Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 99
Текст из файла (страница 99)
7 $ 5 гл, 1)1. Собственно говоря, в этом параграфе мы в общем виде исследуем те понятна, которые вводились ранее для банаховой алгебры ограниченных линейных операторов. 2. Свойства спектра. Т е о р ем а 1. !'. Для любо о линейного фцнкционала 1(х) из сопряагенчого пространства Х' функция ! (х (Л)) = Р (Л) аналитична на С '~,а(х) и р !Л) -» О при ]Л (-» оэ.
2'. Спектр а(х) элемента х банахоеой алгебра Х есть непустое ком" лактное мчомество в С. Имеет место неравенство; г(х] ~])х)(. (2) Доказательству теоремы ! предпощлем несколько лемм. Д е м и а ! (ср, с теоремой 5 $5 гл. !Лт). Пусть элемент х из банаховой алгебры Х ил(еет норму, меньшую единицьь Тогда элемент е — х обратим и — ! и (е — х) =е+х+ ... +х + ... Действительно, положив з = е+ х+... + х", имеем: ь 'ах 1л+ ' — (! х !!и+ а+ ' 1! и+!+ +„л+а()< T х)п+! 1х! — !х!! О ! =1 Итак, последовательность з„фундаментальна. Так как Х полно, то она сходится к некоторому элементу з ~ Х.
При этом з(е — х)= Ощ зп(е — х) = !Пп (е — хл+ )=, Аналогично доказывается, что (е — х)з = е. Следствие, Для всякого хтыХ (е — гх) — » е при 1 — » О Действительно, (е — 1х) — 1пп (е+ 1х+ ... + (1х)") =е+ 0(1). л-ь 515 ДОПОЛНЕНИЕ. БА!!АХОВЫ АЛГГБРЫ г) е л2 м а 2 (ср, с теоремой 4 $5 гл. 1Ч), Пусть хо — обратимый элемент и ]Ах! <]]хс '~ Тогда х, = хо + бх — обратимый элемент; при этом х2 — — Ле+ хе Ьх) хе Действительна, х, = хе + Ьх = хенце + хе Ах) = хо(е — х), ] х 1] = ]] — хо ' Ах ]] < 1.
Применив лемму 1, мы находим, что х, ' =(е — х) ' х ~, что и треба- валось. След с т в и е 1. Мнотсество обратимых элементов банаховой алгебры открыто (в нормированной топологии банахоеой алгебры). Множество не- обратимых влементов замкнуто Г л с д с т в и е 2, Рсэольвента х (Л) есть непрерывная функция от Л на С", о(х). Действительно, в силу следствия из леммы 1 х(Ло + АЛ) = (Лое — х + ЬЛе) ' (е + ЬЛх(Ло)) ' х(Ло) ь х(Ло). Д е м м а 3 (ср. с и.
7 з 5 гл. 1Ч), Пусть Л, и ом С '~ о(х). Тогда а) )ГАХ ° )СаХ = )Сил ОСАХ, б) Лгхх — Нах = (р — Л) )!Ах ° )!Рх (тождество Тальберга), Доказательство. а) Лгья. Й„Х= (ЛŠ— Х) '(МŠ— Х) = [()се — х)(Ле — х)] 1 = — [(Ле — х)(уе — х)] ~ = )!ах ° )1, х б) В силу а) и определения йь и )са имеем Пах=(ре — х)йьх Лгих, )(их=(Ле — х)ЯАх ° )!нх, откуда йьх — )!Рх = (Ие — Ле) )!Ах ° йих = (р — Л) йхх Пах. что и требо- валось. С л е д стаи е. Если Л, сз С '~, о(х), то х'(Ло) = — х'(Ло). Имеем в силу б) и следстьия 2 леммы 2: х' (Ло) = 1пп х (Л) — х (Ло) )пп х (Л) х (Ло) х (Ло) А.+ А, Л вЂ” Ло А.+ А, Теперь докажем теорему 1, 1'.
Пусть [(х) линейный непрерывный функционал иа х, т. е. [(х) ыХ' Положим Р(Л)=[(х(Л))=[(йхх). Имеем в силу следствия из леммы 3 для Ло Ф а (х): Р (Л) — Р (Ло) . / х (Л) — х (Ло) ) р'(Л ) = 1(пт 1ююп ! [( В ( ( ) ()с))) [(хт(Л)) А'эхо Таким образом, доказана аналитичность Р (Л). Далее, при [ Л ] м []х[] в силу леммы 1 мы получим: ] Р (Л) ] <]]У] ] (Л)] =]]У]] ]] (Лв — «) ~ ]] = СПЕКТР И РЕЗОЛЬВЕНТЛ 519 2'.
а) Н си уст от а с не кт р а а(х). Пусть а(х) Я. Тогда в силу 1' дли всякого элемента [емХ' Р(Л) — целая функция, стремящаяся к нулю при [Л[-ь со. Значит, р(л)=О, т. е, )((Лг — х) ') 0 для любого (ем Х', а значит, в силу следствия 4 из теоремы Хана — Баиака (п. 3 $1 гл. !Ч), (Лг — х)-' = О, чего ие может быть. б) Компактность спектра п(х).
Если [Л[>[[х[, то в силу хч леммы ! элемент Ле — х=л(г — — ) обратим, откуда следует ограннчеи- Л) ность а(х), а заодно и неравенство (2), Замкнутость а(х) следует сразу из леммы 2: если Л, регулярно, то окрестность [ВЛ [ ( 1[х (Лэ)[[ ~ состоит нз регулярнык точек, так как (Лэ + бл) г — х = Лэе — х + ОЛс. Отметим два следствия из теоремы 1.
С л е д с т в не 1. Банахоеа алгебра над полем С, являющаяся полем, изомсгричгски изолюрфна С. Действительна, пусть Х есть «бзнахово поле» и х — произвольный элемент из Х. Найдем то Л, для которого элемент Ле — х необратим и, значит, есть нуль. Мы получим, что х = Ле. Легко понять, что соответствие хн- Лесть изоморфизм Х и С, Так как [~е[! = 1, то 1[к[[ = [Л[. Мы получилн изометрию Х и С. Следс та не. 2. Спектр любого ненулевого оператора А из 2'(Х,Х) не пуст. Это утверждение без доказательства уже формулировалось ранее (см„ стр.
236). 3. Теорема о спектральном радиусе. Теорем а 2. )«магг место следующая формула для спектрального радиуса. и г(х) = Ию агах" [!. (3) л.ь» Действительно, пусть ) — любой элемент из ХЛ В силу теоремы ! функция Р (Л) = )(х (Л)) аналитична на С '~, а (х) В частности, Р (Л) аналитична в области [ Л[ > [ х!.
В этой области в силу леммы 1 х(л) =(Ла — х) = — !Ле — ) л 1, л) ~ лл+'' и а откуда р(л)=)( (л))= T [('"', Лн»! ' о=э причем это разложение, верное вследствие леммы 1 при [Л[ > [[х[1, должно ил1еть место при [Л[ > г(*) в силу теоремы единственности для аналитиче- ских фуикний и, значит, ~[(х") ~ Мы получили, что множество векторов х"/Л"+' является слабо ограниченным, а значит, оио ограничено сильно. (Этот результат, называемый иногда приипнпом равномерной ограниченности, или теоремой Ванака — Штейнгауза, был доказан в $ 3 гл. !Ч; подробнее об этом см. в монографии [211 гл. 11.) Таким образом, существует число с (Л), зависящее от Л, такое, что ДОПОЛНЕНИЕ.
БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ 620 откуда 1пп !) х" !! '"( ! Л ( для всех (Л: ) Л ( > г (хЦ, т, е. л.» Нш !1х" 1!Еа ( г(х). а-» С другой стороны, если Лгыа(х), то Ллгж и (х"), так как элемент Л"е — х", очевилпо, делится на Ле — х. В сиду теоремы 1, если р ье а (х), то ( р ) ~(()х(!. л Полагая р =Ли, полагаем, что из Лге п(х) следует, что ) Л(~(П/!(хк( откуда г(х) < !нп П/!~х"!!.
Теорема доказана. к-» 5 3. Некоторые вспомогательные результаты В этом коротком параграфе сосредоточен ряд вспомогательных утверждений, прн доказательстве которых используются стандартные технические приемы. 1. Теорема о фактор-алгебре. Пусть Х вЂ” коммутативная банахова алгебра с единицей, / — идеал в Х. Отметим, во-первых, что / состоит лишь из необратимых элементов, ибо если г ш / обратим, то для любого х ш Х мы получим, что (хж')г = х ш /, т. е. / тривиален, а этот случай мы исключаем.
Во-вторых, в силу леммы 1 э 2, расстояние от единицы е до любого необратимого элемента, а значит, и до любого идеала, ие меньше единицы. Рассмотрим теперь фактор-пространство Х// (см. $1 гл. П1) и определим там операцию умножении, назвав произведением двух классов $ н П из Х// тот класс Ь, который содержит элемент х у, где х и у — представители классов й и гь (Проверьте, чтп результат не изменится, сслн х и у заменить лю. быми другими представителями тех же классов $ и гь и что введенная опера.
ция «умножение» удовлетворяет аксиомам 1 — 6 $1.) Таким образом, Х// становится коммутативной алгеброй. Назовем ее фактор - алгеброй Х по идеалу /, Введем в Х// норму как и в п. 3 $3 гл. П!: ))Л! = !п/ 1х+ у(', дш/ где х — представитель е. Имеет место Теорема 1. Если Х вЂ” есть бакахога алгебра, а I — замкнутый идеал в кей, го фактор-алгебра Х// также яклягтся бакаховой алгеброй с единицей. В п. 3 $ 3 гл. П1 было показано, что фактор. пространство банахова пространства по любому его замкнутому подпространству является банаховым пространством. Таким образом, нам остается лишь проверить, что выполняк~тся аксиомы 6 и 7 из п. 1 ф 1 на стр. 6!3. а) 1!$»)!)= !п( !)ху+г(!~ 1п/ )(х+ и) (у+ о) (( г гг 1 и,гш1 ~ (! п1 1 х + и !) ° (п1 (( у + о !) = !! Е, (! . !! »1 '>, иш/ эм1 б) Е=е+/, т. е.
Е'=ее+/=е+/, значит, Е'=Е, откуда (Е!1= -((Ег(!(!!Е!!г Но элемент Е ие эквивалгнтен нулю, так как окрестность точки е, как мы отметали выше, ие содержит необратимых элементов, нз которых состоит /. Значит, 1 ~)!Е)1, Но, с другой стороны, ()Е!) = !п( ))е+ у,'!, вы/ т. е. )!Е!)(1. Итак, !!Е!)=1. Теорема доказана.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ б21 2. Три леммы. Нам далее понадобятся три леммы: теоретико-множественная, алгебраическая и топологическая. Л е м м а 1. Всякий нетривиальный идеал ! содержится в максимальном идеале. Доказательство этой леммы основано на лемме Цорна, сформулированной на ст .
40. Г ействительно, пусть У вЂ” множество всех нетривиальных идеалов, содержащих 1. Опо частично упорядочено по вложению: 11 < !г, если !~ ы /г. Для всялого линейно упорядоченного множества (/„) из У объединение ( / 1а а есть нетривиальный идеал, служащий верхней гранью для (!а). Значит, в силу леммы Цорна, 1 подчинен максимальному элементу в 5', т. е. максимальному идеалу. С л ед с гни е. Если Х не есть лоле, то в нем изнеется максимальный идеал. Более того, каждый необратимый элемент, отличный от нуля, содерэкится в некотором максимальном идеале.
Действительно, возьмен любой необратимый элемент хь чь О и рассмотрим совокупность х, Х. Это есть, конечно, идеал. Он содержит хь и не содержит е — единицы Х, т. е. не является тривиальным идеалом, следовательно, в силу леммы 1 содержится в максимальном идеале. Л е и м а 2. Для того чтобы идеал / содержался в некоторол! нетривиальноч идеале !' ~= Х, необходимо и достаточно, чтобы алгебра Х// имели нетривиальный идеал. Докажем необходимость. Пусть !с..!'~Х, /ча/', Х~!'.
Выделим среди классов я ш х!! те $' = х'+ 1, для которых х' ш !', Легко проверить, что получится нетривиальный идеал в Х//. Достаточность получается аналогично. Л ем м а 3. Замыкание нетривигльного идеала ! есть нетривиальный идеал. Нетривиальность следует нз того, что / состоит лишь из необратимых элементов, остальное следует из непрерывности алгебраических опсраггий. С л ед с т в не. Максимальный идеал замкнут.
5 4. Основные теоремы В этом параграфе Х вЂ” коммутативная банахова алгебра с единицей. 1. Линейные непрерывные мультнплнкатнвные функционалы и максимальные идеалы. Оп р е д ел е н и е 1. Линейный непрерывный функционал ! иа банаховой алгебре Х называется мультинликативным, если для любых х и у !(к у) = г(х) .!(у). Совоиупность всех нетривиальных линейных непрерывных мультипликативных функционалов мы обозначим через й', Заметим, что линейный непрерывный мультипликативный функционал мы мотая бы определить, каи и е п р е р ы в н ы й г о м о м о р ф и з м Х в С. Если !ен лу, то (э) ) !(х)1~)х), ибо если для некоторого хм по норме равного единице, ( ! (к, ) ) = /с ) 1, то ~ /(х") ! = /гч -ь со, т. е. мы получили бы, что ! не непрерывен.
Далее, К (е) — ! (е') = (! (е))' ДОПОЛНЕНИЕ. БАНАКОВЫ АЛГЕБРЫ 522 следует, что / (у х) = / (у) /(х) = О у х сн Кег/. т. е. Ганны образом, Кег / — идеал. Покажем, что Кег / — макскмальнмй идеал. Допустим, что это не так, т. е. Кег/ можно расширить до идеала ! Ф Х, содержашего хс Ф Кег /. Но Кег / имеет коразмерность ! (см. гл. 1П, 4 1, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
