Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 58
Текст из файла (страница 58)
в книге: П. Р. Хаамош, Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, М., 1963. Подобное, но несколько отлнчакнцееся доказательство теоремы 1ГП.! приведено в книге: Е. Не!топ, Тор!сз 1п Рупап!сз, т.1, Рг!псе!оп 1)п!т, Ргезз, Рг[псе1оп, [ч'. Ю., 1969. 0бшее функциональное исчисление А ~-ь[(А) для функций 1, аналитических в окрестности а(А)„ о котором мы упомнналн, часто называют [рункциояалыисн иечиаланиам Донфордо после появления статьи: [ч.
Рнп[огб, Зрес1га[ Т[геогу 1, Соптегйепсе !о Рго)всполз, Тгаиз. Азыг. Мага. Зас., 64 (1943), 136 — 217. Основная идея состоит в том, чтобы выбрать контур С в областй определения 1 так, чтобы о (А) содержался внутри С. Затем полагают 1(А) = — 1(х) (х — А)-'да. Тогда, например, из тождества Гнльберта 1 2 [~ (з — А) г [ш — А)-г=(ш — г)-г.((з — А)-' — (ш — А)-г) вытекает свойство ()3) (А) =1(А) л(А).
дальнейшее обсуждение см. в книге: Н. данфоод н Дж. Шварц, Линейные операторы, т. 1, ИЛ, М., 1962, стр. 606 — 624 (см. также задачу 1). ру.р. Обзор историк спектральной теоремы см. в статье: Е. Не!!!пйег, К . Тоер!пз, ЕлсуЫОр. Ма[И. 3Г!зз. 11 С, 13 (1923), 1335 — 1616. 270 УП. Слаолральлав амерзал Вывод спектральной теоремы в терминах функционального исчисления обсуждается также в книге: 3. !31хш(ег, (.ез А18ейгез б'Орйга1еигз бзпз ГЕзрасе НИЬег!!еп, Оаи(Ыег-ЧИ1агз, Рапз, 1969, Аррепб!х. Спектральная теорема в термияах оператора умножения обсуждасгся в книге Нельсона (см. замечания н й Ч11. Ц, стр.
66 — 74. Появилась обширная литература о «строгих» дираковых обоаначеннях, стремящаяся полнее использовать все преимущества бра- н кет-векторов. Первоначальные обозначения приведены в монографии П. А. М. Дирака: Прннципы квантовой механики, Фнзматгиз, М., 1960. Строгие модификации в терминах «оснащенных гильбертовых пространств» см. в кинге К. Морена К. Маиг(п, Оепега! Е1яеп(ипс11оп Ехрап»1опз апб 11пйагу Кергезеп(аНопз о( оро!окка! Огоирз, Ро!пЬ Зс(еп681с РиЫ., 1968) н в статьях: Л. КоЬейз, ТЬе О(гас Ига апб Ке( Роппайып.
«. МаГЛ. РЛуз.. 7 (1966), !097 — 1104; К!88еб НИЬег1 Зрасез 1п анап(иш МесЬапкз. Созилил. МаГЛ. РЛуз., 3 (1966), 98 — 119; 3. Р. Ап1о1пе, О!гас РоппаИмп апб Зупипе1гу РгоЫеп»з ш («иап(иш МесЬап!сз 1, 11, ». МаГЛ. РЛуз., 1О (1969), 53 — 69, 2277 — 2290. Мы должны подчеркнуть, что, по нашему мнению, спектральной теоремы достаточно для любых рассуждений, где нестрогий подход может основываться на технике Днрака. Поэтому мы можем рекомендовать абстрактный подход на базе оснащенных.
пространсш лишь тем читателям, которым жаль расстаться с формализмом Дирака. Дополнительное исследование спектров а»„а,1„, ар» приведено в монографии Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, «Мнр», М., 1972, стр. 637 — 643. Теория„нратностей самосопряженных операторов восходит к статьям: Н. НаЬп, ()Ьег б!е 1пгейта1е без Нетп Не! Ипйег ипб гйе Ог(Ьобопайп чэг(- ап1еп бег чиадгайзсЬеп Роппеп чоп ипепбйсЬ ЧегйпбегйсЬеп, Мола!ад.
МаГЛ. РЛу., 23 (1912), 161 — 224; Е. Ней!пйег, Ыеиег Вефгйпбипй бег ТЬеопе бег «(избга- 11»сЬеп Росшей чоп ипепбйсЬчге1еп Чегапбег1кЬеп, «'. К«1лз Алуэ. МаГЛ., 136 (1907), 2!Π— 27!. Более современное наложение можно найти в книге Нельсона (см. замечания к 6 Ч11.!), стр..77 — 97. Понятие класса мер часто является точным непрерывным аналогом понятна подмножества дискретного множества. Эту мысль особенно подчеркивает Макки (О. Чу. Мас1«еу, !и Огоир Кергезеп1айопз ап«1 Аррйсайопз, Ох1оп1 Ее«!иге», рр. 48 — 80), Почти вся рассмотренная спектральная теория допускает разумное обоб. щенке на несецарабельный случай.
Только ради удобства и краткости мы рассматриваля лишь сепврзбгльные пространства. р ру(ай Спектральная теорема в двух родственных формах: в терминах проекторнозиачных мер н в терминах разложения единицы — рассматривается в ннагзх. М. А. Нзймарк, Нормированные кольца, «Наука», М..
1968, или 1.. 1.огсЬ, Зрес1га! ТЬеогу, Ох(оп1 Упгч. Ргезз, 1.опбоп апб Ыечг Уогй, 1962. М«тод Лорха тесно связан с данфордовым фуннцнональным исчислением н формулой Стоуна. Похожая тонка зрения принята в книге Като (см. замечания к 4 Ч11.2). формула Стоуна восходит к классической монографии М. Стоуна (М.
31опе, ййпеаг Тгапз(оппайопз (п НИЬег1 Зрасе апб ТЬе(г Аррйсайопз 1о Апз!узй, Апгег. Ма1Ь. Зос., Ргочьйепсе, К. 1., 1931). Термин «сущеспкнный спектр» возник в знаменитой работе Г. Вейля о сингулярных дифференциальных операторах (Н. %еу1, ОЬгг йеч»ЪЬпИсЬе О11(ешпйа!81е(сЬипйеп пгй З(пди1агйа(еп ипб гйе зийеЬЪг(йеп Епгю!«$с!ипйеп !ЧИ1йигйсЬег РипЫ!опеп, МаГЛ. Алл., 68 (1910), 220 — 269). Например, если Н=-«РЛ(лз+У отвечает случаю предельной точки на бесконечности, а операторы Нь — различные расширения Н в Бз(0, «») с разлкчнымн граннчнымя условнямн, то Вейль называет П а (Нь) существенным спектром, т.
е. спектром, не зависящим от граничных условий. Оказывается, что цен(Н ) одни я тот же для каждого 1» и, таким образом, как раз н является существенным спектром Вейля. Обсувщенне етого совпадения приведено в 6 Х111,3. Задачи 27! Ц У11.4, Купманнзм восходит к фундаментальной статье Купманз (см.
замечания к Ц 11.4). Большая часть обсуждаемых здесь вопросов содержится в обзорной статье Вайтмана н кингах Ааеца — Арнольда н Халмоша (замечания к Ц П.4). В частноств, доказательстве теорем ЧП.14 (Ь) н ЧИ.16 можно нвйтв в книге Халмшпа. Перемешивание ввел Е. Хопф в своей заметке: Е. Нор(, Сошр1е1е Тгзпз1- Вю1 апб 1Ье Ег8огВс Рппс!р!е, Рга<. Май Ааи(. Яс!., !8 (1932), 204 — 209. еорема Халмоша и фон Неймана (теорема ЧП.
!6) впервые доказана в работе: Л. чоп Непшапп, Епг Орега(огепшеййобе !и бег К!азз!зсЬеп МесЬап!Ь, Апп. МаИ., 33 (1932), 587 — 642. Упрощения и дополнения можно найти в статье.' Р. К. На!шоз апб Л. чоп Ыепшапп, Орете(ог Меййобз 1п С!азмса! Месйап!сз, И, Ааа. МаИ., 43 (1942), 332 — 350. Халмош и фон Нейман танже доказалн, что всевозможные дискретные спектры эргоднческих преобразований суть все счетные подгруппы окружкоств.
Энтропия для К-систем была введена в статье А. Н. Колмогорова: Об энтропии на еднинпу времени как метрнческом внварнанте автоморфизмов, ДАН СССР, 124 (1959), 754 — 755. Она обобщает одну идею К. Шеннона (С. ЗЬаппоп, А Ма(Ьегаа11са! ТЬеогу о( СошшппюэНоп, Вгй Зуззеш Т<сй. г., 27 (1948), 379 — 423, 623 — 656) и дальше рассматрнваегся в работе Я. Г.
Синая: Двнамвческне системы со счетнократным лебеговскнм спектром, 1, Нш. АН СССР, сер. матем., 26 (1961). 899 — 924. Хорошее введенне в зту теорию см. в книге П. Бвллннгслея: Эргодическая теория и информация, <Мир«, М., 1969. В важной серии статей Орнстейи выяснил, в какой степени зитропня— 3- величающий инвариант. Основная статья этой серии: О. Огиз(е!п, Вегпои52 Ь11(з чг!1Ь 1Ье Заше Еп(гору аге 1зогаогрЬ!с, Ааааа. Магд., 4 (1970), 337 — 352.
ЗАДАЧИ «1. Пусть 1 аналитична в окрестности а (А), где А — ограниченяый оператор, и пусть С вЂ” контур, показанный ва рйс. ЧП.З. Определим 7 (А) формулой ~(А) —. / (з) (з — А)-гбз. 1» 2<тл Докажите, по 78(А) = = 7 (А) а (А). 2. Предположим, что а(А) ие связен, скажем и (А) = а< () аз, где а< и аз не пересекаются и замкнуты.
Рассмотрим функцию 1, которая равна 1 в ок- Р и с. Ч11.3. Контур С. рестности а, н 0 в окрестностн а«. Докажите, что оператор Р =7(А), определенный как в задаче 1, есть проектор н что РА =АР. Докажите, что Я6 =ДапР— инвариантное надпространство для А и что а (А 195 г) =а,.
3. (а) Докажите, что если А нормален, т. е. АА*=А'А„то ЦА Ц зпр (Ь) =г(А). к<а!л! указание: используйте формулы ц А ц* = ц А«А ц и г (А) = Ьш ц А» !ц!ы». (Ь) Докажите, что для любого полннома Р и любого нормального оператора А: ЦР(А)Ц= зпр (Р(Ь)), хеа (л! »4. Пусть А„..., А„— «аммрширрмщиа ограниченные самосопряжеиные операторы йа сепзрзбельном гильбертовом пространстве Яб.
(а) Пусть 1)ы ..., О» — борелевы мяожества в Е. Докажите, что все Р (А<), Рг, (Аз), ..., Р „(А„) коммугнруют. Ч! !. Сласшральлал иыоремп (Ь) Пусть ! — фуикцяя на Ки, являющаяся линейной комбянацяей характеристических функций прямоугольников' (т. е, множеств вада (с Й,х...хйи). Покажите. что ! можно представить в виде и /=~ сс)( сс,, где ()сс1П()с!с=и при 1~1.
с с ! Оси (с) Для ! приведенного выше вида определите и 1(Ас,..., Аи) = ~~~~ сс Р н, (Ас)...Р сс> (Аи), с и где (Ф~=й<О Х...Х Я'О. (б) Используя теорему об ограниченном ляиейиом отображении, постройте функциональное исчисление )(Аы ..., А ) для непрерывных функций на ( — 11 А,)(, () А, 1Цх...х( — ДА„)). 11 А„(1). (е) Постройте борелево функциональное исчисление. (1) Докажите существованяе оператора (Сс Я~ — !.з (М, с((с) для некого.
рого пространства с конечной мерой <М, р> н ограниченных вешественнозиачных борелевых функций Рс(ш), ..., Ри(ш) на М, такях, что ((иАси- ) Д( ) =Рс( ) !( ). б. Пусть А — нормальный оператор. Докажите, что (а) А =В+сС, где В и С вЂ” коммутирующие самосопряженные операторы; (Ь) существуют оператор (С:,9~- ьз(М, П(с) для некоторой конечной меры )с на некотором пространстве М и ограияченная борелева функция Г (сп) (вообще говоря, комплексиозначиая), такие, что ((СА(С-сс) (т) =Р(т) 1(ш). Лпшаратура к эадшяхн сс, б: Нельсон (см, замечания н й Ч11.!). «б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
