Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Рашянрьте задачу 4 на случай счетного числа Аи. Указание: используйте топологию произведения на Х[ — )(Аи 11Ц ((А„)Ц. (7. Найдите самосопряженный оператор А, для которого (О. П~озсиа(А). (Указание: выберите 'А с 'простым спектром'так, чтобы его спектральная мера бьСла бесконеЧной йзвешейной суммой'сдвйгов канторовых мерЦ )8. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор, н пусть 1 — непрерывная функцяя на о(А). (а) Если й(х Кап 1, положим л=(! — Ь)-с. Докажите, что сс (а) = (сз Π— х) (Ь) Пусть ЬбДзп 1. Докажите, что существуют такие ф~Я', что () ф)( 1 и норме (((Ф (1)-х) ф Ц произвольно мала, так что )~о(Ф (!)). (с) Зазершяте доказательство пункта (е) теоремы Ч1!.1. ту. Предположим, что 1 непрерывна и не иеотрицательиа на а(А), где А— ограниченный самосопряжеииый оператор. Покажете.
что тогда существует фЕЯ', удовлетворяющий условию (ф, Ф (с) ф) ( О. (!О. Докажите, что в случае, когда А самосопрюкен (теорема Ч11П) или нормален (задача 5), образом множества непрерывных функций прн озсбражеиня сз является Си-алгебра, порождаемая оператором А. !1. Предположим, что ес С(Х) — .с (Яр) — алгебраическяй и-гомоморфизм, Х вЂ” компактное хаусдорфоео пространство.
(а) Докажите, что сз(с) ~0, если !~0. (Ь) Д ° '. ° ~~ ба П~~(!((-. 273 [12. Пусть А )О. Докажите, что (А — Х)-» существует прн з < О. ) /8. Восполните детали доказательства теоремы У11.2. И. Докажите, что самосопряженный оператор на конечномерном пространстве имеет циклический вектор тогда.я только тогда, когда у него нет повторяницнхся собственных значений. ')15.
Докажите лемму 2, нужную для доказательства теоремы У11.3. 16. Завершите сведение оператора из примера 3 Э У11.2 к оператору умножения. Имеет лн этот оператор однородную кратность? Какую? '(17. (а) Докажите, что п(А)=знРР()»„)„„если 1!»„)з?/ » — спектРальные меры. (Первое предложение после теоремы Ч11.3 ) (Ь) Пусть Тг — оператор умножения из Р— зещестзеннозначную ограниченную измеримую функцию. Докажите, что и(/'з) — существенная область значений Р. [/8. Пусть А — умножение на х на /.э(В, Щ=(,з(В, б»зз,)Я/.з(Е, »йзрр)»г» Щ/,з(й, »()зз»ээ).
Пусть фцьз(В, 4р). Докажите, что»йзв абсолютно непрерывна тогда н только тогда, когда фЕ/,з(В, Щ,). ч/р. Можно ли построить меру на [О, 1[, абсолютно непрерывную по отношению к»/х, с носителем [О, Ц, но не эквивалентную»(х; иными словами, является лн энрр()»ь различазнцнм инвариантом для классов мер, абсолютно непрерывных по отношению к»(х? 20, Пусть А=(/[А [ — полярное разложение А. Пусть /„апределяегся так: /„(л) = 1/л прн л ~ 1/л н /„(х) = 1/и прн х ~ 1/и.
Докажете, ч»о (/=з-Ыш А/„([ А [), Заключите отсюда. что (/ принадлежит алгебре фон Неймана, порождаемой оператором А, т. е. наименьшей сильно замкнутой ч-алгебре, содержащей А. [2/. (а) Докажите, что условия (а) н (Ь) теоремы У11.5 равносильны. "(Ь) Докажите, что условие (а) теоремы У11.5 влечет за собой в общем случае условие (с). [Уаиаяие» докажите, что [В [ АВ = ВА) = = /. (М, »()»).) (с) Докажите, что (с) влечет за собой -(а) в конечномерном случае.- 722.
(а) Докажите, что свойства (а) — (б) проекторноэначных мер выпоа»яются для спектральных проекторов оператора А. (Ь) Докажите, что условие (д) для проекторнозначиых мер следует нз (а) н (с). 728. (а) Воспроизведите детали доказательства теоремы У11.7. (Ь) Докажите, что /(А) = ~ /(Х)»/Р~„, если Рп — — -Хп(А).
(с) Если А=) Х»(Рь, докажите, что Рц — — ц»(А), 724. Докажите, что Х~п(А) тогда н только тогда, когда Р!» х+ >(А) ш 0 для всех з. 28. Рассматривая компактные операторы, покажите, что оа», не всегда замкнут. '[26. (а) Докажвте теорему У11.10, (Ь) Докажите теорему У11.! !. 27. Пусть С вЂ” самосопряженный компактный оператор. Что представляет собой о (С)? Как зто связано со свойством инвариантности о, отмеченным в конце Э У11.3? 274 У!1. Слектраханах теорема 23.
(а) Предположим, что р — мера единичной массы, обладающая таким свойством: для заданного 0 < х ( ! существует такое множество /«»-М, что )»(!Ч)=х. Пусть Т:.М~М сохраняет меру н Та=1 для некоторого й. Докажите, что Т не эргоднчен. (Ь) Докажите непосредственно, что Т е из примера 1 4 Ч1!.4 не эргодичен, есле ла+тй=г имеет решение прн целом г и <л, т>т<0, 0> (т. е. докажяте это, не обращаясь к унитарному оператору У).
' 29. Покажите, что каждое из следующих измеримых преобразованяй эквивалентно преобразованию пекаря: (а) М= Х А„, где каяедое А„— двухточечное миожщтво, (Ол, Р„) = Л=-Ф Л ° А„[Орел, Решка[; Р— произведение мер, 1»= ® Рл, где)»л((ОЛ)) = Л -Ф 1/2=Рл((Р„)). Определим Т: М вЂ” » М как правый сдвиг. (Это называется йространсгвом честной игры в орлнвку.) Ф (Ь) М= Х В„, где каждое „— трехточечное множество, Вл=(0, 1,2); Л вЂ” Ф !» — произведение мер, !»= ® тл. где чл ((О)) = 1/2» чл ((2)), Л -Ф и ((1))=О; Т вЂ” правый сдвяг.
(с) л( — квадрат, мера — произведение канторовой меры на себя; Таадано так: [ <3, «/3>, если 0 а.х с !/3, Т<х, У>=~ <Зх — 1, У/3+1/3>, есзн 1/Зл-х С 213, <Зх — 2, у/3+2/3>, есин 2/З~х ( 1. Ю. Пусть <М, )»> — пространство с мерой н Т: М-~.М. Определям ТЗТ: МХМ- МХМ формулой (ТЯТ)<х, у>=<Тх,Т«>. (а) Покажите, что Р®»» — январиантная мера для ТгзТ, если )» — инварнантная мера для Т. (Ь) Йайдите пример, который показывает, что ТЭТ не обязано быть эргодическим для <МхМ, РЕР>, даже если Т эргодичеи для <М, 1»>.
[Указание: обратите вннмзине-нв пример-1 $ Ч11.4.)" (с) Покюкнте, что Т®Т вЂ” перемешивающее для <МХМ, РЕ(»>. если Тв перемешивающее для <М, Р>. (б) Покажите еще раз, используя (с), что преобрааование примера 1 не перемешивакяцее. Замечание» известно, что ТЯТ эргодично тогда я только тогда, когда Т вЂ” слабо перемешивающее, 31. Докажите, что замкнугымн л-ядеалами в 2'(Я~), гдв Я' сепарабельно, являются только (0), Сош(Я~) и 2'(Я~). Улазаюи.
Еслн идеал У строго содержат Сош(Я~), найдите самосопряженный некомпактный оператор А~ 3. Покажите, что для любого интервала (а, Ь), такого, что 0 ~(а, Ь), Р! Ь>(А)Е,'У. Выведите отсюда, что у содержит бесконечномерный проектор я что, таким образом, 1Е 7. 82. (а) ПустьА — самосопряженный,а Ух — частнчнонзометрическнйоперзтар в разложении Ух [ А — л ! =А — )».
Декана»те, чго Ух =Раь» — Р» . щ н что Р», х»= !!ш (1 — Уи)/2 и Р1, х1= 1!ш (1 — Уи)/2. и!х и[х (Ь) Для заданного самосопряжеяного оператора, используя полариое разложение и формулу пункта (а), докажяте сйектральную теорему без обращения к функциональному исчислению. У111. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Заиатиа матаматиаоя, амато а им, иртоааодноа арадотао иротиа аохделанид иаоти. ТОМАС МАНН, аБОЛШЕБНАЯ ГОРА» УЕ1. т. Областн определенна, графнкн, сопряженные операторы н спектр Неограниченность многих нз наиболее важных операторов, встречакицнхся в математической физике,— непреложный факт.
В этой главе мы введем некоторые основные понятия н докажем ряд. теорем, необходимых для работы с неограниченными операторами в гнльбертовых пространствах. Как утверждает теорема Хеллннгера — Теплнца (см. 5 111.5), оператор А, определенный на всем пространстве н удовлетворяющий условию (Аф, ф) =(ф, Аф), с необходимостью есть ограниченный оператор; тем самым произвольный неограниченный оператор Т определен лишь на плотном линейном подмножестве гильбертова пространства Я'.
Итак, оператор на гнльбертовом пространстве Ре — это линейное отображение нз его области определения (линейного подпространства в Ре) в ЯГ. За исключением специально оговоренных случаев, мы всегда будем предполагать, что эта область плотна. Такое подпространство, обозначаемое Р (Т), называется областью определелня оператора Т. Таким образом, чтобы задать неограниченный оператор на гнльбертовом пространстве, необходимо сначала определить область, на которой он действует, а потом указать, как он действует на этом подпространстве.
Пример Г (оператор координаты). Пусть Яр р=Е'(Е), н пусть Р(Т) †множест функций ф нз А'(Е), удовлетворяющих условию 1ха1ф(х) 1'Ых(оо. Для фЕР(Т) положим (Тф)(х)=хф(х). Очевидно, что Т неограничен, поскольку, выбирая носитель ф достаточно близко к плюс нлн минус бесконечности, мы можем сделать норму )~ Тф1'! сколь угодно большой, сохраняя прн этом 11ф11=1. Конечно, даже прн фТР(Т) произведение хф(х) — корректно определенная функция, однако она не принадлежит П (Е). Итак, если мы хотим работать только с гильбертовым пространством 1,"(Е), мы Обязаны ограничить область определения оператора Т.
Выбранная нами область †наибольш, для которой значения оператора лежат в А.'(м). «///1. Неиран«пенные операторы ПрЯмер 2. Пусть Ж=(.е(Гс) и 1> (Т) = ее (Е). На О (Т) положим Т«г(х) = — ф (х)+хе«р(х). Если ф„(х) есть и-я функция Эрмита (см. дополнение к 5 Ч.З), то фп (х) Е В (Т) и Тф„(х) = (2п+ 1) ф„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
