Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Итак, и„- ф н Аз)„=(А +1).ф„—.1п„— ф, так что, в силу замкнутости А, <ф, ф> б Г (А). Следовательно, Г (А) = Г* . Обратно, предположим, что А =з1. йг.-Иип А„. Пусть ф~0(А), Тогда существу1от такие ф„Е9(А„), что ф„— -ф и А„ф„- Аф. Значит, [(А„+1)-е — (А+1) '~'(А+1) ф= (А „+ 1) ' [(А + 1) ф — (А„+ 1) ф,Д вЂ” (ф — ф„)— О при.я- оо, так как Ц(А +1) 'Ц( 1., (А„+1) ф„— (А+1)ф и ф — ф. По- скольку Кап(А + 1) =рс, отсюда следует сильная сходнмость (А„+1) ' к (А+1) '. ° Итак, мы видим, что если предел самосопряасен, то сильная граф-сходимость и сильная резольвентная сходимость †од и то же, Сильные граф-пределы особенно интересны именно в том случае, когда а рПоП не известна самосопряженность пре- дела.
Напр мер, в $ Х.8 мы увидим, что существование граф- предела в~~~ставни с некоторой дополнительной информацией можно ийогда использовать для доказательства самосопряжен- ности предельного оператора. УШ. Неограничвнныа анааанари Теорема У111.27. Пусть «А ) — последовательность симметрических операторов. (а) Пусть Р* «ф~<ф,~р> 6 Г' для некоторого ~р). Если Р*„ плотно, то Г*„ †граф некоторого оператора. (Ь) Предположим, что .Р' плотно, и пусть А з1.
иг.-1ипА„, Тогда А симметрический и замкнутый. Доказаглельслмо. Мы докажем (а), а доказательство (Ь) оставим в качестве упражнения(задача 24). Предположим, что ф„,~р„' б Р(А „) и ф Ч' Ч»' Ч> А,Ян- ф н А,р,',- ф'. Пусть т1Е.0'. Тогда существуют такие т1„бР(А„), что н„- т1 и А„т1„— р. Отсюда (ф — ф', т1) =1ип(А„(~р„— ~р,'), и„) и со =1ип(р„— ~р„', А„п„) О, так что ф=ф', в силу плотности Р'„. ° Можно ввести еще слабый граф-предел. Мы дадим определение и сформулируем одну теорему. Оиределелае.
Пусть «А ) †последовательнос операторов в М. Мы говорим, что <ф, ф> ЕЖ'хЖ лежит в слабом граф-пределе и и Га, если можно найти такие ф„бР(А„), что ф„— ф, а А„Ԅ— ~р слабо. Если Ä— график некоторого оператора А, то говорят, что А — слабый граФ-предел А„; А =и~. йт.-1ии А„. Теорема У!11.28. Пусть «А„) — последовательность симметриче- ских операторов. Если область Р" = «ф~<Ф, <р>ЕГ„при некотором ~р) плотна, то à — график симметрического оператора. Наконец, отметим, что если А„— равномерно ограниченная последовательность операторов, то А = ч~.
иг.-(Ьп А„тогда и только тогда, когда А„А в слабой операторной топологии (задача 26). Этот факт вместе с задачами 20 и 28 показывает, что понятия слабого граф-предела и слабой резольвентной схо- димости различны. Вопрос о том, замкнут 'ли граф-предел, если каждый А„симметричен, остается открытым, ЧИ!.й.
Фермула уреттера длп препвпедеппп В этом разделе мы докажем одну полезную теорему об аппроксимации ехр1(А+В) при помощи ехргА и ехртВ. Чтобы пояснить идею, рассмотрим сначала конечномерные матрицы, для которых имеется классическая теорема Лп. 8 Фррмела Т ра зля. проем«ееяез 323 Теорема У111.2У (формула Ли для произведения). Пусть А и  — конечномерные матрицы. Тогда ехр (А -(- В) =!пп (ехр (А1и) ехр (В/и)1'*.
Доказательство. Пусть 3 = ехр [(А + В)1п~, Т„= ехр (А1и) ж хехр (В/и). Тогда ЗЦ вЂ” Т" Х ВЦ'(߄— Т„) Т"„1 "', ~ о так что Ц 5",— ТЦ Ц аЯ, и (тах ( Ц В„Ц, Ц Т„Ц ))'-' Ц Я„вЂ” Т„Ц «:, (и Ц Я„вЂ” Т„Ц ехр (Ц А Ц+Ц В Ц). Так как Ц„— Т„Ц = ~~ С1и' (С зависит от Ц А Ц и Ц В Ц), то ЦЯ„"— Т„"Ц О. ° Эту теорему и ее доказательстео можно распространить на случай, когда А и  — неограниченные самосопряженные операторы н А+В самосоирязкен на Р=Р(А) ОР(В). Теорема УП1.3О. Пусть А и  — самосопряженные операторы в М, И предположим, что А+В самосопряжен на Р=Р(А)() () Р(В). Тогда 3 (1зп ~еал/леив/л~«еа(л+з) Доказательстиео.
Пусть ф~зР. Тогда з-' (е""ем а — 1) ф = з-'(е"" — 1) ~р+ з 'е"' (е"з — 1) ф (Аф+ 1Вф и з-1 (еиил+з) 1) ф 1(А + В) ф йри з О. 'Полагая К(з) =з "(е"'е"з — еге<л+м), видим, что К(з)ф О при з — О и любом фЕР. Так как А~-В самосопряжен на Р, то Р— банахово пространство относительно нормы ЦФЦл,з — — Ц(А+В)фЦ+ЦфЦ. Каждое из отображений К(з): Р— Я ограничено и К(з)ф О при з О или оо для каждого фЕ,Р. Таким образом, по теореме о равномерной ограниченности, К(з) равномерно ограни- 'л///.
НлсаРВВилзннзЯ зз4мююалс чены, т. е. существует такая постоянная С, что ((К(з)(р(((С(((р((А+В для всех збй и фбР. Тогда при помощи е/3-приема убеждаемся, что К(з)ф- 0 равно. мерно на (( ~~А+а-компактных подмножествах Р. В силу самосопряженности А+В на Р, вектор ес"А+В(ф бР, если ф б.Р. Более того, з — есл(А+з(ф — непрерывное отображение м в Р, когда Р снабжено топологией нормы (( ~~А+В. Итак, 1есл(А+сьф(з б( — 1, 11) есть (К(А+В-компактное множество в Р при каждом заданном ф. Далее можно скопировать доказательство формулы Ли. Из- вестно, что 1"* ~е/(Аеснс — е" (А+В(1 е/л "+ ж ф — О равномерно по з Е( — 1, 11. Следовательно, ~(ЗС(А/ЛЗС(В/Л)Л (З(1(А+В)/Л)Л] ф л» л 1 л» ~~~~ ~(Зс(А/ле(сз/л)З [ЗС(А/лЗС(В/л ЗССЗАЛВ(/л1.
(З(1(ЛЭВ)/лтл 1-З р ь з 4 Норма правой части не превосходит ~ 1 ( (пах (( ( ( (асс(А+В]/л зссл/лзаз/л) зь(А+ю ф [~ (л(<са ~л/ а отсюда вытекает, что (зс(А/лес(в/л)лф есс(л+В(ф при н- (со, если фяР Поскольку Р плотно, а операторные экспоненты ограничены. единицей, зто утверждение справедливо на всем Я. ° Из этого доказательства видно, что на фиксированном векторе сходимость равномерна по Г в некотором компактном подмножестве из Й. Тот же прием можно использовать для демонстрации того, что З ЦШ (З-(А/ле-1В/л)л З-1(А+В( л -л» если А и В удовлетворяют тем же предположениям и вдобавок полуограннчены. Следунхций результат значительно сильнее, чем теорема Ч111.30, поскольку он предполагает лишь самосопряженность з существен/сом оператора А+В на Р(А) П Р(В).
Доказательство сильно отличается от доказательства теоремы ЧП1.30 (литературные ссылки приведены в Замечаниях). Теорема У111.31 (формула Троттера для произведения), Если А и  — самосопряженные операторы и А.+В в существенном В. Полярное раелоееение еемнн//г самосопряжен на Р(А) ПР(В), то З !СШ (ВССА/ОВССВ/и)е ВС (А+В) 1 Болйе того, если А и В ограничены снизу, то З ЦШ (В-СА/ез-!В/е)е — Е-С (А+В) о.н со Приложения формулы Троттера для произведения чита'гель может найти в $ Х.10 (фейнмановские интегралы по путям), $ Х.7 (гиперсжимающие полугруппы) или в гл.
Х1Х (раздел, посвященный конструктивной квантовой теории поля). т111.9. С)еллрнее разлежаиле замкнутых елератерев Б $ У1.4 мы видели, что произвольный ограниченный оператор Т может быть представлен как Т = У ~ Т~, где ~ Т~ положителен и самосопряжен, а У частично изометричен. Более того, условие Кег~ Т ~= Кег Т и требование совпадения начального пространства У с (КегТ)х однозначно определяют ~Т~ и У.
В этом разделе мы хотим обобщить этот результат на эалсянуВнее неограниченные операторы. Как и в ограниченном случае, У легко построить, как только построен 1Т~, и, как в ограниченном случае, мы положим ~Т~= Т'Т. Раньше трудность состояла в построении квадратного. корня. Теперь же у нас есть спектральная теорема, и 1/Т Т легко построить, если доказать, что Т'Т вЂ” положительный самосопряжеиный оператор. Но именно это и представляет, основную трудность в неограниченном случае. Заранее не очевидно, что множество (ф ~ ф Е Р (Т) и ТсрЕР(Т')) отлично от (О). Б действительности это множество плотно (задача 45), но наш подход, использующий теорию полу- ограниченных квадратичных форм, не требует доказательства этого факта.
Теорема 1сШ.32 (полярное разложение). Пусть Т вЂ” произвольный замкнутый оператор на гильбертовом пространстве Я'. Тогда существуют положительный самосопряженный оператор ~ Т ~, Р (~ Т )) Р (Т), и частично изометрический оператор У с начальным пространством (Кег Т)х и конечным пространством Кап Т, такие, что Т=У)Т~. Операторы ~Т1 и У однозначно определяются этим свойством и дополнительным условием Кег(~Т~)=Кег Т. Доказа//мльсслво. Определим квадратичную форму з на Р(Т), полагая з(ф, ф) =(Тф, Тф). Она, очевидно, положительна. Предположим теперь, что задана такая последовательность (ср 1, что уПР.
неоеразиченн»м амрагюри !! ф — ф„ !!, ~ - О, т. е . !! ф — ф„ !! 0 и !! Т (»р — ф ) !! О. Поскольку Т замкнут, то существует такое ф ц Р (Т), что [!ф„— ф!!+!!Т(ф — ф)!! — О, т. е. !!ф„— Ф[!+т О, Итак, з— замкнутая форма. Следовательно, по теореме У111.15 существует единственийй положительный самосопряженный оператор Я, такой, что Я (8) = Р (Т) и з (ф, ф) (ф, Зф) в смысле форм. Пусть Т ! =5'~». Тогда Р(!Т !) = Я (8) =Р(Т) и по построению Т1ф!!»=з(ф,ф)=!!Тф[!', так что Кег!Т!=КегТ Определим : цап!Т!- цапТформулой У!Т!ф=Тф.Поскольку!)!Т!ф!!= = !!Тф!!, оператор 0 корректно определен и сохраняет норму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
