Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 70
Текст из файла (страница 70)
. Таким образом, У расширяется до частичной изометрии нз Кы Т в цап Т. Наконец, в силу самосопряженности ! Т ), ап Т ! = (Кег ! Т !)-~ = (Кег Т)». Доказательство единственности мы оставляем читателю (задача 44). ° УП!Л0. Танзориыв првмввеценнн В этом разделе мы рассматриваем некоторые аспекты теории тензорных произведений операторов в гильбертовых пространствах. Пусть А и  — плотно определенные операторы в гильбертовых пространствах Я~, и Я~, соответственно. Обозначим через Р(А) ®Р(В) множество конечных линейных комбинаций векторов вида Ф®ф, где ф~Р(А) и ф~Р(В).
Оно плотно в М,®Я~». Зада®дим А,®В на Р(А)ЯР(В) формулой (А®В) (Ф®ф) АФ®Вф и продолжим его по линейности, Предложение. Оператор А ® В определен корректно. Более того, если А и В замыкаемы, то замыкаем и А®В, Доказател»симо. Предположим, что ~,'сФ;®ф, и,'ЯИГ( ~®ф~ — два представления одного и того же вектора 1цР(л)®Р(В). Используя ортогонализацию Грэма — Шмидта, получаем®базисы (т)») и (ОД для пространств, натянутых соответственно на (Ф;! 0(ФД и ЩОЩ, причем т1»бР(А) и В,~Р(В).
Векторы ф~®ф» и Ф~®ф~ можно представить как Ф' ® рг = Х с4Ч» ® й» з;®ф, - ~ !),',п,(рв,. и т э ч э Поскольку эти два выражения для ~ дают один и тот же век- тор, ~яр~с,а~ =,'яда для каждой пары <й, 1). Отсюда (А®В)~~Рс,(ф,®ер,) '%, '(~~~~~су',) (А»)»®Вйю)= =ДЯ (щ,) (А)»®ВВ,)= (А ®В) ~с(;(ф~®$~), так что А®В определен корректно. Если и — произвольный вектор из О (А') ® О (В'), то (А®В1, л)=(1, А'®В'й), и поэтому Р(А')®О(В')сР((А ®В)').
Если А и В замыкаемы, то О(А') и Р(В') плотны. Следова- тельно, в этом случае (А®В) плотно определен, откуда выте- кает замыкаемость А ®В. ° Аналогично, если А и В замыкаемы, то допускает замыка- ние и оператор А®1+1®В, определенный на Р(А)®О(В). Озэзиделенае. Пусть А и  — замыкаемые операторы в гиль- бертовых пространствах тг,, и Я~,. Их тепаорное произведеиие— это замыкание оператора А®В, определенного на Р(А)®О(В).
Мы будем обозначать замыкание также через А®В. Обычно А+В будет обозначать замыкание оператора А ®1+1®В, определенного на О(А) ЯО(В). Прад важимае. Пусть А и  — ограниченные операторы на гильбертовых' пространствах Л', и тг». Тогда ~~ А®В й )! А й'й В !). Докалялмьство. Пусть (ф») и ٠— ортонормированные базисы для Яз, и Я';, предположим, что ~~~~с»,ф»®~Р,— конечная сумма.
Тогда ~~ (А ®1) ~~~, 'сы (Ф» ®Ф~) ~~» ч~~~ $~~Р е„АФ, ~~' ~ с Е ~! А ))» ~Я~ ~ с»с!» =)~ А !! !! 'Яс„ф»®Ф,~~*, Поскольку множество таких конечных сумм плотно в Я',ЯЯ, (~ П.4, предложение 2), получаем, что й'АЯ! !)(~~А!). Йтак, )! А ® В ~) ~ ~) А ® 1 ~~ )) 1 ® В ~~ ( ~) 'А ~~ ~~ В ~!.
Обратно, для заданного з > О существуют единичные векторы 'фй'Я'„~р~Я~„такие, что йАФ~~>)~Аф — в и йВ»р)~:)~В(! —.з. гШ. Неоела»а»»елее»е»лаемлм Тогда и(А ®В) (а ®ф) ~~-~~ АФ ~!!! Вф!(== ) ~~ А ~( ~~ В ~~ — е 11 А ц — е [~ В ~~+ в*. Так как е> О и произвольно, то ~! А®В~~=-..»~~АЙ'з В а, что завершает доказательство. ° Отметим, что оба приведенные выше предложения допускают естественное обобщение иа произвольное конечное тензорное произведение операторов.
Эго можно доказать непосредственно или путем использования ассоциативности тензориого произведения гильбертовых пространств. Вернемся теперь к проблемам самосопряженнести и спектра. Пусть (А»)»Я, †семейст самосаиряженнык операторов А» в ЯК». Обозначим замыкание 1,® ... ЯА»® ... ®1д, на Р =®Э(А») также через А„. Пусть Р (х„..., х,ч) — полипом степени®п» по х» с вещественными коэффициентами. Тогда оператор Р (А„..., А,ч) имеет смысл на ф 0 (А"») так как 1)(А"»)~.0(А') для всех 1: а».
На самом деле Р в существенном самосопряжен на этой области. Теайэвжа Ушак.Ю. Пусть А» — самасопряжаииый оператор в зе». Пусть Р(х,, ..., х,д) — нилином степени и» по й-й переменной с веществейными коэффициентами,'и пусть В$ — область са»юсопряженности в сущеатвенном для А»». Тогда (а) Р(А„..., Ал) в существенном самосопряжен иа 11' = Я~Я; <ь) р 7~»„...,ЧД * ~ абм ~ аиий Р на .пронаведении спектров А». Иными славами, (РРГ %9=Р( (А) " (А». Докажвяельаиво. Докажем сначала, что Р(А„..., А,„) в существенном самосопряжен на Р ф Р (А,"»).
По спектральной »» теореме существует пространство с мерой (М», р»), такое, что А» унитарно эквивалентен умножению на вещественнозначную измеримую функцию 1» в Ь'(М», Ыр»). В силу предложения 3 й 7111. 3, можно считать, что р» конечна и что 1» ~ П 1.г (М», И)» ). ~~»<~ и Более того, по теореме 11.!О (а), ® С»(М», сЦ»») естественно » 1 изамарфио 1.' ( Х М„, ф 4ь») . При втам изоморфизма '»=~ »~ь лх т»»ор»и»»»»»»»» Р(А,, ..., А,) ' соответствует умножению на Р(1„...г(~ч), а Р соответствует множеству конечных линейных комбинаций функций ф,(т,) Ф, (т,)...
Ф, (пу»,), таких, что 1»»Ф»б 1.'(Мы ф»»). Для доказательства самосопряженности в существенном используем преддожение 2 $ У1И.З. Во-первых, поскольку 1»» конечна и 1»» Е»У(М», др»), имеем 1»б~»(М», 4»») при 1 с р<оо. Отсюда немедленно следует, что Р(1„..., ~,ч) лежит в ~» при всех таких Р; в частности, Р(~„..., ~,„)~1.'~ Х М», ®ф1»»). ~»=~ »=з Так как оператор умножения на ~"» самосопряжен на Р»„то 1)» содержит характеристические функции измеримых множеств из М».
Таким образом, Р содержит все конечные линейные комбинации характеристических функций прямоугольников. За- мечания о произведениях мер в конце 5 1.4 показывают, что характеристическая функция любого измеримого множества из Х М» равна такой конечной линейной комбинации с точностью »» до множества сколь угодно малой ®Щ~-меры. Итак, простые »=» функции на Х М» могут быть приближены в смысле Е»(1(р(оо) »=» элементами из Р. В частности, 1) плотно в 1.'( Х М», ® и)»»). ~»»»=а Самосопряжениость в существенном следует теперь из предло- жения 2 $ У111.3. Чтобы показать, что Р в существенном самосопряжен на 1)', достаточно показать (в силу задачи 14), что Р ~0' есть расши- рение Р)Р.
Допустим, что ®Ф»бР. Тогда ф»Е1)(А"»), так »=ь что, поскольку 1)1 — область самосопряженности в существенном для А"», существует такая последовательность (ф~»),"„что Ф', ф» и А",»М А",»ф». Простая оценка показывает, что тогда А ф' А Ф для всех 1(ш(л». Следовательно, ®Ф» — ®Ф, »=» »=» Р(А,, ..., А„)( ® Ф,') — Р(А,, ..., А„) (® Ф»). То же рассуждение проходит для конечных линейных комбинаций векторов вида ® Ф», поэтому Р ~0' расширяет Р 11). Это » а завершает доказательство (а). ы ж»»» ут/!. не»гранич»нны» оа»рааори Чтобы доказать (Ь), предположим, что Л ~ Р (о (А,),..., о (,ч)). Если 1 — произвольный открытый интервал, содержащий Л, то Р-'(1) содержит произведение Х 1» открытых интервалов, та- »-» ких, что 1» П о(А»)чеО.
Поскольку о(А») аз»гапке)'"», то р» ((1»») ' (Х»)) че О, так что »Ь Ч„.-..Ь)- Л. б. Другими словами, Л Е езз ганне Р(~,, ..., 1 )., но езз гапае Р (~,, ..., Гр,) о (Р (А„..., Ач)), в силу первого предложения из 5 УШ.З. Обратно, если Л(Р(о(,), ..., о(Ам)), то (Л вЂ” Р(~г, ..., 7ч))-* ограничен п. в. на Х М», так что '»=» Л й р (Р (А ° ° " Ам)). ° Если Аг, ..., А~ ограничены, то Р (а (А,), ..., о (Ам)) замкнуто, но в общем случае зто не так (задача 43). Два наиболее важных частных случая теоремы т111.33 выделяет такое Сыдснзвае.
Пусть А,, ..., Ам — самосопряженные операторы в М„..., ЯГч, и пусть 1)» — область самосопряженности в существенном для А» при любом й. Тогда (а) операторы Ап=А,®...®А,д и Аз А,+. ° .+Ам в существенном самосопряженны на Э= ® Р»; » з и '' и (Ь) о (Ап) ЛЛ о (А„) и о (Аз) = ,"Я~ о (А»). Пример 1. Предположим, что У (х) — потенциал, так что Н, — Ь„+У(х) в существенном самосопряжен на г(м*). Тогда Н,=( — Ь„+У(х))+( — Ь„+У(у)) в существенном самосопряжен иа множестве конечных сумм произведений ф(х)ф(у), где ф, ~р~4'(Р*).
Кроме того, о(Н,) о(НЗ+о(Н,). Пример З (вторичное квантование свободного гамильтониана). Пусть М вЂ” гильбертово пространство, У' (М) — ассоциированное пространство Фока (см. 3 П.4). Предположим, что А — самосопряженный оператор в Я~ с областью самосопряженности в существенном В. Каждому такому А можно поставить в соответствие оператор йГ(А) на У (ЯГ) следувицим образом. Пусть Аан А®1®...®1+1(ЗА®...®1+ ... +1Я...®А на ® Р. Пусть Р»~К(Я~) — множество векторов $=(ф„~р„...), »=а 11.
Три математииеекие арабе«мы квантовой меканики зз! таких, что ир„=О для достаточно больших п и ир„Е ® Р для в=й каждого а. Множество Р, плотно в У (Ял), так как Р плотно и в тв. Положим А"'=О и ЫГ(А) = ~ А<и'. Оператор ИГ(А) имеет и=о смысл на Р„и, как легко видеть, симметричен. По теореме и ЧП1.33, А'и' в существенном самосопряжен на ® Р. Таким обй=й и разом, А'и'+р1 имеет плотную область значений на ® Р, если й=й р Ек и р.~О. Отсюда немедленно следует, что дГ(А) 1-1 имеет плотную область значений на Ре. Итак, ЫГ(А) в существенном самосопряжен на Рв. Если А — квантовомеханическнй оператор, соответствующий энергии свободной частицы, то ЫГ(А) называется вторично квантованным оператором энергии свободной частицы.
Он кол1мутнрует с проекторами на симметричное и антисимметричное пространства Фока, откуда следует, что 11Г (А) 1У',(Я) и с1Г (А) 1«г', (Рл) в существенном самосопряженны на Р й вг, (Я') и Р й в., (Ж) соответственно. Часть (Ь) теоремы ЧП1.33 выполняется и в том случае, когда А„..., Ал — произвольные ограниченные операторы. По техническим причинам мы отложим доказательство до гл. ХП1, где обсудим также некоторые случаи, когда А„..., Ал не ограничены и не самосопряжены.
Ч111 тт. Три математические проблемы квантовой механики В этом небольшом разделе мы хотим кратко описать математическую модель квантовой механики и три возникающие:здесь математические проблемы. В Замечаниях мы обсудим возможности «вывода» втой модели из азличных аксиоматических схем. вантовомеханические системы описываются операторами и векторами в сепарабельных гильбертовых пространствах М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
