мажорируется интегрируемой функцией я(Л) 2 и поскольку н ( ассн — 1 ~е — О для любого Л ~ Й, о мы заключаем, что ~~ (с' (1) ~р — ср 11'- О по теореме Лебега о ма- жорированной сходимости. Итак, 1 с (с'(1) сильно непрерывно в 1 О, откуда в силу группового свойства вытекает сильная непрерывность этого отображения всюду. Доказательство (с), использующее снова теорему о мажорированной сходимости и оценку ~асн — 1)()х~, мы оставляем читателю (задача 11).
Чтобы доказать (д), -положим Р(В) =(ф~ 1(ш ~)й '" существует~, 1с о и пусть сВф= 11т [(с' (1) ф — ф)с1. Простые вычисления показыс о вают, что  — симметрический оператор. Согласно (с), В л А, поэтому В =А. ° Ощввдвлясепе. Операторнозначная функция (с' (1), удовлетворякнцая (а) и (Ь), называется сильно непрерывной однопараметрической унитарной группой. Следующая теорема гласит, что каждая сильно непрерывная унитарная группа есть семейство экспонент некоторого само- сопряженного оператора.
Теорема есП1.8 (теорема Стоуна). Пусть У (1) — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа на гильбертовом пространстве ЯГ. Тогда существует самосбпряженный оператор А в М, такой, что у(1) асса. Локпзсипальаспво. Пункт (с() теоремы ЧП1.7 наводит на мысль о том, что А можно получить дифференцированием (с'(1) при 1=0. Мы покажем, что это можно сделать на плотной области, состоящей из особенно хороших векторов, а затем, используя основной критерий самосопряженности, покажем, что предельный оператор 'в существенном самосопряжен. И наконец, мы. докажем, что экспонента этого предельного оператора даст 1С (1). Пусть ~ЕС,"(й); для каждого ср~я~ введем Ф р,= ~ ~н)и(1)р и.
Так как группа У(1) сильно непрерывна, то интеграл можно рассматривать как риманов. Пусть Р— множество конечных ЛИНЕИНЫХ КОМбИНацкй ВСЕХ таКИХ срс дпя ЧсбЮ И ~ЕС, (Ц). 4. Теорема Саюуиа Если 1,(х) — аппроксимативная единица, введенная в 5 7(П.1, то ~~~,.— ~~-(!1 ~.еюе — + В / Ф -"-=~ 1 1,(Г)4Г ) знр !1У(Г)ф — ф!!.
Х 1е1-в. в] Поскольку У (г) сильно непрерывна, Р плотна в Ж. Мы использовали здесь неравенство ~~) л(Г)И~~(~(~Ь(г)~(Ж для непрерывных функций на вещественной прямой со значениями в банаховом пространстве (зто неравенство можно доказать с помощью частичных сумм точно так же, как и в вещественнозначном случае). При фри Р получим (1(~) — ~) ~, У ~(г) ~~(+~) — и(1) ) У(т)фЫ- — ) г'(т) У (т) фут= =ф-г'Ф так как [г(т — з) — г(тЦ/з равномерно сходится к — Г'(т). Для фгЕР положим Афг — — г-'ф и. Отметим, что У(г): Р Р, А: Р Р и У(г)Афг — — АУ(Р)фг пРи фгЕР. Более того, если фг„ф ~Р, то (А р, р ) = Бт и ~ф — ~~ р, р ) = = 1нп (фг, (, ~) ф,1= (фг, 1 'ф з)= =(фг, Афг)* так что А — симметрический. Теперь покажем, что А в существенном самосопряжен.
Предположим, что имеется такой ибР(А'), что А'и=(и. Тогда для любого ф ~Р(А) =Р: ~~~ (У (г) ф, и) = (КА У (г) ф, и) = = — р(У(г) ф, А'и) = — Р(У(Ю) ф, ри) = =(У(г) ф, и). Р11!. Неоараниненнь«е олераторе« Итак, комплекснозначная функция 1(г) =(У(1) «р, и) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 7'=1, и позтому 1(г)=!(0)е«. Поскольку У(1) имеет единичную норму„ модуль ~ !(8) ~ ограничен, откуда следует, что 1(0) =(ф, и) =О. Так как Р плотна, то и О. Аналогичное доказательство показывает, что и А'и = — (и не имеет ненулевых решений.
Отсюда, в силу следствия из теоремы У111.3, А в существенном самосопряжен на Р. Пусть )!(1) =е«". Остается показать, что У(1) =е'(8). Пусть. «р з-Р. Так как «р ~Р(А), то, в силу пункта (с) теоремы У111.7, У(1) «р ~ Р (А) и 1!' (1) «р — 1А11(1) «р. Мы уже знаем, что У(8) «р йР «= Р(Л) при всех г. Пусть и«(Г) У(г) «р — 1!(1)«р. Тогда и«(1) — сильно дифференцируемая векторнозначная функция и в' (М) =(АУ (Е) «р — (ХУ(1) «р (Аи«(1). Таким образом, л« ««и«(г)««'= — 1(Аи«(г), и«(1))+1(«в(1), Аи«(1)) О, и так как «в(0)=0, то «в(1) 0 для всех 1. Отсюда получаем равенство У(М)«р=)!(М)«р для всех ФЕЙ, «р~Р. а так как Р плотна, то У(М) =)1(1).
° Определение. Если У (1) — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа, то самосопряженный оператор А„ такой, что У(1) =е"', называется иифинитезимальиым генератором У (г). Предположим, что У(1) — слабо непрерывная однопараметрическая унитарная группа. Тогда !1 У (1) р — р!!'=!! У (1) р !!' — (У (1) р, р) — (р. У (1) р)+!! р !!'— 2~~«р~~' — 2 ~~«р ~~а =0 при 1- О. Итак, У (1) в действительности сильно непрерывна. На самом деле для заключения о сильной непрерывности У(1) достаточно доказать лишь слабую измеримость У(г), т. е. что функция (У (1)«р, «р) измерима при любых р и «р. Этот замечательный результат, доказанный фон Нейманом, полезен в приложениях, поскольку (У (1) «р, «р) часто оказывается пределом последовательности непрерывных функций.
Тогда функция (У(1)«р, «р) измерима, а группа У(1) по теореме фон Неймана сильно непрерывна. Теорема ко!.У (фон Нейман), Пусть У(г) — однопараметрическая группа унитарных операторов на сепарабель««ом гильбертовом 4. Теорема Стоуна пространстве,Ж. Предположим, что для всех ф, ФеЯГ функция (У(Г)ф, ф) измерима. Тогда У(г) сильно непрерывна. Дояазаямлесямо. Пусть ф ~,Ро.' Тогда для всех ф ~Я' функция (У(~)ф, ф) ограничена и измерима, а отображение р $(У(г)ф, ф) (г о — линейный функционал на,Ж, норма которого меньше или равна айфЬ'. В таком случае по лемме Рисса существует такой ф,ЕМ, что а (Ф..
ф) ) (У (г) Ф, фМГ. о Тогда (У (Ь) ф„ф) = (И„У ( — Ь) ф) = а =~(У(Г)ф, У( — Ь)ф)бГ= о = $ (У(г+Ь)ф, ф) И о е+ь = ~ (У (г)ф, ф) и. Таким образом, ь ~а+ь дуол~., м — ~е., ~ц-~(~ать ма$~~$1 <ать мис$а !о е ~2Ь!! ф 1!!1И, Позтому Иш (У (Ь) ф„р) (Ф„ф), ь о так что У(Ь) слабо и, следовательно, сильно непрерывна на множестве векторов вида (фе ~ ф Е ЯЦ. Остается только показать, что зто множество плотно, поскольку при помощи а/3-приема тогда можно будет заключить, что г м У(г) сильно непрерывно на Ж Предположим, что ф ~ 1ф )ф ЕЖ, а ~Ц1, и пусть (Фн') -м ортонормированный базис в М.
Тогда для любого и е о=(ф.', ф)=~(у(г)ф™, ф) (г У«'П. Неоара««иче««««ые о«««ратори при всех а, откуда (У(1)«р«"', «р) =0 для всех 1, кроме принад- Ю лежащих 3„— множеству нулевой меры. Выберем г,( (1 5,. л 1 Тогда (У (1,) ф«', «р) =0 при всех и, откуда «р=О, в силу унитарности У(Г,). Й Из доказательства самосопряженности в существенном в теореме Ч1П.8 непосредственно вытекает следующий критерий самосопряженности: Теорема УНИО. Предположим, что У («) — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа. Пусть Р— плотная область, инвариантная относительно У (1), на которой У (1) сильно дифференцнруема.
Тогда произведение 1-' на сильную производную У (г) при « =0 в существенном самосопряжено на Р, а его замыкание — ннфинитезимальный генератор У(1). Существует другая формулировка этой теоремы, достаточно важная, чтобы выделить ее в качестве самостоятельной теоремы: Теорема )ГИ1.11. Пусть А — самосопряженный оператор в Ж и Р— плотное линейное множество, содержащееся в Р (А). Если е" 4: Р Р при всех 1, то Р— существенная область А.
Наконец, справедливо следующее обобщение теоремы Стоуна, ' Теорема уИ1.12. Пусть1 У(1)= У(1„..., 1,) — сильно непрерывное отображение Р" в множество унитарных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве ЯГ, удовлетворяющее условиям У(1+з) =У(1) У(з) и У(0)=1. Пусть Р— множество конечных линейных комбинаций векторов вида р =- ~ ~(1) У(1) р 1, р~2~, ~~СТЖ").
ял Тогда Р— область самосопряженности в существенном для каждого из генераторов А~ однопараметрических подгрупп У (О, ..., 1~, ..., 0); при этом каждый Ау отображает Р в себя и все А~ коммугируют, 1 1, ..., п. Более того, существует проекторнозначная мера Рп на Е", такая, что для всех «р, «р ЕЯ' (у, У(1)«р) = ) ен ~«((«р, Рьф). ««и Доказ«илельс«иео.
Пусть А« — инфиннтезимальный генератор группы "У~(1~)=У(0, ..., ГР ..., 0). Построение, -использованное при доказательстве теоремы Ч1П.8, показывает, что Р«=Р (А,,), А: Р Р и У~(Г~)«Р Р, Из теоремы ЧП1.11 видно, что А~ в существенном самосопряжен на Р, В силу соотношения У(Ф+з)=У(1) У(з), У;(1~) коммутирует с У«(1«) при всех 1«, Ю. Оааснмти, эиищиля в формавьньи м~ыивудяяила 1~ ~й.
Поэтому, как вытекает из теоремы У111.13, А; и А~ коммутируют в смысле определения из следующего раздела, т. е. коммутируют их спектральные проекторы. Пусть Рп — проекторнозначная мера на й, соответствующая ! А~. Определим проекторнозначную меру Ро на й", задав ее сйачала на прямоугольниках г=(а;, Ь,)х ... х(а, Ь„) формулой Р, Р",„,ьп Р<~,ьл ... Р(, з ), а затем считая Рд единственным расширением на наименьшую а-алгебру, содержащую прямоугольники, а именно на борелевы множества. Отметим, что по теореме УП1.13 операторы Рп коммутируют, поскольку коммутируют группы У~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
