Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Такой же результат имеет место и для сильной резольвентной сходимости (см. задачу 28), однако аналогичное утверждение для слабой сходимости неверно (задача 30). Теорема У!П.18. Пусть (А„)", и А — семейство равномерно ограниченных самосопряженйых операторов. Тогда А„- А в смысле равномерной резольвентной сходимости в том и только том случае, когда А„- А равномерно.
Доказательство. Пусть А„— А по норме. Тогда если 1пт ХчйО, то (А„ — А)(А — ь) .'- 0 равномерно. Поскольку (А„— Х)-' = (А — Х)-' (У -(- (А„— А) (А — Рь)-')-', находи что (А„ — 1) '- (А — Х) ' по норме. ратно, предположим, что А„ — А в смысле равномерной резольвентной сходимости. Тогда, так как А,— А (А„— 1) [(А — () ' — (А„— 1) '1(А — 1) и зпр ~~ А„(( < оо, «заключаем, что ~~А„— А~~ =(зпр~~А„~~+1)~~(А — 1) ' — (А„— 1)-'1~(~~А(~+1)- 0 при п- оо.
° 312 Следующая теорема показывает, что для доказательства обобщенной сходимости достаточно убедиться в сходимости резольвент лишь в какой-либо одной точке вне вещественной оси. Теорема ЧИП1Э. Пусть (А ),", и А — самосоиряженные операторы, и пусть Л,— точка из С. (а) Если 1шЛ,чьО и ~~Яь,(А„) — Рь,(А)й- О, то А,— А в смысле равномерной резольвентной сходимости.
(Ь) Если 1ш Л чьО и если )гы(А„) <р — )ты(А)<р — О для всех уЕЯ~, то А — А в сильном резольвентном смысле. Доказательство. (а) Как Яь (А), так и )1ь (А„) аналнккчны в полуплоскости, содержащей Л„и разлагаются в степенные ряды вокруг Л,: Ю . й,(А) = ~(Л,— Л)-Р„, (А)1-+, лю 0 Рь(А„) = ~ (Л,— Л)" (Ру.,(А„)1' +', лз=ь сходящиеся по норме в круге ~Л вЂ” Л,~ < ~ 1шЛ,)-', Так как Яэ,,(А ) — )га,(А) равномерно, то 11~(А„)- Як(А) равномерно для Л из этого круга. Следовательно, повторяя этот процесс, мы получаем сходимость для всех Х.в полуцлоскости, содержа- щей Л,. Далее, так как ~~ Р-, (А„) — Р„-(А) ~~ = ~~ (Рр„(А„) — %,„(А)). И= )~ Рь,(А„) — Яд (А) й'- — О при п- оо', те же рассуждения показывают, что резольвенты сходятся по норме в полуплоскости, содержащей Л,.
(Ь) Доказательство то же, что н для (а), за исключением двух моментов. Во-первых, рассматриваются векторнозначние 'функции МЬ(А„)~р и йь(А)ф. Во-вторых, поскольку отображение Т вЂ” Т не является непрерывным в сильной топологии, необходимо специальное обоснование для перехода из одной полуплоскости в другую.
Предположим„что Л, лежит в нижней полуплоскости, Тогда, как и в (а), получаем сходимость всюду в нижней полуплоскости и, в частности, при Л= — 1. На основе равенства (А„— 1) ' — (А — 1) ' =~(А„+()(А„— 1) 'Я~(А„+1) ' — (А+1) 'Я~(А+()(А — () 'Я, которое получается путем элементарных вычислений, можно доказать сильную сходимость (А„— г)-' к (А — ()-'.
А тогда нриведенное выше рассуждение показывает, что Уь(А„) сильно сходится к 11ь(А) всюду в верхней нЬлуплоскости. ° Иные способы доказательства того, что нз сильной сходи- мости 'Рь(А ) — Я~(А) в одной полуплоскости следует сильная сходнмость в другой полуилоскости, приведены в теореме У1П.26 и задаче 2ОЬ. Исследуем некоторые свойства обобщенной сходимости. Вопервых, мы выясним, как резольвентная сходимость связана со сходимостью других ограниченных функций ет А„и А.
Во-вторых, изучим связь между спектрами А„и спектром А, если А„А в обобщенном смысле. Наконец, сформулируем непосредственно в терминах операторов А„, А условие, достаточное, чтобы гарантировать обобщенную сходимость А„к А. Теорелнз УШ20. Пусть А, и А — самосопряженные операторы. (а) Если А„А' в равномерном резольвентном смысле и 1 — непрерывная функция на Й„исчезающая на со, то ~(~(А„)— — 1(А) й О.
(Ь) Если А„— А в сильном резольвентном смысле и 1 — ограниченная функция на й, то ~(Аь)~р ~(А)у длн всех ~рЕЯу. Дохазалмльсглео. По теореме Стоуна — Вейерштрасса полиномы цо (х+1) ' н (х — 1)-' плотны в С„(К) — множестве непрерывных функций, исчезающих на бесконечности. Тогда для заданного е > О можно найти такой полипом Р (з, 1),.
что й1(х) — Р((х+1)-', (х — 1) ') й„ч, е/3. Д 1' (А,) — Р ((А„+ 1) ', (А„— 1) ') Ц «= е13 Й1(А) — Р((А+1) ', (А — 1) ') Ц ~е/3. Если А„А в равномерном резольвентнон смысле, то Р((А„+1)-', (А„— 1)-~) Р((А+1)-', (А — 1)-") по норме при л —.-со, а, следовательно, ~~1(А„) — 1(А) ~~ к',е для достаточно больших и. Это доказывает (а). Чтобы доказать (Ь), отметим сначала, что точно так же, как выше, нвжно показать, что если А„— А в сильном резольвентном смысле и ЬЕС„(Е), то Ь(А„)~р — Ь(А)~р. Пусть заданы ф ЕЮ н е > О; цоложнм н„(х) ехр( — х*/и).
Так как и (х)11 поточечно, то и (А)ф — ф по теореме 7111.5, следовательно, можно найти такое ю, что ((й„(А)ф — ф~((е(бп'1'П„) '. Более того, так кзк й ЕС„(К)„то н„(А„)ф н (А)ф по сделанному выепе замечанию, и можно найти такое М„что цри п>~У, угп. Леозраниченвыв виратори 314 имеем Ц а (А„) ф — и„(А) ф Ц ( е (б Ц ) Ц„)-'. Следовательно, если а~У„то Ци„(А,) ф — фЦ(е(ЗЦ1Ц„) '. Поскольку ф„ непрерывна и стремится к нулю на оо, то существует такое М„что при п Уг Ц 1 (А,) а „(А„) ф — 1 (А) и„(А) ф Ц ( з13. Пусть У=п1ах(М„У,).
Тогда при в~~У Ц~(А„)ф — )(А)фЦ(Ц~(А„)а (А„)ф — ~(А) р.„(А)фЦ+ + Ц 1' (А„) Ц Ц д (А„) ф — ф Ц+ +Ц1(А) ЦЦа' (А)ф — фЦ(а. В силу произвольности ф-и з, зто доказывает (Ь). ° Применим часть (а) к случаю, когда (А,) и А — положительные самосопряжеиные операторы. Тогда если А„— А в равномерном резольвентном смысле, то е ~а сходится равномерно к е '" при любом положительном Ф. Часть (а) не распространяется на все пространство С(Р). В самом деле, в Е.'(й) операторы А„=(1 — 1/а)х сходятся к оператору А=я в равномерном резольвентном смысле, ио Це1л» вЂ” е'" Ц=2 при всех п. Очень важным приложением части (Ь) является следующая Теорема 011.21 (Троттер). Пусть 1А„) и А — самосопряженные операторы. Тогда А„- А в сильном резольвентном смысле в том и только в том случае, .когда е""а сильно сходится к е л при всех Г, Доказательство.
Поскольку е"" — ограниченная непрерывная функция от х, из теоремы Ч111.20 следуег, что если А,— А в сильном резольвентном смысле, то ела — е"" сильно при любом Г. Для доказательства обратного утверждения выведем сначала одну полезную формулу для резольвенты самосопряженного оператора А. Предположим, что 1п1р (О. Тогда в соответствин 3!б 7. Сходимоств наюраниченмью опаратораа с функциональным исчислением (Ф, Ра (А) ф) = ~ ( — х) б (Фэ РАф) = 1(~) г- г" аа)ац, н,е= — ) ~' (1г'ащ ~ е)аз-ла(ф еплф)л1 е-лвевлф ~(Г Следовательно, ою (,4) ф — 1 е-лв~ю!Аф (Г (Ч1П,9) где интеграл понимается в смысле Римана. Третий шаг вычислений основан на теореме Фубини, Применяя (Ч111.9) к операторам А„и А, имеем (~ р (А ) ф о (А) ф!~ «» еа ю с~~ абаи„, йол ~(лу так что если еялнф- е~"ф при всех Г, то И Л„(А„) ф — Л„(А) ф И-О по теореме о мажорированной сходимости.
Используя формулу, аналогичную (ЧШ.9), тем же способом находим, что !! Р»("4а) ф — Ра(А) фа — О при 1тпй > О. ° Отметим, что (задача 21) если А„— А в сильном резольвентном снысле, то е""лф- е~'лф при каждом ф равномерно по Г . в любом конечном интервале. Теперь будет доказана родственная предыдушей Теоремгз У/И.Ж (Троттер —.Като). Пусть А, — последовательность самосопряженных операторов. Предположим, что существуют такие точки Х, в верхней полуплоскости и й, в нижней, что Р~,(А„)ф и )1„,(А„)ф сходятся для каждого ф~Я'.
Предположим далее, что один ие--предельных операторов Ть, или 31б Т„, имеет плотную область значений. Тогда существует само- со~ряженный оператор А, такой, что А„А в сильном резоль- вентном смысле. ~~Р1~,(А„) ц~~ ~1т Л,( '> имеем Доказательслыо. Поскольку ~( Т~„)~ а~ ~ 1п1 Л, ! ', а тогда Т = Х (Л,— Л)" (Т,)"+' л 0 корректно определен при !Л вЂ” Л,! < (1пт Л,~-'. Более того, так как Р1„(А„)~р Т~,'~р, то Рь(А )<р- Ть~р в этом же круге.
Продолжая таким же образом, можно определить аналитическую операторнозначную функцию Ть в полу- плоскости, содержащей Л„ которая есть сильный предел Яь(А„). Но полуплоскость односвязна, поэтому значение Тх в точке Л не зависит от выбранного пути 'от Л, к Л. То же построение для полуплоскости, содержащей ц„ показывает, что можно расширить определение Ть на эту полуплоскость так, чтобы Ть~р=!нп Яь(А„)ф при всех Л, для которых 1т ЛчьО.
Такие Тх коммутируют, удовлетворяют тождеству Гильберта и Т1= Т„-, так как эти свойства справедливы для любого !4(А„). Из тождества Гильберта и коммутативности следует, что области значений всех Ть совпадают. Обозначим эту общую область через В. По предположению 0 плотна, а отсюда следует, чтоядроТьпусто, так как КегТь=(йапТД1=(йапТ-)1=01 = =10). Поэтому можно положить А = Л1 — Т1,' на В и показать (при помощи короткого вычисления с использованием тождества Гильберта), что это определение не зависит от того, какое Л (1п1 Л ~0) выбрано. Поскольку цап(А -Ь 1) = Кап( — Тч,')=,Ж, то А самосопряжен. Очевидно, что резольвентой А является Ть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
