Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 68
Текст из файла (страница 68)
° Отметим, что в теореме Троттера †Ка нам необходима сходимость в двух точках, одна из которых находится в верхней, а другая в нижней полуплоскости. Действительно, мы не можем использовать теорему УП1.19Ь до тех пор, пока не убедимся в самосопряжениости предельного оператора, а доказательство самосопряженности опирается на сходимость в обеих полуплоскостях. Теорема Троттера — Като хороша тем, что в ней а рПоп' не предполагается существования предельного оператора А.
Ее можно использовать для доказательства существования обобщенного предела последовательности самосопряженных операторов. То же можно сделать и с помощью однопараметрическнх групп (см. задачу 23). Чтобы понять, почему для доказа- зп 7.
Сходимоото нвоавонинанных онвраторое тельства таких теорем существования приходится использовать резольвенты или группы, а не сами операторы, рассмотрим следующий пример. Пусть А — замкнутый симметрический оператор, не самосопряженный, но имеющий самосопряженное расширение А. Пусть Є— спектральный проектор А, соответствующий интервалу [ — и, н]. Тогда Р„АЄ— ограниченные самосопряженные операторы (и, следовательно, в существенном самосопряженные на В(А)), такие, что для всех ФЕ11(А) Р„АР„вр — А~р = А~р. Таким образом, Р„АР„в существенном самосопряженны на Р(А) и сильный предел существует, но не самосопряжен в существенномм.
Одним из наиболее полезных свойств обобщенной сходимости является то, что спектры и проекторы А„связаны со спектром и проекторами А. Приложения двух следующих теорем приведены в $ Х.2 и Х1.5. Теорема УИ138. Пусть (А„)„"„, и А — самосопряженные операторы, и пусть А„- А в равномерном резольвентном смысле. Тогда (а) если )е (а (А), то р,(1о (А„) для достаточно больших л и !!)(и(Ан) — Ии(А) !!- О (Ь) если а, Ь~К, а < Ь и ачр(А), Ьбр(А), то !!Р,е,е,(А ) — Р~е,ы(А)!! б. Доказа|пельапао.
(а) Следует рассмотреть лишь случай, когда (х вещественно. Поскольку )хЕр(А). существует такое 6 > О, что ()в — 6, )в+6) П о (А) = И. Тогда, в силу функционального исчисления, ))1т„+во|в (А)!)~1|6 и можно найти такое Ф, что !!Я„~~о| (А„)!! <2/6 при а) М, откуда следует, что степенной ряд для Рь(А„) вблизи р+16|3 имеет радиус сходимости не менее В/2.
Известно, что когда этот ряд сходится, он дает обратный оператор к А„— Х. Тогда р.~р(А„) при л)М и (!й.(А.) — г,(А) !!-О Докажем (Ь). Поскольку и, ЬЕр(А), существуют такие е< < (Ь вЂ” а)/2 и М, что зцр(!((А„— а) '!(, !((А„— Ь) '!!1<1|и. нЬМ 318 1<Ш. Неоераначеннл<е алерое<ори Следовательно, в соответствии с функциональным исчислением о(А„)(1(<з, Ь)~(а+е, Ь вЂ” з) при «) <е'. Пусть ) — непрерывная ункция, равная единице на (а+з, Ь вЂ” е) и нулю вне (а, Ь), огда Р<а, е<(Ал) =~(Ал). Р<а, е>(А) =~(А) ° а, следовательно, по теореме ЧШ.20 (А ) — Р,,(АИ~ 0.
° Теореле<з УИ1. 2т. Пусть (А )„", и А — самосопряженные операторы, и предположим, что А,— А в сильном резольвентном смысле. Тогда (а) если а, Ь<еес, а <Ь и. (а, Ь) По(А„) =Я для всех и, то (<з, Ь)По(А)=И, т. е. если Л~о(А), то существуют' такие Л, ~ о (А„), что Л„' Л; (Ъ) если а, Ь~Р, а < Ь и а, Ь(орр(А), то Р<„м(А„)<р-» Р„,„(А) <р для всех <рй М'. Доказ<нпельсл<ео. В силу функционального исчисления равенство (а, Ь) П о (А) Я эквивалентно неравенству 11(А Л') 11 < Ь вЂ” а ° л,='+'+г ( — ',') .
Но (А —.Л,)-' сильно сходится к (А — Ла)-<, так что Ц (А — Ле)-' (! ~~ Йп< Ц (А„— Л,)-' ~/ ( †. л Тем самым доказано (а). Докажем (Ъ). Выберем равномерно ограниченные последовательности непрерывных функций 1 и я„, такие, что 0(~„< ~(т<а, М, 1„(Х) НХ<~, Е, (Х) ПОтОЧЕЧНО И т1а, Ь1 ~(яа, я„(Х) ~, т1а, Е1 (Х) поточечно. Тогда 1 (А) Р<, „(А) и я,(А) Рвьо1(А) сильно.
Поскольку «, Ь ( о (А), имеем Р<, о1 (А) = Р„, „(А), а это означает, что по заданным ф и е > 0 можно йзйти непрерывные функции 1, д, такие, что )(у<„е,(Х1„е1(й и ~~~(А)ф— — й(А)<р~~(815, По теореме У111.20 (Ъ) найдется такое У, что при е<' еФ 111(А,)ф — 7(А) <р 11 (е!5, 11 я(А„) ч<,— я(А) ф ~~( е!5; тогда з(3-прием дает !/ ~ (А ) <р — й (А„) ф /) ( Зв15. 7.
Скодимасть наоараниченных оэераторов 319 Из функционального исчисления следует, что ~~ ~ ( 4) ф — Реь м ("?) ф ~! ~< !) ~ (А) ф — Я (А) ф (~з поэтому, еще раз применяя з/З-прием, получаем ~~Ры м(А )ф — Р<,м(А)ф~~~(е. ° Часть (а) теоремы ЧП1.24 гласит, что спектр предельного оператора не может неожиданно расшириться. Однако он может сжиматься, причем, как показьвает следующий пример. весьма сильно. Пусть А„=х(л на ЕР(К); тогда А„сходится к нулевому оператору в сильном резольвентном смйсле.
Для каждого я спектр о(А„)=й, но спектр предельного оператора содержит лишь точку нуль. Как простое применение части (а) получаем утверждение, что если А, положительны и А„ А в сильном резольвентном смысле, то и А положителен. Если А сходится к А в равномерном резольвентном смысле, то теорема ЧШ.23 утверждает, что спектр предельного оператора не может неожиданно сжаться: если А Е о(А„) для достаточно больших и, то А~ о(А)., Отметим, что в приведенном выше примере А,=х?п, операторы А„не сходятся к А в равномерном резольвентном смысле. Принцип несжимаемости спектра при равномерной резольвентной сходнмости остается справедливым, даже если А„и А не самосопряжены. Принцип же нерасширяемости спектра в сильном резольвентном пределе не всегда справедлив для общих (не обязательно самосопряженных) операторов. Действительно, существует равномерно сходящаяся последовательность равномерно ограниченных операторов А„— А, для которой о(А„) — единичная окружность в С при каждом и, а о(А)— весь единичный круг.
Поэтому применять теорему Ч11?.24 можно только в самосопряженном случае. В приложениях обычно заданы операторы (А„? и А на областях самосопряженности или самосопряженности в существенном, а не резольвенты, и вычисление последних может оказаться очень сложным. Поэтому для применения теорем Ч1П.23 и Ч111.24 необходимо иметь условие непосредственно на операторы А„, А, которое обеспечивает равномерную или сильную резольвентную сходимость. Теорема УШ.Ж. (а) Пусть (А„)„", н А — самосопряженные операторы, и предположим, что Π— общая существенная область для всех А„, А.
Если А„~р — А~р для каждого <р Е?у, то А„- А в сильном резольвентном смысле. (Ь) Пусть (А„)", и. А — самосопряженные операторы с общей областью определения ?). Введем в, Р норму )~ ср)~л=~~ А~р)~+))~р)~. УШ. Исаартивенмыв юеаетоаы Если зир ~/ (А,— А) ~р )~ О, атил то А-„А в равномерном резольвентном смысле. (с) Пусть (А,)", и А — положительные самосопряженные операторы с общей областью определения форм Ж'+„которая наделена нормой ~! ф ~)+ - = У(ф, Аф) + ($, ф)- Если А' А по норме в смысле отображений иВ,В' „ в Я~ ы т. е.
если ((Ф (4 — 4,)Ф)( „р )ИУ, (л — 4 )Ф)! О~э. ело 1~ Ф ((+1 (( й ((+ь Очм9ею Й ("(+ О '() то А — А в равномерном резольвентном смыеле. Доиашнелэслмо. (а) Пустыр (с О, ф = (А+ () ф; тогда ((А,+() ' — (А'+() '~ ф=(А +() '(А — А„)<р сходится к нулю при и — со, поскольку (А — А„)~р- О и опе- раторы (А„+1)-' равномерно ограничены. Так как  — сущест- венная область для А, то множество таких ф плотно, поэтому (А + () ' ч) — (А+ () ' юр дли всех ф б М.
Аналогичное доказательство проходит и для (А„— г)-'. Опишем в общих чертах доказательства (Ь) и (с). Для (Ь) сначала доказывается, что предположения равносильны сходи мости (А„— А)(А-+-()-'-- О по обычной Я"-операторной норме.. Тогда (1+(А„— А) (А+Т) ')-'существует и равномерно сходится к У прн а — оо, Имеем (А +()-'=(А+() '(У+(А — А)(А+() ')-'- (А+() ' равномерно. Аналогично (А,— ()-' (А — К)-'. Чтобы доказать (с), сначала доказываем, что предположения равносильны условию (А+1)-мз(А А) (А+.У)-~а О по обычной операторной норме.
Используя равенство (А +1)-'= =(А+ У)-~~'($+(А+У)-и' (А„— А) (А+ 1)-ы9-'(А+У)-'l', поступаем дальше так же, как и при доказательстве (Ь). ° Введем, наконец, понятие граф-нределов и сравним их с обобщенными пределами, Далее мы еще раз вернемся к граф- пределам в 4 Х.8, 7, Сноднмпапь ненерппшюеннип операшорое Оирвда.мгаяе. Пусть А„— последовательность операторов в гильбертовом пространстве рс. Мы говорим, что <ф, ф>ЕЮхЯГ лежит в сильном граф-пределе А„, если можно найти такие ф бВ(А ), что ф„— ф, А„ф„— «ф. Множество пар, принадле- жащих сйльному граф-пределу, обозначим Г*. Если Г'„— график некоторого оператора А, то мы говорим, что А — сильный гра$- предел А„, и записываем А з(,йг.-!ни А„. Рассмотрим сначала случай, когда все А„самосопряженьт и А тоже самосопряжен.
Теорема УНХ.Ж. Предположим, что 1А„1 и А — самосопряжеи- ные операторы. Тогда А„А в сильном резольвентном смысле в том и только в том случае, когда А=з1.йг.-1пп А . Дояазатеяьстео. Предположим сначала, что (А + 1)-' — (А-1-1)-' сильно. Пусть ф ч Т>(А). Тогда ф„пп(А„+ 1) ' (А+ 1) ф ф и Ап~р„= (А+ 1) ф — (р„- Аф, так что <ф, Аф> ~ Г* . Итак, Г (А) с= с=К*. С другой стороны, пусть ф„й'П(А„), ф„ф и А„ф„— ф. Если положить т1„=(А'+1)-'(А +1)Ф„~Ю(А), то т1„— ф„= [(А + 1)-' — (А„+ 1)-'~ [(А„+ 1) ф,Д = = [(А+ 1)-' — (А +' 1)-'Ц(А, + 1) ф — ф — 1ф)+ +[(А+1) ' — (А +1) '~[ф+1ф)— О при л — по.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
