Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пример 2. Пусть А компактен и самосопряжен. Теорема Гильберта †Шмид гласит, что существует полная ортонормированная система собственных векторов (ф„)," „ 'где Аф„ =Л„ф„. Если нет повторяющихся собственных значений, то ~ 2 лб(х — Л ) лл! служит спектральной мерой. Примпр 3. Пусть ее = Р( — оо, оо), т. е. множество последовательностей (а„)" „, удовлетворяющих неравенству ~, '(а„~е<оо.
Зададим Е: Яе — Ж' формулой (Еа)„=а„+,, инымн словами, Е— левый сдвиг. При этом Е'=??, где (??а)„=а„,. Рассмотрим самосопряженный оператор А = ?? + Е. Можно ли представить А как оператор умножения? Отобразим Ж в Ее [О, 11 опе- Ю ратором У: (а„) — .~ Яа„е*"'"'. Тогда УЕУ-' — умножение на л= Ф е- ', а У!?У-е — умножение на е""",'так что УАУ-' — оператор умножения на 2соз(2пх). Построение преобразований, необходимых для представления А как умножения на х, на Ее(й, е(р,)ЯЕе(К, 4е,), мы отнесем к задачам.
Меры )е, и ре имеют носитель в 1 — 2, 2!. Пример 4. Рассмотрим 1-'Щх в Ее (Е, е(х). Это неограниченный оператор и, строго говоря, он не относится к этому разделу. Но в й Ч111.3 мы докажем аналог теоремы У11.3. Итак, мы разыскиваем оператор У и меру е()е (оказывается, необходима лищь одн'а мера )е), У: Ее (т, Нх) — Ее (К, е(р (л)), такие, что У ( — ', — "~) (й)=й(У1)(й). Преобразование Фурье (УД(й)= — ~~(х)е-'ае!(х, рассматри! р"Ж ваемое в гл.
1Х, как раз и осуществляет такой переход, Следовательно, фурье-образ представляет собой пример спектрального представления. 2. Сэ«!с»ч»»«»н»!«мерю Исследуем теперь связь между спектральными мерами и спектром. Онределенае. Носителем семейства мер (Р„ф ! называется дополнение наибольшего открытого множества В, такого, что Р»(В) =0 для всех и, т.е. з"РР (Р»)= () зцРРРи.
«=1 Предложение. Пусть А — самосопряженный оператор и (Р„ф !— семейство спектральных мер. Тогда о(А)=вирр(Р,)х !. Существует также простое описание о(А) при помощи более общих операторов умножения, обсуждавшихся после теоремы УП.З. Онределенае. Пусть Р— вещественнозначная функция на пространстве с мерой <М, Р). Мы говорим, что Л принадлежит существенной области значений функции Р, если для всех е) 0 Р(т~Л вЂ” е < Р(т) < Л+е1) О. ПредАоженае. Пусть Р— ограниченная вещественнозначная функция на пространстве с мерой <М, Р).
Пусть ҄— оператор в !.»(М, ЫР), заданный формулой (Т~я) (т) = Р (т) д (т). Тогда о (Т„) — существенная область значений Р. Докаэотельстео. См. задачу 17Ь. Теперь видно, какая именно информация содержится в спектре. Унитарным иивариаитом самосопряженного оператора А является такое свойство Р, что Р(А)= Р(УАУ-') для всех унитарных У. Таким образом, унитарные инварианты суть «внутренние» свойства самосопряженных операторов, т.
е. свойства, не зависящие от «представления». Примером такого унитарного инварианта и является спектр о(А). Однако спектр— бедный инвариант: например, умножение на х на Ь'([О, 1], «(х) и оператор с полной системой собственных функций, имеющий в качестве собственных значений все рациональные числа отрезка 10, 1], весьма различны, хотя спектры обоих равны 10, 1]. В конце этого раздела мы увидим, что существует канонический выбор «спектральных мер», который дает полный набор унитарных инвариантов, т. е.
набор свойств, различающих два любых самосопряженных оператора А и В, кроме тех, для которых А УВУ-' при некотором унитарном У. Это объясняет, почему о(А) †так плохой инвариант: ведь меры различного УП. Слектральная»»»а»рема типа могут иметь один и тот же носитель. Если мы хотим найти инварианты получше и при этом проще, чем меры, то разумно сначала разложить спектральные меры каким-нибудь естественным образом и только потом перейти к носителям. Вспомним теорему 1.13, которая утверждает, что любая мера р иа К имеет единственное разложение в сумму р =р„+р„,+ри„, где мера р, чисто точечная, р„ абсолютно .непрерывна по отношению к мере Лебега, а р„„ непрерывна и сингулярна по отношению к мере Лебега. Эти три компоненты взаимно сингулярны, так что 1'Ж Ф) =1-*(~.
бр„,)Ю1.'(~, Ф„)Ю1.*(~. Ф.!..) Легко видеть (задача 18), что произвольное !«»Е1.*(Р, Ир) приводит к абсолютно непрерывной спектральной мере дрэ тогда и только тогда, когда !р б 1.' (К, пр„), и то же справедливо для чисто точечной и сингулярной мер. Если «р„ф ! — семейство спектральных мер, мы можем построить сумму ®Ь'(К, Ир„.. ), применяя »» 1 такое Определение. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор на Я~. Положим уь =«ср«рч чисто точечна), Я~„= «ф«рч абсолютно непрерывна), У;„а = «!р«рч непрерывна и сингулярна).
Таким образом, нами доказана Теорема УП.А Я~=,г! ЯЯ~„®ЯГ,!„. Каждое из этих подпространств инвариантно относительйо ' А. Сужение А 1ЯГ р имеет полную систему собственных векторов, А ! ЯГ„имеет только абсолютно непрерывные спектральные меры н А (Я',ма имеет только непрерывные сингулярные спектральные меры. Определение. орр(А) =«Х«$, †собственн значение А), !гма! (А) !" (А 1Р~»о»»! =а ~а!аа йр~вс)» о„(А) = о (А «ЯГ„), а»! (А) =о (А 1Ж»!„а). Эти множества называются соответственно: чисто точечным, непрерывным, абсолютно, непрерывным и сингулярным (или непрерывно сингулярным) спектром.
Может оказаться, что о.„цо„, 0ор чьо, но это только потому, что мы определили о, не как о(А«Я' ), а как фактическое множество собственных значений. Прпдложеяпе. о „(А) = о„(А) 0 о,!, (А), а(А)=о (А)0о „,(А). 267 Однако эти множества могут пересекаться. Необходимо предостеречь читателя, что а„„(А) может иметь ненулевую лебегову меру (задача 7).
В ряде случаев именно такое разбиение спектра позволяет получить полезные сведения. В $ Ч11.3 мы введем другое разбиение, которое тоже очень полезно. Как уже говорилось в замечаниях к ф Ч1.3, некоторые авторы пользуются понятием «непрерывного спектра», отличным от приведенного выше. Именно, они определяют непрерывный спектр как множество таких Л Й (Т), 'которые не принадлежат ни точечному, ни остаточному спектрам. Чтобы показать разницу между этими двумя определениями, положим Яэ = С ®/Р [О, 11 и определим А: <а„ /(х)>- <а/2, х/(х)>.
По нашему определению точка Л =1/2 входит как в чисто точечный, так и в непрерывный спектры. Другие же авторы относят Л 1/2 к точечному спектру, а непрерывный спектр по их определению есть 10, 1/2) 0 0(1/2, 11, Теперь мы обратимся к проблеме канонического выбора спектральных мер, т.е. к тому, что называется «теорией кратностей».
Мы приведем без доказательств 'основные результаты. 1. Операторы с простым спектром Прежде всего зададимся вопросом: когда оператор А унитарно эквивалентен умножению на х на Е*(К, б1«), т.е. когда можно обойтись лишь одной мерой1 Пример 1 показывает, что в конечномерном случае зто возможно лишь тогда, когда А не имеет повторяющихся собственных значений. Поэтому мы введем такое Определение. Ограниченный самосопряженный оператор А называется оператором с простым спектром, если А унитарно эквивалентен оператору умножения на Л на /,*(к, ф«) для некоторой меры р.
Несколько интересных внутренних характеристик «простого спектра» дает следующая Теорема УИ %. Следующие утверждения эквивалентны: (а) А имеет простой спектр; (Ь) А обладает циклическим вектором; (с) (В(АВ =ВА) есть абелева алгебра. Теперь зададимся вопросом о единсгвенности меры в случае простого спектра. Ситуация с простым спектром в конечномерном случае была продемонстрирована в примере 1: «приемлемыми» 9 м «эз Угг. Саоопрааьнаа пыорамо мерами были суммы ~~~а, сс„б(Л вЂ” Л„) с любыми сс„чьО. Здесь воза 1 можно естественное обобщение. Предположим, что на м задана и пусть Р— измеримая функция, которая положительна, не равна нулю п.в.
по отношению к мере )а и локально принадлежит 1.'(ас, йр), т. е. ~ ~ Р ~йр < оо для любого компактного множества С с= й. Тогда йт =*Рйр — борелева мера и отображение Ц: (.» (К, йт) — Р-Е.«(к, 4«), заданное формулой (У~) (Л) = 1/ Р (Л) 7(Л), унитарно (вто отображение «на», поскольку Р~О п. в.) и Л(0~) =У (Ц). Таким образом, оператор А со спектральным представлением в терминах р с тем же успехом может быть представлен мерой о. По теореме Радона — Никодима равенство йт=Ро)ь, где Р п. в.
не равна нулю, выполняется тогда и только тогда, когда т и р имеют совпадающие множества нулевой меры. Поэтому разумно ввести следующее Овределемаге. Две борелевы- меры р и т называются аквнвалентнымн, если они имеют одни и те же множества нулевой меры. Класс эквивалентности ()ь> называетсл классом мер'). Тогда решение проблемы неединственности дает следующее Р)у»едложемгае. Пусть р и т — борелевы меры на ас с ограниченными носителями. Пусть А„— оператор на 1.»(й, й)ь), определенный формулой (А„Г) (Л)= Ц(Л), и А — аналогичный оператор на ь»(й, йт). Операторы А„и А унитарно эквивалентны тогда.
и только, тогда, когда.)ь и т — эквивалентные меры. 8. Операторы однородной крааиаюии Если необходимо каким-либо стандартным способом перечислить все собственные значения некоторой матрицы, то естественно выписать все собственные значения кратности один, все собственные значения кратности два и т.д. Поэтому удобно различать операторы однородной кратности два, три и т. д. Введем такое Олреде вемае. Ограниченный самосопряженный оператор А называется оператором однородной кратности ш, если А унитарно эквивалентен умножению на Л на 1»(ас, й)«Щ...Щ«.а(м, йр), где сумма содержит гл членов, а р — некоторая борелева мера. Разумность этого определения демонстрирует следующее ' Иногда такой класс мар называют спсктральным типом, а наокнмые ниже кнаыонктные классы — наааанснмымл спектральными тапамн.— Прим.
аар«а. 8. Сллк»»»ал»чае щюэчяоры Предложение. Если А унитарно эквивалентен умножению на Х на 1,'(В, ар)®...®1Р(й,др) (т раз) и на 1.'(к, ат) ®... ...Щ1.*(й,дт) (к раз), то т=п, а р и т — эквивалентные меры. 4. Дизъюнктные «ласса мер При перечислении собственных значений кратности один, два, три и т.д. в конечномерном случае необходимо наложить условие, которое не позволит нам рассматривать собственное значение кратности три как собственное значение кратности один и собственное значение кратности два. В конечномерном случае мы избегаем этой «ошибки», требуя, чтобы разные чсписки» собственных значений не пересекались.
По аналогии для мер вводим такое Определение. Лва класса мер <р> и <т> называются дизъюнктными, если любые р,Е <р> и т,~ <т> взаимно сингулярны. б. Теорема о кратности Теперь мы можем сформулировать основную теорему.
Теорема У!1.6 (коммутативная теорема о кратности). Пусть А— ограниченный самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве ЯГ. Тогда существует разложение Яс = ЯсЯ)ФЯ... ...®Я„, такое, что (а) А оставляет каждое Я~„инвариантным; (Ь) А(Яз' †операт однородной кратности т; (с) классы мер <р >, ассоциированных со спектральным раз-. ложением А(Я~, взаймно дизъюнктны. Более того, подпространства Яс„..., М, ..., Я' (некоторые из них могут быть нулевыми) и классы мер <р1>, ..., <р„>, ..., <р„> определены условиями(а) — (с) однозначно.
Спектральная теорема, дополненная теорией кратностей,— одна из жемчужин математики: это структурная теорема, т. е. теорема, которая описывает все объекты определенного вида с точностью до естественной эквивалентности. Каждый ограниченный самосопряженный оператор А описывается семейством взаимно дизъюнктных классов мер на [ — ((А((, ((А !(1; два оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их спектральные классы мер совладают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
