Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 72
Текст из файла (страница 72)
йр 6Я'. 7 ЕС» (0)» С плотно в областях определения генераторов всех однопараметрическнх подгрупп группы 6, и этн генераторы отображают Р в себя. Это угверждеыие прянадлежнт Гордннгу: 1. Ойгбйпй, !»йо1ез оп СопИппопз йергезепйай!опз ой 1.!е Огоырз, Ргос. !чай. Аагйй. Зсй. (7.З.А., ЗЗ (1947), 331 — 332, а Р часто называют «областью Горднига». Существование обласпч Гординга очень важно потому, что это позволяет стронть представления алгебры Лы группы 6 ыа Р. 5 Уй(АЕ.
Пример Незьсона ые опубликован, но похожий пример содержится в его цитированной выше статье «Апа)у11с Чес1огз». Нельсон доказал также, что если А н  — симметрические операторы, Р— плотная область, содержащаяся в Р(А)ДР(В) и инвариантыая относительно А и В, АВф — ВАф=0 для ф ~ Р и сумма А»+Вэ в существенном самосопряженна на Р, то А и В 336 ус'П. Нее«рани«зло»се онераторы также в существенном самосопряженны на О и нх замыкания хоммутнруют, Первоначальное доказательство теоремы УП1, !4 можно найти в статье: Л.
топ Неишапп, 1»!е Е!идеи!!81се11 бег $сЬгод1пйегзсЬеп Орегасогеп, Магд. Алл., 104 !93!), 570 — 578. Более современное доказательство содержится в работе: азПег, ТЬе С'-А!йеЬга о1 а Ргее Вазон РсеЫ, 1, Соттая. Магд. Рйуз., 1 (1965), !4 — 48. Соотношения Вейля были введены в работе: Н. !Уеу1, Оиап1епшесЬапИс ипб Отирреп1Ь«ог1е, 2.
Рйуз., 46 (!927), ! — 46. Мы доказываем теорему У!П.!4 в гл. Х1У (см. также задачу 30 гл. Х), Относительно обращения следствия теоремы УП1. !4 известно, что если Р и () симметричны на О н выполнены условия (а) и (Ь) н вдобавок сумма Рз+Цз в существенном самосопряженна на 17, то Р н сс в существенном самосопряженны на О, а группы удовлетворяют соотношениям Вейля. Доказательство и обсужденйе обобщения этого утверждения на случай я степеней свободы приведено в работе Днксмьес Я. 01хш!ег, Зиг 1а Ее!а1!оп с (РЯ— — 1)Р) =1, Сот)юз. Магд., 13 (1956)с 263 — 269.
Интересна также статья: В. Рий!еде, Оп 1Ье йе)а1!оп Ргг — ОР Н, Магд. Ясанб.. 20 (1967), 79 — 88. э УШ.б. Спектральная теория для ограниченных операторов первоначально строилась в терминах квадратичных форм. Интересный исторический факт состоит в том, что простые свойства полуогранкчеиных квадратичных форм не были по-настоящему оценены до тех пор, пока (двадцать пять лет спустя) путем применения операторов вместо форм спектральная теория ие была распространена на неограниченный случай.
Мысль о связи форм и операторов неявно содержится в работе Фридрихса, обсуждаемой в замечаниях к 0 Х.З (особенно в доказательстве Фрейденталя), ио теорема о расширении по Фридрихсу до !950 г. всегда формулировалась на языке операторов. В пятидесятые годы теоремы Ч1П.!5 н У1П.!6 независимо обсуждали и открывали многие авторы; см., в частносгн: Р. 1.ах, А. МИйгып, РагаЬоИс Еоиа(!опз, Аяя. Ма!Д.
5СЫу, ЗЗ (!954), 167 — !90; Т. Ка1о, Яиабга(!с 1огшз !и НИЬег1 зрасез апб азуспр1оИс рег1игЬаИоп зег!ез, ТесЬ. Еер. )с(о.9, ()п!т. о1 Сл51., 1955; 3. 1Лопз, Ес(иаИопз б!114геп1!ейез орегаИоппеИез е1 ргоЫйшез аих 1ЬпИез, 5рг1пйег, Ыесг Уог1с, 196!. На исследование и доказательство теоремы УП1.!5 в терминах шкалы пространств указывал Нельсон (более подробное обсуждение см., например, в книге: Е. Ые1зоп, Тор!сз !и Оупаш!сз, т.1, Рт!псе!оп ()и!т. Ргезз, Рг1псе1оп, ЬЬ Ли 1970). Исчерпывающее исследовайие квадратичных форм проводится также в гл.'6 моноссрафии'Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, «Мир»„М., !972, и в гл.
!2 кннгис М. 5сЬесщег, РПпс!р!ез о1 Рипс1!опа! Апа!уз!з, Асабеш!с Ргеш, Ыем Уог1с апб Бопбоп, !971. Термин «аккретнвный» впервые появился в статье: К. Рг!ебНсЬ», Зугпшегг!с Ро»ЬИте 1!пеаг ОИ(егеп1!а! ЕдиаИопз. Сотт. Рите Арр(. Ма!й., 11 (!958), 333 418, в какой-то мере как шутка, но был подхвачен.
Первоначально ои относился к операторам, удовлетворяющим условию Ее(а, Ан)»0 для всех и ~ О(А). Изучать такие операторы начал, по существу, Фнллнпс в работе: Е. 5, РЫИ!рз, Рег1игЬа1юп ТЬеогу 1ог Зепййгоирз о( Ь!пеаг Орега1огз, угоне. Атее. Ма!Ь. Яос., 74 (!954), 199 — 22!. (Филлипс изучал днссипатнвиые операторы, т. е. такие операторы А, что Ее(н, Аи)«„0 для всех а ~ 0 (А)), Понятие «секториальный» использовалось в случаях, когда выполнялось условие 1(и, Аи)1 ~1г ! ! агй (г — ю) ! < О) для некоторого ш и неесогорого 0 < к/2, Эти определения часто переносят на формы, т.
е. те формы, которые мы назвали строго аккретивными, часто яазывают секториальнымн. Поскольку в приложеянях часто встречаются повернутые и сдвинутые секторы, мы авели понятие «строго аккретивиый» н обобщили понятие «секториальиый». ш-аккретивные операторы — это максимальные аккретивиые операторы в том же смысле, в каком самосопряжеиные операторы суть максимальные симметрические ойеригоры. К этому вопросу мы вернемся в 9 Х.б.
у УП/.7, Дополнительное обсуждение болыией части материала этого раздела чататель может найти в цитированной выше книге Като. Замечания 337 Понятие равиомериой резольвеатиой схолимости определяется сужеиием иа самосопряжеииые операторы естественной топологии яа множестве замкиутых операторов из одиого баиахова простраиства в другое. С. Г. Крейн с соавторами ввели в сороковых годах естествеииую метрику иа замкиутых подпростраиствах баяахова простраиства. Имеиио, для задаииых М и ЕЕ в баяаховом простраистве Х положим по определению б(М, ЛЕ)= зир / !пЕ !)и — с)!).
яем, !!я!! ~ 1сч ч, пс!1=г Тогда М ~ Лг в том и только в том саучае, когда еЕ (М, Лг) =О. Если е((М, Лг)=* щах (Ы (М, ЛЕ), е((ЛЕ, МЯ, то Я вЂ” метрика иа всех замкиугых подпростраиствах. Если Г(Т) — график Т, то можио ввести метрику иа всех замкиутых операторах из Х в Ег, полагая р (Т, 3) =Й(Г (Т), Г (3)), где, скюкем, Е! (», З> !!хм !, — — !! х !!х+!1 у ((и. Так получается топология иа замкиутых операторах, впервые введеииак в работе: 3. ЬЕемЬигЗЬ, А Торо!ойу 1ог С1озеб Орега(огз, Алл. МаЕЛ., 53 (!95!), 250 — 255. Ее сужение йа самосопряжеииые операторы как раз и дает топологию равиомериой резольвеитиой сходимости.
Теоремы Ч111.2! и ЧШ.22 иаиболее естествеиио формулируются в термииах теории полчгрупп операторов иа произвольиых баиаховых простракствах. Теорема Ч111.2! впервые, видямо, была явио доказаиа (ив общем языке полугрупп) в работе: Н. Тго11ег, АрргохЬпа1юп о1 Зета!Зтоирз о1 Орега(огз, Рос!)гс З.
Магй., 8 (!959), 887 — 9!9; ев фольклоре> оиа в то время уже была известив. Теорема Ч!П.2а 2тоже была доказана Троттером в той же статье, ио одии момеит его доказательства угочиил Т. Като: Т. Ка1о, Еетагйз оп Рзеибо-газо!чепгз апб Еп(!п!Еез!ща1™Оепега(огз о1 Зещ18тоирз, Ргсс. чар. Аав(., 36 (!959), 467 — 468. Теорему ЧП1.2! ииогда яазывают теоремой Троттера — Като. Обсуждеиие равиомериой и сильной сходимости операторов, ие обязательно самосопряжеииых, см. в кинге Като: 4 2 гл.
1Ч (равиомериая сходимость) и $ ! и 3 гл. Ч1П (сильиая сходимость). Теоремы типа Ч111.23 и Ч!11.24 впервые были доказаиы Ф. Реллихом Р. Йе11!сЬ, Ябгипйв1Ьеог!е бег Зрей(га!зег!ейипй, 11, МаЕЛ. Алл., 113 (!936), 7 — 685). Обобщение результатов Реллиха появилось в статьях: В. Зз..ЬЕабу, РеггигЬаИоиз без Егапз1оппамопз аи(оаб)о!п1ез бапз Гезрасе бе НИЬег1, Сожщ. Ма!Л. Не(с., 19 (1946 — !947), 347 — 366; Е. Не(пз, Ве!1гайе гиг Ябгипйз(Ьеог!е бег ЗреЫга!зег!ейипй, Маел.
Алл., 123 (195!), 4!5 — 438. Систематическое изучеиие граф-пределов бегло начато в работе: 3. ОИпип апб А. Юа((е, Япйи!аг РеггигЬа1юпз о1 Зе!Е-аб)о!п1 Орега1огз, Соягт. Риге Арр!. МаЕЛ., 22 (1969), 40! — 4!4. Мы вериемся к их идеям в $ Х.З. б Чг'ЕЕ.З. Распростраиеиие теоремы ЕЕи иа бескоиечиомериый случай впервые было выполиеяо Троттером: Й Тгойег, Оп Ейе Ргобис1 оЕ Зещ!Зтоирз оЕ Орега1огз, Ргос.
Ажег. Магд. Зсс., 10 (!959), 545 — 55!. Ои доказал теорему Ч1П.З! для полугрупп иа баиаховом пространстве. Поздиее его доказательство упростил Чериов (Р. Е. СЬегпоЕЕ. Но1е оп Ргобис1 Рогпю!аз Еог Орега1ог Зещ(йгоирз,,/. Риис!. Ала!., 2 (1968), 238 — 242). Приведенное доказательство теоремы Ч111.30 даио Нельсоиом: Е. г(е)зоп, Реуптап Еп1щга!з апб 1Ье ЗсЬгбо5пйег ЕаиаИоп, е'.
Магл. РЛуз., 5 (И64), 332 — 343. Обобщеиия формулы Треттера иа различные специальиые случаи, когда сумма А+В ие есть в существенном самосопряжеииый оператор, а определеиа как сумма форщ даны в работах: гЧ. Рагиь ТЬе Ргобис1 Рогщи!а 1ог Зею(йтоирз Еее(!пеб Ьу Рг)е!ИсЬз Ех(епзюпз, Рас(ум! Е. МаГЛ.,22(!967), 47 — 70; Р. Е. СЬегпоЕЕ, Зещ!Зтоир Ргобис1 Рогщи!аз апб Абб!Иоп о1 (Епйоипбеб Оре. га(огз, Вай. Атег. МаЕЛ. Зсс., 76 (!970), 395.
5 УЕЕЕ.ЕО. Первое математически строгое построеиие вторичного квзитоваиия можио иайти в работе: А Соей, ТЬв Ма(ЬещаИсз о1 Зесопб Е)иапИзаИоп, уП /. Н««враля««инеи онцэатоды Тгплз. Азмг. Матй. Зас., У4 (1953), 222 — 245. Для более полной информации по этому поводу см. 1. Яепа1, Тепзог А16еьгаз очег Н!1Ьег! Зрасез, 1, Тгппа. Азмг. Матй. Зас., 6! (1956), 106 — 134. Обозначение йГ вознйка«т следующим образом. Множество ф'(Я~) естест. аевным образом превращается в алгебру относительно умножения (ф, ®...
® ф„) (фэ+, Э...Э фа+ З) = Ф, (8... (8 фа+э. Обозначим зто. умножение символом (к). Итак, фЯ«» определено для всех ф, 4~!А(Я~). Еусмтествеввымв автоморфизмазш 4г (Я~) являются обратимые линейные сохраняющие норму отображейия У, обладающие свойством У (фаз) = = Уф®У«». Естественными же автоморфнзмами Я~ являются квк раэ унитарные преобразования. Каждому унитарному оператору (Г однозначно сопоставляется авгоморфизм Г((Г) на 6=(Я5), если положить Г(У)=У на уп и « потребовать, чтобы Г(Щ=У®... ®(Г(л раэ) на убз ®Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
